1、1对线性代数内容需求作深入调查的建议各位专家：为了做好线性代数的课程改革，我们希望各对理工经管各专业和课程进行一次广泛的调查。希望得到您们的支持。一、线性代数大纲的现存问题线性代数课程是在上世纪 50 年代末进入美国大学教学计划的1，开始时专为数学系的研究生开设，以后随着计算机的发展，其重要性日益显著，在 1965年被美国数学计划委员会(CUPM)列为本科课程。并逐渐为理工经管各非数学专业的学生所选修。中国大概比美国晚了 20-30 年，在上世纪 80 年代时进入教学计划2 ，1995 年教育部基础数学分教指委正式将之列为本科必修的三门基础数学之一，并参照美国(CUPM)的要求，制定了相应的大
2、纲。目前每年修此课的学生达数百万，线性代数教师也数以万计。线性代数进入大学本科，是一个很大的进步，特别因为它可以为数学和其他工程技术课程的计算现代化打下良好的基础。但是，由于实施时间才 20 年，计算技术发展又极其迅速，其目前的大纲又是很早制定的，存在着不少的问题。主要表现为：1. 与科学计算发展的衔接问题：美国(CUPM)的大纲是参照 Emmy Noether在 1941 年所提出的向量空间的体系制定的，她是搞近世代数的，显然带有很强的满足数学专业的需求倾向。那时计算机还没有发明，线性代数可以帮助推理，却不能够帮助算题。随着计算机的出现，工程上大量用矩阵来解题，线性代数的主要用途已经转向数值
3、计算，现有大纲对此几乎没有任何体现。2. 与教育对象水平的匹配问题：原来这门课的大纲是对数学系少数研究生的。在几十年中，大纲几乎没变，而修课的却成为广大的非数学系低年级学生，中国的有些学校在大一上就开此课，那时学生连三维空间的概念尚没建立（刚学制图和投影几何），微积分也没讲到双变量，工程感性知识几乎空白，在这样的基础上要他们接受 N 维空间的抽象，从教育学上也违背了认识论的规律。加上近十几年学生人数扩招剧增，平均水平下降，对数学的瘦身和平民化提出了更高的要求，线性代数的的内容与此更不适应。3. 与非数学专业的磨合问题：非数学专业的后续课程存在着大量的代数问题，许多微积分问题都化为代数方程求解，
4、其中最多的是线性的，所以线性代数本应该成为后续课最为有用的数学工具。然而，90 年代之前毕业的各课教师，大都没有修过线性代数，更没有将它与计算机结合的实践。他们在教材和上课中用的还是传统的代入法和消去法，以致后续课使用线性代数者寥寥无几，而现代科学技术中需要解决的却是高阶、复数、超定的线性方程组，要用计算机与线性代数的结合才能解决，这样的要求在课程大纲中也没有反映。4. 可以与微积分做一个比较，微积分列入大学基础数学课已有 100200 年的历史，它与工程专业的磨合进行了无数次，所以它的每一个部分几乎都有明确的工程应用背景和例题。而线性代数的大纲从提出到现在就基本没有修改过（除了与空间解析几何
5、合并外），多数教材举不出几个工程实例，大部分学完此课的毕业生和许多教师至今也说不出学本课的应用目的，只好含糊地说是“培养抽象思维能力”，因此学生更少有学习的主动性。二、对线性代数已有的需求调查和改革行动美国的线性代数教育从 1990 年起开始了一次大的改革，该年 1 月，一些有2名望的数学家们组成了线性代数大纲研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究线性代数教育如何满足非数学专业的不同需求。同年，在美国国家科学基金会(NSF)资助的一个大会上，在听取了一些工程专家意见的基础上，提出了五条重要改革建议，简称为 LACSG Recomm
6、endations3。1992年 NSF 又资助了一个用软件工具增强线性代数教学(英文缩写为 ATLAST)计划。从 1992 到 1997 六年中培训了大量会使用软件工具的教师，编出了教材和习题集，此后美国的线性代数教材几乎全部都采用了 MATLAB 语言。从工科课程广泛使用计算机的需求出发，我们从 1995 年开始编写把 MATLAB应用于各门课程的教材46，到 2005 年才深刻认识到，要在各门课程中用好计算机，关键要学好用好线性代数；反过来说，要改革好线性代数，必须弄清后续课程以及未来工作对线性代数的需求，才能有的放矢，立于不败之地。我们十多年的工作实际上是做了一个后续课的需求调查（见
7、附表的 A）。其实大学本科各课所用的数学主要是代数和微积分（含微分方程），大量的微积分问题早都化为了代数问题（如拉普拉斯变换）。计算机出现后，微积分更变成了代数数值计算，而且多是化为线性的。因此，会用计算机和矩阵解决高阶、复数和超定线性方程组，也就能解决各课中的大部分数学问题。这么好、这么有用的工具，目前由于没有与计算机结合，却没有用武之地。在教师、学校、基础数学课程分教指委支持下，经过几年试点后，在 2009年初，由高教司主持立项，批准我们承担“用 MATLAB 及建模实践改造工科线性代数”的专题，联合 16 所大学，共同实施。第一步就是将“普及机算”列为主要目标。这一改革受到了参改师生的欢
8、迎，许多参加试点的老师还提出了他们各自专业中用线性代数解决问题的实例，不但进一步证明线性代数与机算结合后的巨大威力，而且激发了学生学好这门课的自觉性，有的学生还主动地开发了利用线性代数解决问题的项目。这是过去从未出现过的创新行为。我们把这些成果也作为需求调查的一部分放在附表的 B 部分中。以上两组调查的需求，主要都集中在方程组求解和矩阵应用方面，我们很需要知道对最难懂的向量空间部分，究竟有什么工程需求？能否瘦身的问题。现在我们知道的对向量空间的需求有以下几方面：1.属于线性代数自身需要的有：特征值和特征方程的几何意义；超定方程最小二乘解的公式推导；二次型的正定负定性；考研的需要 等。但除了是来
9、自本课以外低年级课程的需求外，其他的还不能认为是外部需求。2.游宏教授的一封信中谈到了保密编码中要用到向量空间的概念。3.廖振鹏院士的一封信中谈到他从事波动数值模拟研究和应用多年，必须要进行涉及上百万自由度系统算法的研究，这时向量空间和精度分析概念就非常重要，现在几乎不讲的 svd 分解是非常重要的。为了避免修订计划中出现片面性，我们希望各方面的专家，提供不同层次的学生可能面临的线性代数问题及对内容的需求，特别是对向量空间的需求。三、对课程大纲编制方法的分析从现有调查结果可以看出，过去线性代数大纲的编制方法就不能满足课程发展的需求。第一、用一个统一的大纲来指导全国那么多不同专业、不同层次的几百
10、万学生上课是不科学的。对线性代数的要求和内容应该区别对待。从大的方面说，线性代数可以分为矩阵计算应用和线性向量空间两大部分，前者的特点是：比较容易懂；应用面很广；理工经管各专业都有用；在本科阶段就要用。3后者的特点是：概念抽象难懂；需求面较窄，主要用于数学专业或工程算法研究；在研究工作阶段才有用。因此，较科学的方法是把这门课分成两门课。第一门为基础（或初等）线性代数，以矩阵应用为主，适当介绍初等的向量空间概念，作为低年级公共的必修课；第二门可命名为高等线性代数，以向量空间和数值分析为主，作为数学系或其他专业的高年级选修课。对非数学专业的本科，重点要放在矩阵应用上。第二、按现在的教指委的组织形式
11、，制订数学的教学计划由清一色的数学老师参与，这就看不到学科的交叉。其实对于工程数学而言，应该用理工结合的办法，因为少了需求方的参与，会造成方向性的错误。为了弥补这一缺陷，我们想利用本项目中有大批工科院校教师参与的特点，把需求这一块突出体现出来，以便为教指委制订这样的大纲提供更详细的原始根据。所以希望各位专家，不管是搞数学的或是搞理工经管的，是搞理论研究的或是实际应用的，是带领高层次研究人才或是带领大专人才的，都能尽可能详细地提出具体的需求，使得大纲的制定更加切合实际。第三、需求牵引、或问题驱动，就是要从实际情况出发，来解决问题。美国 LACSG 五条建议的基本思路就是区别对待：第、条强调了区别
12、数学系和非数学专业；第条讲了区别矩阵代数与向量空间；第条讲了区别学生的基础；第条强调了教育现代化和计算机；分析需求的目的就是为了使教师和学生都可以为适当的目标、用最少的时间、学习最切实有用的内容。既使得学生用有限的学习时间学到最需要的东西，也节约了国家宝贵的教学资源。所有这些，都是为了使教学工作建立在的科学基础上，这里最需要的是了解情况，调查需求，做到“有的放矢”。我想，这个调查如果做好了，教学大纲的制定就会准确和有效得多。我们希望，有更多专家和教师支持我们的调查工作，把您们的实践经验、看法或建议告诉我们。最好用电子邮件，也可以用纸质信件。电子邮址是：(陈怀琛)和 (高淑萍) 邮寄地址是：（7
13、10071）西安电子科技大学理学院转线性代数改革项目组陈怀琛、高淑萍。在今年年底之前反馈给我们的意见将可能反映到项目的结题调查报告中，便于基础数学课程分教指委修订大纲，故希望大家抓紧，谢谢！项目组组长 陈怀琛、高淑萍参考文献：1 Alan Tucker，课程发展史2 游宏：关于线性代数课程教学的几点思考3 LACSG 建议13两篇文章来源于 MAA 推荐的论文集 Resourcess for Teaching Linear Algebra,西安电子科技大学有这本书。附表：对线性代数课程的需求调查（初步结果）4附表 对线性代数课程的需求调查（初步结果）A.本科后续课程对线性代数课程内容的需求调查
14、（根据过去十余年写的几本科学计算教材）4 陈怀琛，MATLAB 及其在理工课程中的应用指南（十一五规划教材版，即第三版），西安电子科技大学出版社， 2007 年 7 月，5 陈怀琛，龚杰民，线性代数实践及 MATLAB 入门，电子工业出版社， 2005 年 10 月第一版，2008 年 10 月第二版。6 陈怀琛，高淑萍、杨威，工程线性代数（MATLAB 版），电子工业出版社， 2007 年 7 月用到线性代数课程中的内容矩阵四则运算及线性代数方程组的建立与求解(n5)向量空间 线性变换(矩阵乘)特征向量特征值二次型课程名称 命题适定(n5) 复数系数 超定方程例题位置化学 化学方程配平 4例
15、 5.5.5,5例 6.6.2多项式插值和拟合 插值 拟合(n5) 5例 10.1,6例 1.8多边形面积计算 6例 3.23高等数学多变量函数极值问题 n=2 n=2 极值 4例 5.2.7实验数据处理 参数拟合 4例 6.1.3物理实验配料问题 6例 5.19，6例 6.22理论力学 静力学平衡 (n5) 4例 7.1.2刚体运动学 (n=3,4) 5例 9.3,6例 4.9材料力学 静不定问题 (n5) 4例 7.2.1刚度与柔度矩阵 5例 7.6.4,6例 2.19机械振动 多自由度振动 (n4) (n2) 4例 7.3.3,5例 10.6传热学 平板稳态温度分布 (n5) 5例 6.
16、6.1,4实验 9 圆截面半径测量 (n5) 5例 10.2测量学卫星轨道参数测量 (n5) 5例 10.3计算机图形学 二维图形变换 (n=2) (n=2) 5例 9.2电路 基尔霍夫方程 直流电路 交流电路 5例 6.6.3,5例 10.7网络传递函数分段 (矩阵乘) 5例 7.6.1,5例 10.11信号流图 4例 9.3.1,5例 9.1.3信号与系统零输入响应 5例 10.8晶体管放大 频响计算 4例 8.2.3系统函数计算 最优滤波器 5例 10.10数字信号处理频谱计算 (n=1024) 5例 10.9,自动控制原理 系统函数计算 5例 10.12文件检索模型 5例 9.6.3价
17、格平衡模型 5例 8.6.1宏观经济模型 5例 8.6.2经济管理人口迁徙模型 5例 9.6.15B.专业应用调查：以下是在 2009 年教学改革实践中部分教师结合自己教的专业课程、毕业设计等专业需求增补的一些线性代数应用领域和课程。由于在中国，线性代数课在上世纪 80 年代末才开始进入大学教学计划，运用计算机解决专业中的矩阵问题还只是开始，只有极少数学校的少部分教师开始接触此项工作。下面的材料主要是西安电子科技大学 2009 年第一年试点中汇集的，非常局限。我们欢迎所有参与项目的学校、所有愿意试点的老师，都能把线性代数运用到自己的课程和专业中去，并把结果转发给我们。在本项目今年末结题时，我们
18、将把这些结果正式汇成一个文集，提供给全国更多的老师参考，把线性代数课程改革的成果和应用实例在更大范围内推广。对某一专业领域的线性代数需求进行分析也将有助于推动科学计算在该专业的全程普及，加快教育现代化的步伐。C.专家调查：从后续课程和专业应用进行调查，虽然非常实际，但往往还有些缺乏深度。因此我们还希望向数学界、教育界、工程界、管理界的各方面的专家进行调查，希望他们能够积极提供意见和建议。由于 90 年代以前毕业的大学生多数都没有学过线性代数，对于并非从事线性代数教学工作的各行业的专家们，要提出对线性代数需求的意见，难免还要另看一些书，多费一些时间。而我们特别希望的是跨行业、跨学科的专家来发表看
19、法，就是所谓“旁观者清”！哈尔滨工程大学的廖振鹏院士带了一个好头，是对我们工作的极大支持，在此我们谨表示深深的敬意和感激。盼望更多专家来提供您们的宝贵指教。用到线性代数课程中的内容线性代数方程组的建立与求解(n5) 向量空间 线性变换(矩阵乘)特征向量特征值二次型课程名称 命题适定(n5) 复数系数 超定方程例题位置保密编码 Hill 编码 通院付晓彤老师的讲座稿图像处理 频谱计算 图像匹配 通院李静老师的讲稿通信系统 通院宫丰奎老师的讲稿网络搜索引擎 Google 的 pageRank n1000 计院曾勇老师的讲稿天线阵列计算 方向图优化和谱分析 刘聪锋老师的讲稿经济管理 投入产出模型 管
20、院黄丽娟老师的讲稿电路 电网络分析 微电子吴晓鹏老师机电学院朱娟娟老师自动控制 状态空间模型 机电学院朱韵茹老师结构力学 结构系统的刚度矩阵 西工大詹福宇同学的论文6一、廖振鹏院士的信：陈老师：您好！2 月 1 日来信收悉。很抱歉，迟复了。 利用 MATLAB 使线性代数成为在我国大学教学全程中使用计算机的切入点，我觉得很好。您的工作在这个方向迈出了实在的一步，我十分敬佩您的敬业精神。我想联系您对后续工作的考虑说说自己的想法。 首先，“对线性代数的需求作深入调查”是个好想法。我想结合自己的工作体会谈谈对这门课程的重要性的认识。我在工程力学的一个狭小领域工作，难免局限的看法仅供参考。我从事波动数
21、值模拟研究和应用多年，主要是协助工程师处理实际问题，如我国西南地区高坝的抗震设计问题。这类问题和工程中的电磁波数值模拟问题相似，常涉及上百万自由度系统的代数方程求解。由于工程项目的时限性，参与人员关注的是解决实际问题，往往不得不用权宜办法完成任务，因为，相关的科学基础问题并未解决。近年来我们转而研究这类基础问题，即双曲型偏微分方程初边值问题数值解的稳定算法。由于数学家在这方面做过不少工作，决定阅读和消化他们的文章（包括三、四十年前写的），看看他们做到什么程度。我和我的学生用了两、三年时间才弄清楚：第一、在他们的工作中确实包含有对解决我们的问题有价值的思想，第二、问题远未圆满解决。我们目前就是在
22、这些有价值的思想的启发下继续工作的。这一经历给我留下的印象之一是线性代数基本概念的重要性。因为，这些概念是从那些难懂的繁复文章中抓住要领的前提。就大部分工科学生而言，通过线性代数学会用软件求解 和 或许够了，但是，对于将来从事科学研Ax=bx究的学生，我觉得不够。他们还需要了解与求解代数方程紧密相连的向量空间概念。代数和几何的这种联系不仅美，而且很有用。就现代工程中的数学问题而言，问题的解常不能用公式表示，只能通过算法得到。软件是算法的计算机实现，并随算法发展而不断完善。掌握向量空间概念，领会它与代数方程的联系，对于分析算法的误差，特别是算法的稳定性，改进和创造新的算法、提高计算效率都是十分重
23、要的。例如，广泛应用于算法研究的谱分析技术的不断发展是离不开向量空间概念的。有很多用途的奇异值分解（SVD）,通过与矩阵对应的向量子空间比较容易给学生说清楚。据我所知，美国有些大学（如 MIT）本科的线性代数就讲 SVD。我觉得，线性代数是通向把代数、几何和分析的现代数学工具结合在一起用以发展算法的入口，是各专业应用计算机技术进行科学计算的基础。线性代数的这个地位确定了它在大学理工科教学中的重要性。我想，线性代数作为在大学全程学习中培养理工科学生科学计算能力的第一门课程，开始了解和使用先进软件是重要的，同时，开始了解算法和向量空间概念也是重要的。学生不仅需要合理地、熟练地使用计算机软件，还需要培养数学想象力和直觉能力，这对于提出问题，改进和发展算法是重要的。怎样依据不同学生的需要组织这门课程，看来仍需继续摸索、商讨。关于来信谈到的 “MATLAB 在工科后续课中的应用进行推广”，因我无本科教学经验，对线性代数和相关专业基础课目前的课程内容、教学方法和教学中的问题都不很清楚，对学生和老师目前的状况也不很了解，我已约沈艳老师春节后给我讲讲，然后我们结合学校情况议一议我校可以切实做的事。我们议论的结果将会向学校相关领导和您汇报。今天是腊月二十六，春节要到了，祝您 春节快乐！身体健康！廖振鹏 2010 年 2 月 10 日
