1、- 13 -2005 年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上（1）解 .2 000 01ln(1)1 1limimlim(ln)1li2(1)22xxx xxIeeee （2）解 .22100|yyydd（3）解 .cos(1cos)ininxxay.2si(cs)cos23coto1iindxaa（4）解 将 看作 的隐函数，于是，由 ， ，对,xysixRsinyR求偏导.得：x.1cossin()0icoRRxx用克莱姆法则解出 .sxR另解： ，两边对 求偏导，22inxyx得： ，即 .sco2sin
2、cosincoRx得： .xR同理，可得： .csiny（5） 解 .1102021limarctn2|arctn2()nk dxI x（6）解 由题设， .()3,() () |0PABPA- 14 -.84386205ttt二、选 择 题 （ 本 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 32 分 ， 每 小 题 给 出 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 符 合题 目 要 求 ， 把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内 ）（7）解 要使 在 处连续，必须使()fx0. 选（B）.2 22000sinsinsinlimllm1xxxtdk（8）解
3、.22cos1dydytttx2 22 2(cs)(cs)(2sincos)cosdyyytdyyt tttxdtdxt. 选（D）.242oinottt（9）解 ，lnyyxe故 .lnbyaSd（10）解 .()2()10fxfx令 ， ， . 选（B ）.00()f（11）解 .524242111()()()|xxxtgxgtdtg x0ln a a b1 题 9- 15 -令 ，得 . 选（C）.2x132167(4)( (4)55gg（12）解 .2(5)sinDyx*211(2)sin25y xD. 选（D）.2si(4co)547x（13）解 由题设，特征值 ： .3,1.2|(
4、3)1A的特征值为 ： ，*35AE|5， .2()423()1故 . 选（D）.*|35|()AE（14）解 由题设， ， . 选（A）.()ijmna()RAr三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15） （本题满分 10 分）解 .22200011sisi1lllisnnxxx000 1113l(3)l()lim()limln()im2sis2 303li()2 xxxx eeexe .1I（16） （本题满分 10 分）解 令 ，由 .xy()() (1)() (1)0fxyfyfff00()limlimy yxxf0(1)()liyf
5、fx(1)ffxyy- 16 -， （*）(1)f()1fxf . ln()ln ()()xdf fxcfxcf令 为（*）的解，将其代入并整理， ()fc得： ， .1x 2()cxc故 .2()f令 ，得： .1x01 1c故 .()fx（17） （本题满分 11 分）解 设对 ， ， .用反证法.12x1,(,)ab12()0fxf若 在 内恒不为 ，令 ，()g12,)0()Fg在 内成立，又 ，(fxfgx(,)ab12()0fxf必不为 .12(),g0于是， 在 上连续，在 内可导，且 .()Fx12,12(,)x12()Fx由洛尔定理， 一个 ，使 .12(,)2()0fgf与
6、 矛盾. 命题得证.()0fgf（18） （本题满分 12 分）证明 00()()2()xxFftdtf0()xtfd0 2()()xutuufd令 00()2()xxfdtf- 17 -.00() ()2()()xxfxftdtfFx为 偶 函 数故 为偶函数.()fx 0()()()xFftdfxf0()()xftfx., )(fx由 积 分 中 值 定 理 ，当 时， ，由 非增， ；xx()f() ()0fxF当 时， ，由 非增， ；00当 时， .x()Fx综上所述， . 故 非减.()x（19） （本题满分 12 分）解 ，(),()vuZfxyh.ffy2()()uvxfhfx
7、y2 21()()1)()uvvvuu vffxyhfyffxhy.2 2()()()()()uv vu vxf fxff.1uvZffhyy2()uvfxf2 21()()1()uvvvuu vffhyxfhyffxhy.2 22()vx- 18 -（20） （本题满分 11 分）解 ()()xaaxgtfdtftd.()aaxxf ftd.()()()()()()()()x a aa xaxgftdfxffftdfftftd .20故 单调增大.()gx令 .0 . （*）02 20(0)|()()1 ()()()1a aagtfdtfatfdtffa 两边对 求导，得： .2f()ftf
8、.2()2)2 2 ln()11aaf facf由（*）可知 ，代入上式，得： .(0)lc故 .222ln()1 ()1aatfefe （21） （本题满分 10 分）解：由以上分析可得：， ， .于是 .1 dhctct0,th10chct代入 ，得： （ 常数） （ 为任意常数）.xkdxAtklnxAtB将 时， ； 时， ； 时， 代入， tT0T2xtT3得： lnAB(1)2l3- 19 - ，- ，T+1Aln22ln1TA（分）.5() 0 37下雪从上午 7 点 23 分开始.（22） （本题满分 9 分）解 设 ， . 为 的特征值，则有 .Ax0AkAx.而 .0 kk
9、()(1)Ex（ ）可知， 得特征值全为 1.故 .E|1用反证法.若 可对角化，则存在可逆阵 ，使 ，其中 是由 的特征值构APAA成的对角阵，即 .从而 .与 矛盾.这说明 不能对角化.00（23） （本题满分 9 分）解 由题设可知 为 的特解. 为 的基础解系，且可(1,2)TAx(1,20)Tx知向量组 的秩为 3.1234,设 可由 线性表示，则有 ，即 为1234kk123(,0)Tk的解.Ax于是， 是 的解.故它可由123123(,0)(1,2)(,)TTTk0Ax线性表示.而 与 线性无关，矛盾.故 不能由(,)T3,kk0线性表示.123 是 方 程 组 的 解 ， 可 由 线 性 表 示 .,Ax1231 234,又 可由 线性表示，所以又 可由 线性表示.1234,4,又 向 量 组 的 秩 为 3， 故 是 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组 .234,1234,
