1、第六章 代数系统(抽象代数),学过的代数： 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数、等等。它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、集合、命题等等，以及这些对象上的各种运算。发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质。例如集合代数与命题代数,尽管研究的对象不同,但是它们的性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配律、吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次即抛开具体对象的代数。抽象代数研究抽象对象的抽象运算的代数的共性。,学习目的：计算机专业的学生要具备三个能力： 理论抽象设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象
2、成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。确定数学模型：需要了解有哪些代数结构(系统)。抽象代数：可以培养学生的抽象逻辑思维能力。 本章所讨论的理论，在计算机的编译理论、程序理论、语义理论、编码理论、计算理论、逻辑设计理论、数据库理论等都有应用。 本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。,6-1 代数结构(系统)的概念,所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合，和若干个运算，构成的系统。一. n元运算 (n-ary operation) 如何定义运算,先看几个我们熟悉的例子：整数集合I上取相反数运算“-”、集合的补
3、运算“” 和N上的“+、”,I,I,可见运算“-”、“”、“+” “”就是个映射。,1.定义：设X是个集合，f:XnY是个映射，则称f 是X上的n元运算。(Xn =XX.X -n个X的笛卡尔积)，如果YX，则称运算f 在X上是封闭的。 f:XY 是个一元运算。前面的-、是一元运算。 f:X2Y 是个二元运算。+是二元运算。思考题：下面说法是否正确？ 减法是N上封闭的二元运算。 除法是整数 I上的二元运算。 除法是实数 R上的二元运算。这里我们主要讨论二元运算。 通常用、 、 、+、等表示抽象的二元运算。 如果用“”表示二元运算f 时， 通常将 f()=z 写成 xy=z 。,2.二元运算的运算
4、表 有时用一个表来表示二元运算的运算规律。 例如令E=a,b P(E)上的运算表如图所示。,从运算表除了可以看清运算的规律外，可以很容易地看出运算的性质。,再如令X=S,R,A,L其中 S表示开始时的位置； R表示“向右转”； A表示“向后转”； L表示“向左转”； “”表示转动的复合运算；其运算表如图所示。,二.代数系统的概念 (Algebraic system),1.代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算f1,f2,fm, 构成代数系统U,记作U= ( m1) 注意：这m个运算f1,f2,fm的元数可能各不相同, 比如f1是一元运算，f2是二元运算,fm是k元运算。 例如 ，2.有限
5、代数系统： U= 是个代数系统，如果X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。 例如上边的X=S,R,A,L，是个有限代数系统。3. 同类型代数系统：给定两个代数系统U= ，V= 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,m),则称U与V是同类型代数系统。 例如 作业 第178页 （2）,6-2 二元运算的性质*,这一节是重要的一节。因为就是根据运算的性质将代数系统分成半群、独异点、群、交换群、环、域、格、布尔代数等，这些性质多数是大家所熟悉的。一. 封闭性 设是X上的二元运算，如果对任何x,yX,有xyX,则称在X上封闭。 例如在N上加法+和乘法封闭，而减法不封闭。 从运算表可以很容
6、易看出运算是否封闭。二.交换性 设是X上的二元运算，如果对任何x,yX,有xy=yx, 则称是可交换的。 大家都知道：加法、乘法、交、并、对称差是可交换。,从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。,三.幂等元、幂等性设是X上的二元运算，如果有aX，aa=a, 则称a是幂等元，如果对任何xX,都有xx=x,则称有幂等性。 从运算表看幂等元、幂等性：看主对角线的元素与上表头(或左表头)元素相同。 请看上述的运算表，有幂等性。,四.幺元(单位元、恒等元) 设是X上的二元运算，如果有eLX，使得对任何xX，有eLx=x，则称eL是相对的左幺元。如果有eRX，使得对任何xX，有xeR=x ，则称eR
7、是相对的右幺元。如果eL= eR =e，对任何xX，有ex=xe=x, 称e是相对的幺元。 对加法+，幺元是0， 对乘法，幺元是1， 对并运算，幺元是， 对交运算，幺元是全集E，从运算表找左幺元eL ： eL所在行的各元素均与上表头元素相同。如S行，所以S是eL 。,eL,eR,从运算表找右幺元eR ： eR所在列的各元素均与左表头元素相同。如S列，所以S是eR 。,定理6-2.1.设是X上的二元运算，如果有左幺元 eLX，也有右幺元 eRX，则 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的。证明：因为 eL是左幺元，又eRX，所以 eLeR=eR 因为eR是右幺元，又 eL X，所以 eLeR
8、= eL于是 eL= eR =e 。 下面证明幺元的唯一性。假设有两个幺元e1、e2， 因为e1是幺元，又e2X，所以 e1e2=e2 因为e2是幺元，又 e1 X，所以 e1e2= e1则 e1= e2 =e 。所以幺元是唯一的。思考题. 减法运算是否有幺元？,五. 零元 设是X上的二元运算，如果有LX，使得对任何xX，有Lx=L，则称L 是相对的左零元。如果有RX，使得对任何xX，有xR=R ，则称R是相对的右零元。如果L=R=，对任何xX，有x=x=, 称是相对的零元。例如：对乘法，零元是0， 对并运算，零元是全集E ， 对交运算，零元是 ，,从运算表找左零元L ：L所在行的各元素均与左
9、表头元素相同。如行，所以是L 。从运算表找右零元R：R所在列的各元素均与上表头元素相同。如列，所以是R 。所以=,定理6-2.2.设是X上的二元运算，如果有左零元LX，也有右零元RX，则L=R =,且零元是唯一的。 证明的方法与前定理类似，从略。六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,zX,有(xy)z =x(yz),则称是可结合的。可结合的：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差，关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取。 是可结合的运算的，元素x的运算，通常可以写成乘幂的形式。如下： xx=x2 x2x=xx2=x3 xmxn=xm+n (xm)n=xmn思考题：对于加法 +：
10、 13 =( ) 对于乘法： 13 =( ),七.逆元设是X上有幺元e 的二元运算，xX，如果有xL-1X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元。如果有xR-1X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1X ,也称x可逆。例实数集合R上的+和，xR 对加+: x-1 = -x (e=0) 对乘: x-1 =1/x (x0) (e=1),xL-1,xR-1,R的逆： R-1 =L,x,x,从运算表找x的左 逆元 xL-1 ：在x列向下找到e后
11、，再向左到左表头元素即是xL-1 。,从运算表找x的右逆元 xR-1：在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。,定理6-2.3.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 xX，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等，且x的逆元是唯一的。证明：设xL-1、 xR-1分别是x的左、右逆元，于是有 xL-1x = x xR-1 =exR-1 =exR-1 =(xL-1x) xR-1=xL-1(x xR-1)=xL-1e=xL-1 假设x有两个逆元 x1、x2， 所以 x1x= e = x x2 x2 = ex2 =(x1x) x2=x1( x x2)=x1 e =x1所以x的逆元
12、是唯一的。定理6-2.4.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果xX，都存在左逆元，则x的左逆元也是它的右逆元。证明：任取aX，bX，ba=e, cX, cb=e, 于是有 ab=e(ab)=(cb)(ab) =c(ba)b=ceb=cb=e 所以b也是a的右逆元。,八.可消去性 设是X上的二元运算，aX，如果对任何x, yX,有 (ax=ay) x=y 或 (xa=ya) x=y 则称 a相对是可消去的。 例如对乘法而言，a0, a 就是可消去的。即 a0 ax=ay 则可得 x=y. 而集合的和都不满足可消去性。因为 AB=AC 或 AB=AC , 不一定有B=C .定理6-2.5. (
13、可消去性的判定定理)设是X上且可结合的二元运算，如aX,且a-1X.则a是可消去的。证明.如aX,且a-1X.任取x,yX,设有ax=ay 则 a-1(ax)= a-1(ay) (a-1a)x= (a-1a)y 所以 ex=ey x=y a相对是可消去的。如果有xa=ya 类似可得 x=y (此定理只是充分条件),九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,zX，有 x(yz)=(xy)(xz) 或 (xy)z =(xz)(yz) 则称对可分配。 例如 乘法对加法可分配。 集合的与互相可分配。 命题的与互相可分配。十.吸收律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,yX，有 x(xy)
14、=x 和 x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如 集合的与满足吸收律。 命题的与满足吸收律。,小结：和是代数系统, , 是二元运算：1.封闭性：x,yX, 有 xyX。2.可交换性：x,yX, 有 xy=y x。3.幂等性： xX, 有 xx=x。4. 有幺元： eX, xX，有 ex=xe=x.5.有零元: X,xX，有x=x=.6.可结合性：x,y,zX, 有 (xy)z =x(yz)。7.有逆元： xX, 有x-1X，使得 x-1x=xx-1=e8.可消去性： aX，x, yX,有 (ax=ay)(xa=ya) x=y. 9.分配律： 对可分配：x,y,zX，有 x(yz)=(xy)(
15、xz) 或 (xy)z =(xz)(yz) 10.吸收律：x,yX，有 x(xy)=x 和 x(xy)=x 对这些性质要求会判断、会证明。,练习：P178(2).下表给出几个集合，以及7个运算。判断这些运算在这些集合上是否满足封闭性。,A=x|-10x10: |10-(-10)|=|20|=20A,P185 (1) 对于实数集合R，给定一些运算和运算的性质如下表所示。判断这些运算是否具有这些性质。,|x-y|: 不可结合： |2-|3-4|=|2-1|=1 |2-3|-4|=|1-4|=3,无幺元 : x=3 |3-0|=3=x x=-3 |-3-0|=3x,(2) . 交换性 幂等元 幂等性
16、 有幺元 有零元 有可逆元素a) Y a N a N a-1=a,b-1=cb) Y a,c N a c a-1=a,b-1=bc) N a,b,c Y N,左幺 N,右零 N d) Y a,b N a N a-1=a,6-3 代数系统的同态与同构,有各种各样的代数系统，但是，有些代数系统表面上看不同，实际它们运算的性质相似、或完全一样。这就是代数系统间的同态、同构问题。一.例1 ：是正实数R+上的乘法 ； ： 是实数R上的加法+。表面上看这两个代数系统完全不同，实际它们运算的性质却完全一样，都满足：可交换、可结合、有幺元、每个元素可逆。 那么如何反映它们间的相同性呢？ 通过一个映射 f: R
17、+R 任何xR+, f(x)=lgx (是双射),任何x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y) f(1)=lg1=0在： 在 : x=100 f(x)=lgx=lg100=2 x-1 =1/100 f(x-1)=lgx-1 =lg1/100=-2=(f(x)-1,x。,y。,xy。,。f(x),。f(y),。f(x)+f(y),f,幺元1。,。幺元0,100。,100-1。,。f(100)=2,。f(100-1)=-2,计算尺的原理：就是用对数将乘法运算变成加法运算。 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lg x 0.00 0.30 0.48 0.6
18、0 0.70 0.78 0.85 0.90 0.95 1.00,二.同态、同构的定义,定义：设,是两个代数系统，和 都是二元运算，如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2X，有 f(x1x2)=f(x1)f(x2) -此式叫同态(同构)关系式则称 f是从到的同态映射，简称这两个代数系统同态。记作X Y。 并称为的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态映射。 如果f是入射的，称此同态f是单一同态映射。 如果f是双射的，称与同构，记作X Y。 f是到 的同态(同构),称之为自同态(自同构)。例如上边例子与 同构， f(x)=lgx 是它们的同构映射。 下面再看两个例子：,设I是整数集合，
19、R是I上模k(k是正整数)同余关系，因R是I上等价关系，所以得商集I/R，将I/R记作Nk, 即： Nk=0,1,2,k-1在Nk上定义运算+k和k ，我们分别称之为以k为模的加法和乘法。定义为： 任取x ,y Nk ， x +k y=(x+y)(mod k) xky=(xy)(mod k)例如 k=4 N4=0,1,2,3 2 +4 3=(2+3)(mod 4)=1 243=(23)(mod 4)=2下面为了方便，我们将N4=0,1,2,3简记成： N4=0,1,2,3 任何x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4),例2. N4=0,1,2,3,N4上定义运算+4：任何x,yN4
20、 , x+4 y=(x+y)(mod 4)其运算表如图所示。 B=0,1, 是B中“异或”运算。其运算表如下图所示：证明 N4 B：,g(2+4 2)=g(0)=0 g(2)g(2)=00=0 g(2+4 2)=g(2)g(2),其余类似可证N4 B,g(1+4 2)=g(3)=1 g(1)g(2) =10=1 g(1+4 2)=g(1)g(2),g(2+4 3)=g(1)=1 g(2)g(3)=01=1 g(2+4 3)=g(2)g(3),构造映射 g: N4B 如下：下面验证 g是同态映射。,下面看看同态代数系统运算表的相似性：将运算表中的各个元素分别用它的映像代替得到右表，看出此表与运算
21、表的相似性。,例3 . 证明与同构。,f(2+42)=f(0)=S f(2)f(2)=AA=S f(2+4 2)=f(2)f(2),f(1+43)=f(0)=S f(1)f(3)=RL=S f(1+4 3)=f(1) f(3),其余类似可验证N4 X,f(1+4 2)=f(3)=L f(1)f(2)=RA=L f(1+4 2)=f(1)f(2),f(2+4 3)=f(1)=R f(2)f(3)=AL=R f(2+4 3)=f(2)f(3),下面验证 f是同构映射。,构造映射 f:N4X 如下,下面看看同构的两个代数系统运算表的相同性：将运算表中的各个元素分别用它的映像代替得到右表，看出此表与运
22、算的相同性。,注意：代数系统 和同构的必要条件： 1.X和Y的基数相同，即KX=KY。 2. 和运算的元数相同。 3.存在双射 f:XY，且满足同构关系式。因为并不是所有双射都满足同构关系式。如例3 、中,设g:N4X 如右图所示，,g(1+4 1)=g(2)=L g(1)g(1)=AA=S g(1+4 1)g(1)g(1)所以g不是同构映射。 实际上同构映射必须是幺元对幺元，零元对零元、.我们 后边要介绍。,三 .代数系统间的同构关系是等价关系,1. 有自反性：任何代数系统 , 有XX。 证明： 因为有双射 IX:XX, 任取x1 ,x2X，有 IX(x1x2)= x1x2 =IX(x1)I
23、X(x2) 所以 XX。2. 有对称性：任何代数系统 , 如果有 X Y ， 则必有Y X。证明：因有X Y，有双射 f:XY, 任取x1 ,x2X，有 f(x1x2)= f(x1) f(x2) 因 f是双射，有 f-1 :YX, 任取y1 ,y2Y 因 f :XY是满射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1), y2=f(x2) x1=f-1(y1) , x2=f-1(y2) f-1(y1 y2)=f-1(f(x1) f(x2)= f-1(f(x1x2)= f-1f(x1 x2) = IX(x1x2)=x1x2 =f-1(y1)f-1(y2) Y X,3. 有传递性：任何代数系统 , 如果
24、有X Y 和 Y Z，则必有 X Z 。证明：因有X Y，有双射 f:XY, 任取x1 ,x2X，有 f(x1 x2)= f(x1) f(x2) 因有Y Z ，有双射 g:YZ, 任取y1 ,y2Y，有 g(y1 y2)= g(y1)g(y2)又已知双射 gf :XZ, 任取x1 ,x2X， 令h=gf h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2)=g(f(x1) f(x2) ) =g(f(x1) g(f(x2)= gf(x1) gf(x2)=h(x1)h(x2) X Z 是个等价关系。,四. 代数系统同构的性质,任何代数系统, , X Y, f:XY是同构映射, 任取x1 ,x2X，
25、有 f(x1x2) = f(x1) f(x2)。 1. (保持结合律)如果运算可结合，则运算也可结合。证明：任取y1 ,y2 , y3 Y 因 f :XY是满射，x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1(y2 y3 ) = f(x1) (f(x2) f(x3) = f(x1) f(x2x3) =f(x1(x2x3) =f( x1x2)x3) (因可结合)= f(x1x2) f(x3) = (f(x1)f(x2) f(x3)= ( y1 y2 ) y3 也可结合。2. (保持交换律)如果运算可交换，则运算也可交换。证明的方法与1.类似。
26、,3. (保持幺元存在性)如果运算有幺元e ，则运算也有幺元e ，且f(e )= e 。证明：任取yY 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) y f(e)= f(x) f(e)=f(xe) =f(x)=y f(e) y=f(e) f(x)=f(ex) =f(x)=y所以f(e )是相对的幺元。即f(e)= e 。4. (保持零元存在性)如果运算有零元 ，则运算也有零元 ，且f()= 。证明：任取yY 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) y f() = f(x) f()=f(x) = f() f() y= f() f(x)=f(x) = f() 所以f() 是相对的零元
27、。即f() =,5. (保持逆元存在性)如果中每个xX可逆，即x-1X, 则中每个yY也可逆，即y-1Y。 且如果y=f(x) ，则 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。(映像的逆元=逆元的映像)证明：任取yY 因 f :XY是满射，xX, 使得 y=f(x) (只要证出 y f(x-1)= e和 f(x-1) y= e 即可) 设运算的幺元e ，运算的幺元e 。 f(e)= e 。 y f(x-1)= f(x) f(x-1)=f(xx-1) =f(e)= e f(x-1) y=f(x-1) f (x)=f(x-1x) =f(e)= e 所以 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。
28、下面是含有两个运算的代数系统的同构的性质的保持问题。,定义：令和是含有两个运算的代数系统，其中+、 、 都是二元运算，如果存在双射f:XY, 使得对任何x1 , x2X，满足 f(x1+x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：+与对应) f(x1x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：与对应)则称这两个代数系统同构。6. (保持分配律)如果运算+对可分配, 则对也可分配。证明：任取y1 ,y2 , y3 Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ( y2 y3 )=f(x1)(f(x2) f(x3
29、) = f(x1) f(x2x3)= f(x1+(x2x3) = f(x1+ x2)(x1+ x3) (因+对可分配) = f(x1+x2) f(x1+x3) = (f(x1)f(x2) (f(x1)f(x3) = (y1y2) (y1y3) 所以对 也可分配。,7. (保持吸收律)如果运算+和满足吸收律, 则和也满足吸收律。证明：任取y1 ,y2Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2)。 y1 ( y1 y2 )=f(x1)(f(x1) f(x2) = f(x1) f(x1x2)= f(x1+(x1x2) = f( x1) (因+和满足吸收律)
30、 = y1 y1 ( y1 y2 )=f(x1) (f(x1) f(x2) = f(x1) f(x1 + x2)= f(x1(x1+x2) = f( x1) (因+和满足吸收律) = y1 上边讲的同构性质的保持：是将X中运算的性质，保持到Y中运算。实际上，由于是对称的，所以Y中运算的性质，也可以保持到X中运算。这就是双向保持。,五. 同态性质的保持,定理：代数系统, , XY, f:XY是同态映射, 如果中满足交换、结合、有幺元、有零元、每个元素可逆, 则中也满足上述性质。证明的方法与前一样。所不同的是，不是在Y中取元素，而是在值域f(X)中取元素。因为f不一定是满射的。,所以，同态关系不满
31、足对称性，因而同态性质的保持只是单向的。即Y中的性质，X中不一定有。,六. 同态核,定义：f是从到 的同态映射, (XY),e和 e 分别是X、Y中幺元。定义集合ker (f)为： ker (f)=x|xXf(x)= e 称ker (f)为 f的同态核。,例 g 是到的同态映射。,ker (g)=0,2,本节重点掌握：代数系统同态、同构的概念。同态、同构的证明。同构关系的性质(等价关系)。代数系统同构的性质保持。 作业 P221 (3),6-4 同余关系,在代数系统中有一种很重要的关系同余关系。它在化简运算过程中具有十分重要的作用。,1.例子:计算 与 相加时，很少将这两个分数直接通分再相加,
32、而是先对它们进行约分后，,再通分相加，即用 代替 ， 用 代替,用 代替 ，这个过程说明了：, ( )( ),实际上，我们将所有分数按照数值相等关系“”（等价关系），进行划分，可以看出：,因为 和 属于 这个等价类。,而 和 属于 这个等价类。,实际上，任取x ，y , 都有x+y 。,的上述性质，就是代数系统中，运算的“置换性质”,2.“置换性质”定义：代数系统U，是X上的二元运算，设E是X上的等价关系，对任何x1,x2,y1,y2X,有 x1Ex2 y1Ey2 ( x1y1)E( x2y2) 则称对于运算，相对等价关系E, 具有置换性质。例如：, ( )( ),代数系统的“置换性质”在运算
33、过程中是非常重要的。 3. 同余关系及同余类的定义： 设U是个代数系统, 是X上的二元运算,E是X中的等价关系，如果相对E满足置换性质，则称E是代数系统U中的同余关系。 商集X/E中的等价类，称之为同余类。,例如：代数系统，I是整数集合，E是I上的模3同余关系，求证E是上的同余关系。证明： (已经证明过E是等价关系，这里只证满足置换性)任取x1,x2,y1,y2I, 假设有 x1Ex2 y1Ey2 (x1Ex2 x1/3与x2 /3 的余数相同), 由假设得到下面式子: x1=3m+a x2=3n+a m,n I (0a3) y1=3i+b y2=3j+b i,j I (0b3) 于是 x1y
34、13(m+i) +(a+b) x2+y23(n+j) +(a+b) 可见 (x1y1 )(mod 3) =(a+b)(mod 3) = (x2y2 )(mod 3)所以有 (x1y1 )E(x2y2 )。 x1Ex2 y1Ey2 ( x1 + y1)E( x2+y2) 所以E是上的同余关系。作业 P222 (8) (10),6-5 半群和独异点,按照运算的性质将代数系统分成几类抽象的代数系统。 含有一个运算的：半群、独异点、群 含有二个运算的：环、域 含有三个运算的：布尔代数 (第七章介绍)下面我们将逐一介绍，先介绍最简单的代数系统-半群。一. 半群(Semi-group)1.定义：S是个非空
35、集合， 是S上的二元运算，如果在S上满足封闭性、可结合性，则称是半群。 例1. , ,都是半群。,例2. 任何一种语言都有个基本符号表，称之为字母表。令V是计算机机器语言的字母表，V=0,1,计算机的任何一条指令，都是个由0和1组成的符号串，由0和1组成的所有符号串的集合是V+ ，其中 V+ =VV2V3.Vn.在V+上定义符号串的联结运算，为： 0101 001=0101001显然运算是封闭和可结合的，所以是个半群。2.交换半群 是半群，如是可交换的，则称它是交换半群。例. ,都是交换半群。3.子半群是个半群,BS,如果在B上封闭, 则称是的子半群。 例是的子半群。,定理6-5.1设是半群，
36、如果S是有限集合，则必存在aS,使得aa=a。证明：因是有限半群,在S上封闭,所以任何bS,对任何i1有biS,因i可以取无穷多个值，所以必存在正整数i,j(ij) ,使得bi = bj , 令p=j-i ,显然p1，j=p+i,于是 bi = bj = bp+i = bpbi 即 bi = bpbi bib = bpbib bi+1 = bpbi+1 bi+1b = bpbi+1 b bi+2 = bp bi+2 .于是对所有大于i的正整数q有： bq = bpbq 因p1，总可以找到k1，使得kpi，于是有 bkp = bp bkp = bp (bp bkp) = ( bp bp ) bk
37、p = b2p bkp = b2p (bp bkp) = b3p bkp = = bkp bkp令bkp =a, 于是有 aa=a,二. 独异点 ( Monoid ) 1.独异点定义：设是个半群,如果对有幺元。则称是个独异点，也称它是含幺半群。 , 幺元是0 , 幺元是1 ,幺元是E 幺元是 幺元是 所以它们都是独异点。2.交换独异点 是独异点，如是可交换的，则称它是交换独异点。例. ,都是交换独异点。3.子独异点:是个独异点,BM, 如果在B上封闭，且幺元eB,则称是的子独异点。 例是的子独异点。,定理6-5.2设是交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合，则是的子独异点。证明：先证幺元 e
38、A。因为 ee=e 所以e是幂等元。因此eA。再证在A上封闭。任取a,bA, 即 aa=a， bb=b(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b (可交换)= (aa)(bb)= ab 所以ab也是幂等元 abA。(3)可结合不必证明，自然继承下来。所以也是独异点，且是的子独异点。 作业 P190 (3),(5),6-6 群* Group,群是抽象代数中最重要的，所以对它的研究也比较多。一. 概念1.群的定义：设是个代数系统，如果满足封闭、可结合、有幺元且每个元素可逆，则称它是个群。例：, 幺元是0，每个x的逆元是 -x 。 幺元是 ，因任何XP(E) XX=X-1=X, ,是群。而 ,都有
39、幺元，但不是群。2.有限群:令 是群，G是有限集，则称它是有限群.,半群:,封闭,结合,独异点:,有幺元,群,可逆,二.群的性质,群除了具有封闭、结合、有幺元、可逆外，还有些重要性质。下面就讨论这些性质。1.群满足可消去性定理6-6.1设是个群，则对任何a,b,cG, 如果有 ab=ac 则 b=c 。 ba= ca 则 b=c 。证明:任取a,b,cG, 设有ab=ac 因是个群，所以a-1G, 于是有 a-1(ab)= a-1(ac) (a-1a)b= (a-1a )c eb=ec 所以 b=c 类似可证(2).,2. 群方程可解性定理6-6.2 设是个群，则对任何a,bG, 存在唯一元素 xG, 使得 ax=b . 存在唯一元素 yG, 使得 ya=b .证明:先证明式有解 因是个群，对任何a,bG,有a-1G, a-1bG, 用 a-1b 代入中的x得： ax= a(a-1b)= (aa-1)b= eb=b 所以x=a-1b是方程的解。 再证明式的解的唯一性 设式有两个解x1, x2G, 于是有 ax1=b ax2=b 所以 ax1= ax2，由可消去性得 x1=x2 类似可证明,
