1、第一章习题解答1.1 三个矢量 A、 B和 C如下：23xyze45xz求：（1） Aa；（2） ；（3） :；（4） AB；（5） 在 上的分量；（6）C；（7） ()B:和 ()C；（8） ()C和 ()。解 （1）2212341413xyzA xyzeee（2） ()()xyzyz65xyz（3） B:e:11（4）由 cosAB147238，得 1cosAB1()5.238（5） 在 上的分量 BcosAB17:（6） AC12350xyze4130xyzee（7）由于 B2xyz852xyzeA1304xyze104xyze所以 ()C:(2)xyz:(852)Bexz（8） ()A
2、10452xyz05xyzee()BC380xyze541xyzee1.2 三角形的三个顶点为 1(0,2)P、 (4,13)和 (6,25)P。（1）判断 123是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解 （1）三个顶点 (,)、 2(,)和 3(,)的位置矢量分别为yzre， 24xyzre， 625xyzre则 121zR， 23 8Re，3367xy由此可见 12(4)(8)0zzee:故 123P为一直角三角形。（2）三角形的面积 1231231769.13SRR1.3 求 (,14)点到 (,)P点的距离矢量 及 的方向。解 3Pxyzre， xyzre，则 5且 R与 、 、
3、轴的夹角分别为 11cos()cos()32.1xPxeR:0.475yyP11cos()cos()9.3zz eR:1.4 给定两矢量 23xyzAe和 56xyzBe，求它们之间的夹角和A在 B上的分量。解 与 之间的夹角为 11cos()cos()13297 BA:在 上的分量为 3.57:1.5 给定两矢量 24xyze和 64xyzBe，求 AB在xyzCe上的分量。解 AB23461xyze3210xyzee所以 在 C上的分量为 ()CAB()2514.3:1.6 证明：如果 :和 ，则 BC；解 由 ，则有 ()A，即()()():由于 AB:C，于是得到 ()()ABC:故
4、1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 为一已知矢量， pX而 P， p和 P已知，试求 X。解 由 P，有 ()()()()A:故得 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解 （1）在直角坐标系中 cosx、 4sin(23)y、 3z故该点的直角坐标为 (2,3)。（2）在球坐标系中 235r、 1ta5.、30故该点的球坐标为 (5,.10)1.9 用球坐标表示的场 25rEe，（1）求在直角坐标中点 (3,4)处的 和 xE；（2）求在直角坐标中点 处 与矢量 2yzBe
5、构成的夹角。解 （1）在直角坐标中点 ,5处， 22(3)4(5)0r，故21rEecos205xrx:（2）在直角坐标中点 (3,45)处， 34yze，所以210xzrE故 E与 B构成的夹角为 19(02)cos()cos153.6BE:1.10 球坐标中两个点 1(,)r和 2,r定出两个位置矢量 R和 2。证明 1和2R间夹角的余弦为 121212coscsinsco()解 由 1inisxyzrrreee22222得到 1csR:121212incosisinsisncos1 12(c)121212sincos()cos1.11 一球面 S的半径为 5，球心在原点上，计算： (3s
6、in)drSe:的值。解 (3si)d(3sin)dr rrSSee:2220i5i751.12 在由 、 0z和 4围成的圆柱形区域，对矢量 rzAe验证散度定理。解 在圆柱坐标系中 21()()32rzrA:所以 42500d3d10z又 2()()rzrzSSSSeee:4522005d4d120r故有 1A:SA:1.13 求（1）矢量2223xyzxyee的散度；（2）求 A:对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1）2 2()(4)7xyz:（2） A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 12221d(7)d24xyxzz（3） 对
7、此立方体表面的积分 121222()d()S zyz:12122dxx12 12323214()d4()24yyxy 故有 dA:S:1.14 计算矢量 r对一个球心在原点、半径为 a的球表面的积分，并求 r:对球体积的积分。解 2230ddsin4rSSe:又在球坐标系中，21()3r，所以2 30d3sind4arar:1.15 求矢量 xyzAee沿 xy平面上的一个边长为 2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 轴和 轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解 22220000ddd8Cl:又 22xyzxzyeAe所以 0d()d8xzzS xy:故有 8
8、CAlS1.16 求矢量2xye沿圆周 22xya的线积分，再计算 A对此圆面积的积分。解 2ddCl: 42420(cosincosin)da ()yxzzSSASee:2420diayrr1.17 证明：（1） 3R；（2） ；（3） ()AR:。其中xyzRe， 为一常矢量。解 （1）xyz:（2） xyzeR0（3）设 xyzAee，则 xyzAR:，故()()()xyzxyzAe:zxzexyze1.18 一径向矢量场 ()rfF表示，如果 0F:，那么函数 ()fr会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d()rf可得到()Cfr为任意常数。在球坐标系中，由 21d()0rfF
9、:可得到 2()fr1.19 给定矢量函数 xyEe，试求从点 1(,)P到点 2(8,1)的线积分dEl:：（1）沿抛物线 2；（2）沿连接该两点的直线。这个 E是保守场吗？ 解 （1） ddxyCl:dCxy221()2164（2）连接点 (,P到点 8,)直线方程为2xy即 0xy故 1dd(64)()dxyCEyl: 21(4)d1y由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数 2z的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345500xyzee定出；求 (,31)点的方向导数值。 解 222()()xyzxxyeezze故沿方向345500lxye的方向导数为2
10、6lxzxyle:点 (2,31)处沿 的方向导数值为 10155l1.21 试采用与推导直角坐标中yxzA:相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()zrA:。解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 沿 re方向穿出该六面体的表面的通量为rzoxyz题 1.21 图()ddz zrr rArA (),(,)rrzz()()1r rAz同理 ddrzrzAAr(,)(,)rz Azrddrzz zrr(,)(,)zzAAzAr因此，矢量场 穿出该六面体的表面的通量为 ()1rzrz A 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()limrzA1.22 方程22xyzuabc给出一椭球族
11、。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解 由于 22xyzuabcee()()故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2222()()(xyzuxyzabcabcnee1.23 现有三个矢量 A、 B、 C为sinososinre22zzzre(3)xyxe（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中 211()(sin)isir AAr:2 1sncoco)(sin)i sirr 2cos2incossin 0iinrrr21sisinrAAee2 sin1 0sincoscosisrrrrreee故矢量 A既可
12、以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中 1()zrBB=:221sin(cos)(sin)zrziirr22110sincosinzr zrzBzr eee故矢量 B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 yxzC=:22(3)()()0xz22(6)3xyzyeeC故矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为0A:， ；sinrB=， 0B；C， (26)zxye1.24 利用直角坐标，证明 ffA:解 在直角坐标中 ()()yxzxyzffff A A:()()()yx zAAAffffxyzfff:1.25 证明 ()HH:解
13、根据 算子的微分运算性质，有 ()()A:式中 A表示只对矢量 作微分运算， 表示只对矢量 作微分运算。由 ()abcb:，可得()()()AA:同理 HH:故有 1.26 利用直角坐标，证明 ()ffGG解 在直角坐标中 ( )()y yx xz zxffGeeef)(zyyxzzyxfffff所以 ff()()yzxzyGffzexy zGffx()()yz xye)yzxff(xzfGfze()yxzfe()f1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 ()0u及()0A:，试证明之。解 （1）对于任意闭合曲线 C为边界的任意曲面 S，由斯托克斯定理有()dd0S Cuull:由于曲面 是任意的，故有 (0（2）对于任意闭合曲面 为边界的体积 ，由散度定理有 12()d()d()d()dSSSAA:其中 1S和 2如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有1n1C2SS2n题 1.27 图11()dSCAl:， 22()dSCAl:由题 1.27 图可知 C和 2是方向相反的同一回路，则有 12l所以得到 1222() 0CCll:由于体积 是任意的，故有 ()0A:
