1、线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编习题一（A 类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n 1)321 ； (4) 13(2n 1)(2n)(2n 2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n 1)321)= 0+1+2 +(n 1)= ;(1)2(4) (13(2n 1)(2n)(2n 2)2)=0+1+( n 1)+(n 1)+(n 2)+1+0= n(n 1).2. 求出 j，k 使 9 级排列 24j157k98 为偶排列。解：由排列为 9 级排列
2、，所以 j,k 只能为 3、6.由 2 排首位，逆序为 0,4 的逆序数为 0，1 的逆序数为 3，7 的逆序数为 0，9 的为 0，8 的为 1.由 0+0+3+0+1=4，为偶数.若 j=3,k=6，则 j 的逆序为 1，5 的逆序数为 0，k 的为 1,符合题意；若 j=6,k=3,则 j 的逆序为 0，5 的逆序数为 1，k 的为4，不符合题意.所以 j=3、k=6.3. 写出 4 阶行列式中含有因子 的项。234a解：D 4= 1234()1jjj由题意有： 23,.j故 123414jjD4 中含的 项为：234a(1243) (3241)34341aa 即为： 1132414.
3、在 6 阶行列式中，下列各项应带 什么符号？（1） ；234561aa解： 231456142356aaa因为 ，()()1所以该项带正号。（2） 341562aa解： 1425316a因为 ，()8()8所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1) ； (2) . （3）0213412034510210nn【解】(1) D=( 1) (2314)4!=24; (2) D=12.（3）由题意知：1231,0nijaa其 余所以 12()1233441,1()()(231)!njnjjnjnDaan 6. 计算下列各行列式.(1) ； (2) ；2143506abcaedff(3) ；
4、(4) .10abcd1234【解】(1) ;12506231rD(2) ;41abcdefabcdef20101(3)() 101;D cdccdddab32122133 444001403() 160.rcr 7. 证明下列各式.(1) ；223()1abab(2) ；22222222()()()30(1)()()bccdd(3) 32 21aabbcbcc(4) ；20()0nnabDadccd (5) .1211niinaaa【证明】(1) 132 223()()01()()()()cabbababab且 且.(2) 32213 44 - 4691260ccacddd 且.(3) 首先
5、考虑 4 阶范德蒙行列式: 23231()()()()(*)xaf xabxcacbbc从上面的 4 阶范德蒙行列式知，多 项式 f(x)的 x 的系数为 21()(),aabcabcabcbc但对（*）式右端行列式按第一行展开知 x 的系数为两者应相等，故 231(),bc(4) 对 D2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)000 0,nnnnababDcdcdadbcDadbc 据此递推下去，可得 22(1)2()1(nnnDccadbadb2().nnDc(5) 对行列式的阶数 n 用数学归纳法.当 n=2 时，可直接 验算结论成立，假定对这样的 n 1阶行列式结论成立，进而证
6、明阶数为 n 时结论也成立.按 Dn 的最后一列，把 Dn 拆成两个 n 阶行列式相加： 11 22 11211 01.n nnnaa aaD 但由归纳假设 112,nniaa从而有 1121212111.nnninnn ii iDa aa 8. 计算下列 n 阶行列式.(1) (2) ；1nxD 12232nDn (3) . (4) .0000nxyDxyy 10021nD【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出 x+(n 1),得1(),nDx将第一行乘（ 1 ）后分别加到其余各行，得 1110()()(.0nnxDxx(2) 按第二行展开2131 20002nrrDn 22010(
7、)!.2n(3) 行列式按第一列展开后，得 1(1)(1)()000()00.nnnnxyyxDxyy xyx (4) 2102001012020101122nD .2n即有 1221nnDD由 得1n n.1,n 9. 计算 n 阶行列式. 12121nn naaD【解】各列都加到第一列，再从第一列提出 ，得1nia23123,1nnni nDaa将第一行乘（ 1 ）后加到其余各行，得 231 100.1nn nni iaaD 10. 计算 阶行列式（其中 ）.n0,2,ian.11112322213111nnnnnnnnaabbD【解】行列式的各列提取因子 ,然后应用范德蒙行列式.(,)n
8、ja 3122223112 111132112()(). nnnn nnnnjinji bbbaaaDabbbaaaa 11. 已知 4 阶行列式 D 中第 3 列元素依次为-1 ，2，0，1，它们的余子式依次为 8，7，2，10，求行列式 D 的值。解：D= ，121423341240aa233438,7,10MM312334312344567()()(1)(1)()87000.iiiDaaa12. 用克拉默法则解方程组.（1） （2）245,37.x123,4.x(3) (4) 123423 5,1 2, .xx 1234556 1,0 , 6 1.xx【解】（1）因为 124507xD=
9、 ；D1= ；D2=34083所以 120, .4xx（2）因为231xD=1()2,310512riD1= 11036406D2=2421D3=103742所以 31247,.555DDxxx(3)方程组的系数行列式为 0101132380;2021243D1 23 45015018; 36;23501516; 18.22303DD故原方程组有惟一解，为 312 4,2,1.DDxxxx1234512345(4)65,071709291,.5613. 满足什么条件时，线性方程 组 有唯一解？123,4x解：D=32(1)20455c= (1)(1)4)要使方程组有唯一解，必须 D ，于是：0(154)0解得： 12,5当 不等于 1， 时，方程组有唯一解。414. 和 为何值时，齐次方程 组 1230,x有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 10,2
