1、智浪教育-普惠英才文库第六届数学竞赛决赛试题及答案 （满分 120 分）一、计算题（能用简便方法计算的，要用简便算法。每题 4 分，共 12 分。）2. 7713+255999+510二、填空题（19 题每空 4 分，1012 题每空 3 分，共 54 分。）1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a 的整数部分是_。2.1995 的约数共有_。3.等式“学学好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是 1994。式中的“学、好、数”3 个汉字各代表 3 个不同数字，其中“数”代表_。4.如图 1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这 7
2、个汉字代表 17 这 7 个数字。已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆圈上 3 个数相加所得的 5 个和都相等。图中间的“好”代表_。5.农民叔叔阿根想用 20 块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝（如图 2）。为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于 2 米。要使所建的鸡窝面积最大，BC 的长应是米。7.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为 1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为 819。甲数是_。8.1994 年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小组。在小组赛中，这 4 支队中的每支队都要与另3 支队
3、比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得 3 分；失败的队得 0 分；如果双方踢平，两队各得 1 分。已知：（1）这 4 支队三场比赛的总得分为4 个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_队。智浪教育-普惠英才文库9.一块空地上堆放了 216 块砖（如图 3），这个砖堆有两面靠墙。现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有_块。10.南方某城市的一家企业有 90的员工是股民，80的员工是“万元户”，60的员工是打工仔。那么，这家企业的“万元户”中至少有_是股民；打工仔中至少有_（填一个分数）是
4、“万元户”。11.方格纸（图 4）上有一只小虫，从直线 AB 上的一点 O 出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为 1 厘米。小虫爬过若干小段后仍然在直线 AB 上，但不一定回到 O 点。如果小虫一共爬过 2 厘米，那么小虫的爬行路线有_种；如果小虫一共爬过 3厘米，那么小虫爬行的路线有_。12.自然数按一定的规律排列如下：从排列规律可知，99 排在第_行第_列。三、应用题（第 1 题 5 分，第 26题每题 7 分。共 40 分。）1.如图 5，AF=2FB，FD=2EF，直角三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，求平行四边形 EBCD 的面积。2.利民商店从日杂公司买进
5、一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价 40定价出售。但是，按这种定价卖出这批蚊香的 90时，夏季即将过去。为加快资金周转，商店以定价打七折的优惠价，把剩余蚊香全部卖出。这样，实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了 15。按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税 300 元（税金与买蚊香用的钱一起作为成本）。问利民商店买进这批蚊香用了多少元？3.李老师从数学兴趣小组调出 1 名女生到英语兴趣小组后，剩下的同学智浪教育-普惠英才文库4.园林工人要在周长 300 米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔 3 米挖一坑，当挖完 30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5 米
6、栽一棵树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣 3 元钱。到 11 月 11 日，他们一共挣了 1764 元。这个小组计划到 12 月 9 日这天挣足 3000元，捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问：增加的这个人应该从 11 月几日起每天到餐馆打工，才能到 12 月 9 日恰好挣足 3000 元钱？6.有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那么每隔 25 秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过 13
7、分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？（圈数取整数）四、简答题（共 5 分）1.在 555555 的倍数中，有没有各位数字之和是奇数的？（3 分）2.如果有，请举出一个例子；如果没有，请说明理由。（2 分）五、作图题（共 9 分）1.右图是一个直角梯形。请你画一条线段，把它分成两个形状相同面积相等的四边形。（请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法）。（4 分）2.下面 5 个图形都具有两个特点：（1）由 4 个连在一起的同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边。我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果把某个俄罗斯方块在平面上旋
8、转后与另一个俄罗斯方块相同（比如上面图中的 B 与 E），那么这两个俄罗斯方块只算一种。除上面 4 种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。（5 分）详解与说明一、计算题说明：本题由编辑部提供。据第 11册课本复习题改编。智浪教育-普惠英才文库2.7713+255999+510解法一：7713+255999+510=1001+255999+2552=1001+255（999+2）=1001（1+255）=256256解法二：7713+255999+510=1001+255（1000-1）+510=1000+1+2551000-255+510=1000（1+255）+255+1=256
9、000+256=256256说明：本题由编辑部提供。据第 275期第 1 版接二连三的趣味一文 1001的性质设计。说明：编辑部供题。见第 289 期“奥林匹克学校自己练”。二、填空题1.解法一：a=（9-0.2）+（9-0.02）+（9-0.002）+（9-0.0002）+（9-0.00002）=45-0.22222=44.77778解法二：a8.85=44a95=4544a45答案：44。说明：编辑部供题。据第 285 期、第 295 期“小读者园地”中的问题改编。2.解：1995=35719，由乘法原理可知，1995 的约数有（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=16（个）答案：16
10、 个。说明：编辑部供题。据第 298 期“奥林匹克学校教练员提示语”和第302 期“奥林匹克学校自己练（4）”改编。3.解：“学学”、“好好”一定都是 11 的倍数，从而它们的积一定是121（=1111）的倍数。1994121=165858 即“数学”。答案是 5。说明：编辑部供题。见第 287 期“新年趣题数学小狗”。4.解：由 3 条直线上 3 个数和相等可知：智浪教育-普惠英才文库1+2+3+4+5+6+7+2好=3a从而，好=1 或 4、或 7。但是由于圆圈上三个数之和也相等，所以，“28-好”一定可均分为 2 份（必是偶数）。因此，好=4。答案是 4。说明：刘后一供题。见第 324
11、期第4 版七色光芒（四）。5.解：设 B、C 关于 AD 的对称点分别为 B，C，则 AB=AB，DC=DC，长方形 BBCC 的面积是长方形 ABCD面积的 2 倍。只要长方形 BBCC 面积最大，长方形 ABCD 的面积就能最大。只有当 BB=BC 时，长方形 BBCC 面积才最大，这时AB=CD1.220（112）=6（米）BC=62=12（米）答案是 12。说明：编辑部供题。据第 308 期“奥林匹克学校”例 3 改编。由于小数点后第 100 位上的数字，即是“6”后面第 99 位上的数字，所以，由“996=163”可知，小数点后第100 位上的数字，即是循环节中左起第 3个数字。答案
12、是 8。说明：编辑部供题。据第 291 期“奥林匹克学校自己练（1）”改编。7.解：由于小胡和小涂都没有看错乙数，所以，乙数是 1274 和 819 的公约数。1274=27713819=337131274 与 819 的公约数有1，7，13，91 这四个。但是由“乙数是两位数”，可排除 1 和 7；又由“小涂看错了的甲数也是两位数”，可排除91（不然的话，小涂看错了的甲数只能是一位数 9）。因此，乙数必定是 13。根据乙数是 13，可知小胡看错了的甲数是127413=98（8 是看错的）小涂看错了的甲数是81913=63（6 是看错的）因此，甲数是 93。答案是 93。说明：编辑部供题。据第
13、 257 期“教你思考”抓不变量中例题改编。8.解：（1）这 4 个连续奇数必为1，3，5，7，如果不是，只有3，5，7，9 可能，这样第一名得 9 分智浪教育-普惠英才文库（三场全胜），第二名最多得 6 分（胜两场），而不是 7 分。矛盾。所以，乙队得 7 分，而且一定是“2 胜 1 平”。或者由每场双方得分之和最多 3 分，最少2 分，所以，4 支队共比 6 场，6 场的总分 A 满足。12A18但是当 4 个奇数为 3、5、7、9 时，A=24，不在上面的范围内，所以，4 个奇数为 1、3、5、7。（2）由于丁队有两场踢平（已得 2分），另一场必胜（得 3 分）。不然的话就是败，总分 2
14、 分与“奇数”的条件矛盾。所以，丁队“2 平 1 胜”，得 5 分。（3）由于丁队一场未败，所以，败给乙队的一定是甲队与丙队。（4）丙队不可能排第三（得 3 分）。这是因为它与乙、丁两队比的两场是“1平 1 败”，得 1 分，而把甲队打胜打平都不可能得 2 分。所以，丙队一定排在第四。答案是“丙”。说明：编辑部供题。据“奥林匹克学校第 24 讲例 4”及 94 世界杯足球赛小组赛成绩设计。9.解：如下图，把这个砖堆分成 9垛：容易算出，这 9 垛的第 1 层（最上层）的砖都被涂上了石灰，这些砖共有433=36（块）从第二层开始，仅有A、B、C、D、E 这 5 垛的砖被涂上石灰，而且每层块数相同
15、，都是（1+4）2+4=14（块）这个砖堆中被涂上石灰的砖共有36+145=106（块）答案是 106。说明：编辑部供题。据第 249 期“趣题巧解”设计。10.解：根据题意，可假设该企业共有员工 100 人（也可假设为 1000 人，10000 人），那么，这个企业有90 人 是 股民80 人 是 “万元户”60 人 是 打工仔也就是说，这个企业中100-90=10（人）不是股民100-80=20（人）不是“万元户”因此，是“万元户”的 80 人中，最多有 10 人不是股民，从而他们当中至少有80-10=70（人）是股民，他们占全体“万元户”的7080100=87.5智浪教育-普惠英才文库同
16、样道理，是打工仔的 60 人中，最多有 20 人不是“万元户”，从而，他们当中至少有60-20=40（人）是“万元户”。说明：本题由李克正研究员提供。11.解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右”4 个字前面的“向”。（1）小虫爬过 2 厘米，可有以下 6种路线，分别是：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左，右，右。（以上前 4 种路线均回到 o 点）。（2）小虫爬过 3 厘米，可有 20 种路线，分别是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右。（以上 8 种都是先“上”或先“下”。）如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第（1）
17、题，各有 6 种路线。一共是 8+62=20（种）答案是：（1）6；（2）20。说明：本题由单墫教授提供。12.解：表格中自然数的排列规律是：n2 排在第 1 行第 n 列，靠近它，但比它小 a 的数排在第 n 列，第 a+1 行；靠近它但比它大 b 的数排在第 n+1 行第b 列。99=100-1=102-1这里 n=10，a=1，所以，99 应排在第 2（=1+1）行，第 10 列。答案是 2、10。说明：编辑部供题，据第 290 期“奥林匹克学校自己练”改编。三、应用题1.解法一：连接 BD。由 FD=2EF 可知，SBFD=SBFE2；由 AF=2FB 可知，SAFD=SBFD2=SB
18、FE4设 SBFE=S，那么 SEBD=S+2S=3SS 平行四边形 BCDE=SEBD2=6S智浪教育-普惠英才文库SABC=4S+2S+3S=9S解法二：因为 ABBC2=36所以 ABBC=72又因为 AF=2FB答：平行四边形 BCDE 的面积是 24平方厘米。说明：编辑部供题。根据第 305 期第 1 版“奥林匹克学校教练员提示语”设计。2.解法一：设买进这批蚊香共用 x元，那么希望获得的纯利润为“0.4x-300”元，实际上比希望的少卖的钱数为x（1-90）（140）（1-70）=0.042x（元）根据题意，得0.042x=（0.4x-300）15 方程两边都乘以 1000，得，4
19、2x=（0.4x-300）15042x=60x-4500018x=45000x=2500解法二：设买进这批蚊香共用 x 元，那么希望获纯利润“0.4x-300”元，实际所得利润为（0.4x-300）（1-15）=0.34x-255。10的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.4x0.97”元，根据题意1.4x0.97-x-300=0.34x-255也就是 0.358x-300=0.34x-2550.018x=45x=2500答：买进这批蚊香共用 2500 元。说明：编辑部供题。根据第 328 期“奥林匹克学校例 2”改编。3.解法一（算术方法）：先画示意图如下：用“1 个大
20、圆圈+1 个小圆圈”表示女生人数，从图中容易看出，男生调走2 人后，剩下的应是“4 个大圆圈+4 个小圆圈”，这就要拆开两个大圆圈，使其中 4 个搭配到 4 个大圆圈上，2 人调走。也就是说，“2 个大圆圈”代表4+2=6（人）智浪教育-普惠英才文库1 个大圆圈代表 62=3（人）这个兴趣小组原有学生解法二：设这个兴趣小组原有女生x 人，根据题意，得5x+2=7（x-1）+1解方程，得 x=45x+2=22（人）答：这个兴趣小组原有学生 22 人。说明：编辑部供题。据 321 期“趣题巧解”改编。4.解：（1）从第 1 个坑到第 30 个坑，共有多长？（30-1）3=87（米）（2）改为“每
21、5 米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？8715=5125+1=6（个）（3）改为“每 5 米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？3005=60（个）（4）还要挖多少个？60-6=54（个）答：还要挖 54 个才能完成任务。说明：编辑部供题。根据第 323 期“奥林匹克学校例 3”改编。5.解：（1）还缺多少钱？3000-1764=1236（元）（2）从 11 月 2 日12 月 9 日还有多少天？30+9-12+1=28（天）（3）这 28 天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？328=84（元）（4）增加的一人应挣多少元？123684=14（人）60（元）（5）要挣 60 元，增加的那一人要打工多少
22、天？603=20（天）30+9-20+1=20答：增加的这个人应该从 11 月 20日起去打工。说明：编辑部供题。据第 306 期“趣题巧解”改编。6.解法一：根据题意，可知（1）男女运动员的速度和是（每秒）（2）男女运动员的速度差是（每秒）智浪教育-普惠英才文库（3）女运动员的速度为（每秒）（4）女运动员已经跑了解法二：由于 25 秒内男女运动员一共跑完 1 圈，所以 13 分钟内他们一共跑了1（136025）=31.2（圈）又由题意可知，13 分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到一个“和差问题”。由此容易求出女运动员已经跑了（31.2-1）2=15.1（圈）15（圈）答：追上时女运动员已经跑了 15 圈。说明：本题由李克正研究员提供。（见本报第 289 期“专家题卡”和第 302期“小读者园地”）四、简答题（1）答：有。（2）例如 6111105（=55555511）又如 556110555（=5555551001）55556055555（=555555100001）17222205（=55555531）说明：本题由单墫教授提供。五、作图题1.下面是两种标注数字符号的方法，如下图：（2）取斜腰中点作两个全等的小三角形说明：本题由张卫国编审提供。解法二可见第 304 期“奥林匹克学校”例2。2.还有 3 种，如下图：
