1、推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第九章,第一节,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、 平面点集,1. 邻域(neighborhood),(圆邻域),说明: 若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集.,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2. 区域(domain),(1) 内点、外点、边界点,设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，
2、它们之间的关系有如下三种：,内点,外点,边界点,（i） 内点,但一般情形下：,此时,（ii）外点：,如果存在点P的某一领域不含有 E 中的点,显然E的外点必然不属于E。,（ii）边界点,例如.,注：E的边界点本身可以属于E，也可以不属于E.,(2) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有E 的聚点所成的点集成为 E 的导集 , 记作,E 的边界点 ),例如,(0,0) 是聚点但不属于集合, 内点一定是聚点；, 边界点可能是聚点；,(0,0)是聚点,集合中的点都是边界点，但不是聚
3、点.,(3) 开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E , 则称 E 为闭集；, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,*3. n 维空
4、间,n 元有序数组,的全体所构成的集合记作,即,中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即,定义:,线性运算,其元素称为点或,n 维向量.,xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.,称为 n 维空间,的距离定义为,中点 a 的 邻域为,与零元 0 的距离为,则称 x,显然,趋于a ,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,例如, 二元函数,定义
5、域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,在讨论用算式表达的多元函数 u=f(x) 时， 以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成 的点集称为这个多元函数的自然定义域。,约定：,对这类函数，定义域不在特别标出。,三、多元函数的极限,定义2. 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n =2 时, 记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,(二重极限
6、),(2) 类似于一元函数极限的讨论，对二元函数极限同样有极限值唯一性，局部保号性，极限的四则运算和复合运算法则，函数局部有界性等,例如：函数与其极限的关系,(1) 定义中 的方式是任意的；,反之不成立,说明：,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,方法二：令,则,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证,例3 求极限,解,其中, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例4.
7、 讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注. 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例4 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,例2,不能.,例5 证明极限 不存在,故极限不存在.,但是取,则,解： 取,求二元函数极限的方法, 利用两边夹方法 利用极坐标代换转化为一元函数的极限选择不同的极限路径, 证明极限不存在利用累次极限来证明极限不存在,四、 多元函数的连续性,定义3 . 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,
8、连续,把一元初等函数看成二元函数的特例(即另一个自变量不出现)，,可以得到它们的连续性。,例如,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,解,取,故函数在(0,0)处连续.,多元初等函数：由多元多项式及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所表示的多元函数叫多元初等函数 .,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,根据多元函数的极限运算法则，可证得,多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；,多元连续函数的商在分母不为零处仍连续；,多元连续函数的复合函数也是连续函
9、数；,例7,解,例8. 求函数,的连续区域.,解:,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,P65 5 (2), (4), (6) (画图) 6 (2), (3), (4), (5), (6) *7， *9,第二节,作 业(3-21),备用题,1. 设,求,解法1 令,1 .,设,求,解法2 令,即,2.,是否存在？,解: 利用,所以极限不存在.,3. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,4. 求,解: 因,而,此函数定义域不包括 x , y 轴,则,故,
