1、近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好 封信，又写好 个信封，然后在黑暗中随机地把 封信放入 个信封中nnn（一个信封中只能放一封信） ，试求至少有一封信放对的概率。 （10 分）一、解：若以 记第 封信与信封符合，则所求的事件为：iA。12nA不难求得： ，()!1iP，()!()()ijnA，(3)!1()()2ijkPn12()!nA故 12()nP 111()3()()2!nn112!3!n二、从数字 中（可重复地）任取 次，试求所取的 个数的乘积能被 10 整除的概率。,9 n（10 分）二、解： 个数的乘积要能被 10 整除，则n这 个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为
2、 5。因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件 个。9n设=所取的 个数的乘积能被 10 整除，An=所取的 个数中至少有一个是偶数， Bn=所取的 个数中至少有一个为 5，C则为所取的 个数全为奇数，故 所含基本事件数为 ；nB5n为所取的 个数无 5，故 所含基本事件数为 ；C8为所取的 个数全为奇数且不含 5，故 所含基本事件数为 ，BC 4n且 ,AB所以由计算公式得： ()1()()1()()PAPCPCB584584.99nnnn三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为 1，求经过 次移动后回到出发点的概率。 （10 分）2n三、解：若要在
3、次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为 。2n故所求的概率为： 22()!14nkmnP220()!()nkk2201()!4()nnk201()4nk21().4n四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的 粒子数 服从参数为 的泊松分布。而每个放射出的 粒子被记录下来的概率均为 。如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录p下的 粒子数 的分布。 （10 分）四、解：以事件 为分割用全概率公式得：对任意得非负整数 有：,01,2n k0|nPkPkn(;),)nkpbp !knnkepq1()!)!nkqep
4、k五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数 服从参数为 泊松分布，求成功次数 和失败次数 的概率分布，并证明 与 相互独立。 （10 分）五、解：以事件 为分割用全概率公式得：对任意得非负整数 有：,01,2n k0|nPkPkn(;),)nkpbp !knnkepq1()!)!nkqepk同理 Pk1()!kpe进一步地， ,mn,|nPmn()!mepq!npq.Pn六、若 是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数 ，而 及 相当于把1,n ()Fx*n1按大小顺序重新排列为 的末项和首项，求 及 的分布函 *12n数，并求 的联合分布函数。 （10 分）*1(,)n六、
5、解：首先求 的分布函数：*n1max(,)nPx 1,nPx ().F再求 的分布函数：*1因为 *11min(,)nPxx 1,nPx ().F所以 *1().nnPxFx最后求 的联合分布函数：记 1(,) *1(,),.nGxyPxy若 ，则xy*1(,),nGPy*().nnPyFx若 ，则 *1(,),nxyx*1,n nyxy1,yxy()().nnFF七、设 与 相互独立，且均服从 上的均匀分布，证明：1U20,1122lncosVU与 相互独立且均服从标准正态分布。 （10 分）12lnsiVU七、证明：因为1122lcosniyx则因此 2112lntgyx21221arct
6、gyxe故雅可比行列式为： 121xyJ21.ye因为 与 相互独立，故 的密度函数为：U212(,)U112(,)()0.pxpxx因为 的密度函数为：2V2 221 112(,) .yyyqyee因而， 与 的边际密度函数分别为：1V221112()(,).yqyyde2212()(,).y并且 ，因而 与 相互独立且均服从标准正态分布。1212,(.qyq1V2八、 （10 分）已知随机向量 服从多项分布，即12(,)r 121212!,rkkr rnPkkp 这里 且仅当 时上式才成立，否则为 0.0i12r求随机向量 的各个分量之间的协方差和相关系数。八、解：显然(,)r，因此(,)
7、iiBnp ,(1)iiiiiEnpDp注意到 因此(,)ijijB()()ijijijijijEnp由于()2cov(,)ijijijD(1)()2cov(,)iijjijnpp因而有cov(,)ijijnp相关系数为：。c(,) (1)(1)ij ijijijij jprpp九、袋中有 张卡片，各记以数字 ，不放回地从中抽出 张，求其和的数学期望N12,NY n和方差。 （10 分）九、解：取一张时，其数字的均值及方差分别为 及 1NiY221()NiiY若以 记 张卡片的数字之和，以 记第 次抽得的卡片上的数字，则n,2,in i12n由于抽签与顺序无关，因此 ,1,2ilPYlNin
8、故 2,.iiED所以 12nnEY在上式中令211cov(,)(1)cov(,)ni ij ijiijnn，因为 是一个常数，因此 ，于是nNNNY 0ND212()cov(,)因而212cov(,)N于是。222()()11nnD十、掷 5 颗骰子，求所得总和为 15 的概率。 （提示：利用母函数） （10 分）十 1、解：以 表示第 颗骰子掷出的点数，则总和为：ii1.n因 服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为i 23456() ).Psss又因为 相互独立，故其和 的母函数为： 。i5(Ps于是，所求的概率恰为 的幂级数展开式中 前面的系数。5()s1由于5561 5()(
9、)()61ssP561230()ss ()kks56() 04k因此。5 51486116P十 2、 （10 分）掷 5 颗骰子，求所得总和为 16 的概率。 （提示：利用母函数）解：以 表示第 颗骰子掷出的点数，则总和为：ii。 。 。 。 。2 分15.因 服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为i。 。 。 。 。1 分23456() ).Psss又因为 相互独立，故其和 的母函数为： 。 。 。 。 。 。2 分i5()Ps于是，所求的概率恰为 的幂级数展开式中 前面的系数。 。 。 。 。1 分5()Ps16由于5561 51()()()6ssP。 。 。 。 。2 分512
10、30()ss ()kks。 。 。 。 。1 分56() 04k因此 。 。 。 。 。 。1 分5191.5P十一、求正态分布 的特征函数。2(,)Na十一、解：先讨论 的场合：012 21() cosx xitftedted由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得2 21()()sinsin2x xfttete 2 21i cod()x xtttf 因此 2ln()tfc由于 ，故 ，因此01f02().tfe对于 的场合，因为 ，故由特征函数的性质可知其特征函数为：,Naa21().iatfe十二、 （10 分）设 是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且具有12,n 有限的数
11、学期望 ，证明：对任意的 ，有aE01lim1.ninPa十二、证明：由于 具有相同分布，故有相同的特征函数，设为 ，因为数学12, ()ft期望存在，故 可展开成：()ft。 。 。 。 。2 分()01()ftotiato而 的特征函数为：1ni。 。 。 。 。2 分()()nnttfiao对固定的 ，t。 。 。 。 。2 分()()niatfe由于极限函数 是连续函数，它是退化分布 所对应的特征函数，iat ()Ixa根据逆极限定理知：的分布函数收敛于 。 。 。 。 。 。2 分1ni()Ix最后根据以概率收敛和依分布收敛的关系可知：以概率收敛于常数 ，从而结论成立。 。 。 。 。 。2 分1nia十三、设 是独立同分布的随机变量序列，且 ，令12,n 2,kkEmD1()nnkm
