第七章多变数函数的微分学.ppt

1、 1第四章 多變數函數的微分學 4.1 偏導數定義定義 4.1.1 極限值 ApVpfAp00)(lim )(pf2定理 4.1.1 極限 的基本定理值(1) 極限 的唯一性值 : 若 存在，則 其 必 唯一。值 為(2) 若 且 ( 與 常數 為 ) ，則 且常數且為)(lim pfAp)(lim pfApmpgAp)(lim m)(lim()(lim()()(lim pgpfpgpfApApAp mpgpfpgpfApApAp)(lim)(lim()()(lim0)(,)(lim)(lim)( )(lim pgmpgpfpgpfApApAp 0mkkpfkpkfApAp,)(lim()(l

2、im( Rk3(3) 若 多項式函數，則為(4) 若 有理函數，則為其中 與 均 多項式函數 為且 。(5) 若 存在且點 以及點 ，則 反之亦然。 )(pf)()(lim AfpfAp)(ph)(pg)(pf0)(,0)( Agpg)(lim pfAp),( yxP ),(lim(lim),(lim(lim0000yxfyxfxxyyyyxx ),( 00 yxA),(lim),(),( 00yxfyxyx )()()()(lim)(limAgAfpgpfphApAp4一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限 是值否存在 :若點 及點 ，則(1) 若 且 ，而且 ，則不存在。(2) 若

3、 ，則 不存在。(3) 若 ，則 不存在。),( yxP ),( 00 yxA),(lim),(),( 00yxfyxyxmyxfyxyx),(lim),(),( 00 m)(lim pfAp),(lim),(lim 0),(),(0),(),( 000000yxfyxfyxyxyxyx )(lim pfAp),(lim(lim),(lim(lim0000yxfyxfxxyyyyxx )(lim pfAp5例 1. 試求下列各題的極限 。值(1) 若函數 但 ，試決定。(2) 若函數 但 ，試決定 。(3) 若函數 但 ，試決定 。(4) 若函數 但 ，試決定。222 ),(,),( RyxV

4、yxxyyxf )0,0(),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 2),(,),( RyxVyxxyyxf )0,0(),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 2),(,),( RyxVyxyxyxf )0,0(),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 24422),(,),( RyxVyx yxyxf )0,0(),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 6解 : (1) 我們考慮通過原點之直線 上的點，則 若 ，則我們有若 ，則我們有得知 不存在 Rmmxy , ),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 4422)0,0(),(4422)0

5、,0(),( )()(limlimmxxmxxyxyxyxyx 42)0,0(),(4442)0,0(),( 1lim)(lim mmmxx xmyxyx 0m001 01lim),(lim 42)0,0(),()0,0(),( mmyxfyxyx211111lim),(lim 42)0,0(),()0,0(),( mmyxfyxyx1m),(lim)0,0(),(yxfyx 7(2) 我們考慮通過原點之直線 上的點，則 Rmmxy , ),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx mxxmxxyxxyyxyx )(limlim)0,0(),()0,0(),()1(lim2)0,0(),

6、( mxmxyx 01lim)0,0(),(xmmyx8(3) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有若 ，則我們有得知 不存在 Rmmxy , ),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx mxxmxxyxyxyxyx )0,0(),()0,0(),(limlim mmmmyx 1111lim)0,0(),(0m 101 0111lim),(lim )0,0(),()0,0(),( mmyxf yxyx2m 21 2111lim),(lim)0,0(),()0,0(),( mmyxfyxyx ),(lim )0,0(),( yxfyx 39(4) 我們考慮通過原點之直線

7、上的點，則 若 ，則我們有若 ，則我們有得知 不存在 Rmmxy , ),( yx),(lim)0,0(),(yxfyx 4422)0,0(),(4422)0,0(),( )()(limlimmxxmxxyxyxyxyx 42)0,0(),(4442)0,0(),( 1lim)1(lim mmxmxmyxyx 0m 00101lim),(lim42)0,0(),()0,0(),( mmyxfyxyx1m 211111lim),(lim 42)0,0(),()0,0(),( mmyxfyxyx),(lim)0,0(),(yxfyx 10定義 4.1.2 連續 函數 在點 連續 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即此時必須滿足下列三個條件 :(1) 函數 存在值 ( 即點 必定在函數 的定義域內 ) 。(2) 極限 存在。值(3) ( 即“極限 等於函數 ” 值 值 ) 。當然，倘若函數 在其定義域 中的任意點均連續，則稱函數 在 中 連續函數。 為)(pf A )()(lim AfpfAp ApVAfpfAp00)()(lim )()( Afpf)(Af A )(pf)(lim pfAp)()(lim AfpfApf DDf