1、高三复习班竞赛试题数学（理）第 I 卷（选择题 共 60 分）注意事项：1.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2.每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它的答案标号。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若 ab，则 2a2 b”的否命题是A.若 ab，则 2a2 b B.若 2a2 b，则 ab C.若 a b，则 2a2 b D.若 2a2 b，则 ab 2.设全集 U=R，集合 ，则x1AylnA.
2、B.,01,0,C. D.1,3.已知 ，复数 在复平面内对应的点在直线 上，则实数 m 的值是mRixy0A. B.0 C.1 D.214.函数 的图象大致是yxcos5. 的值是21xdA.3+ln2 B. C.4+ln2 D. 3ln27ln26.设 为两个不同的平面， 、 为两条不同的直线，且 ,有、 m,mn两个命题： ：若 ，则 ； ：若 ，则 ；那么( )p/qA “ 或 ”是假命题 B “ 且 ”是真命题qpC “非 或 ” 是假命题 D “非 且 ”是真命题7. 已知实数 x,y 满足|2x +y+1|x+2y+2|，且 ，则 z=2x+y 的最大值( )1yA. 6 B.
3、5 C. 4 D. 38. 偶函数 f(x)满足 f(x1)=f(x +1)，且在 x0，1时,f(x)=x ，则关于 x 的方程f(x)= ，在 x0，4上解的个数是( )10A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.已知各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列，则na12,a1380aA. 或 3 B.3C.27 D.1 或 2710.在ABC 中，D 是 BC 的中点，AD=3，点 P 在 AD 上且满足 ，则3ADPAPBCA.6 B. C.12 D.61311、在ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x，y 满足+x +y =0.设ABC，PBC
4、，PCA，PAB 的面积分别为 S， ， 1， ，记 , , ,则 取最大值时，2x +y 的值为( )2S31S23S3A. 1 B. 1 C. D. 3212.已知曲线 ，与抛物线 及 的图象分别交于点2C:xy40,y22x，则 的值等于12A,B,21A.1 B.2 C.4 D.8第 II 卷（非选择题 共 90 分）注意事项：1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.13.已知 ，则 _.2cos3cos14.已知 ，观察以上等式，若24,9,41685（
5、m，n，k 均为实数） ，则 m+nk=_.915.已知双曲线 的焦距为 ，一条渐近线平分圆2xy1a0,ba2，则双曲线的标准方程为_.2xy416.定义在 R 上的函数 ，对 ，满足 ，且fxRf1xf,fxf在 上是增函数.下列结论正确的是_.（把所有正确结论的序号都填上）fx0,1 ；f ；x2f 在 上是增函数；f6,4 在 处取得最小值.1三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .ABC、 cba、bcBA2tan1（）求角 A；（）已知 求 的值.6,27bca18.(本
6、小题满分 12 分）已知数列 na的各项均是正数，其前 n项和为 nS，满足 na4.（）求数列 的通项公式；（）设 ),(log21Nnabn数列 2nb的前 项和为 nT，求证： 43n.19. （本小题满分 12 分）如图,在直角梯形 ABCP 中，AP/BC，AP AB，AB=BC = AP=2，D 是 AP12的中点，E，F，G 分别为 PC、PD、CB 的中点，将PCD 沿 CD 折起，使得 PD 平面 ABCD. ( 1) 求证：平面 PCD平面 PAD；() 求二面角 G EF D 的大小；20 （本题满分 12 分）已知数列 中， 且 （ 且 ）.na1512nna2*nN（
7、）证明：数列 为等差数列； （）求数列 的前 项和 .2n nanS21. （本小题满分 12 分）已知椭圆的焦点坐标为 （1,0） ， （1,0） ，过 垂直于长轴的直线交1F22F椭圆于 P、Q 两点，且|PQ |=3，（） 求椭圆的方程；（） 过 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则 MN 的内切圆2 1的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分 14 分）已知函数 （ 为常数， ）.21()ln)fxaxa0a（）若 是函数 的一个极值点，求 的值；2(f（）求证：当 时， 在 上是增函数；0a)fx1,)2（）若对任意的
8、 （1，2） ，总存在 ，使不等式0,成立，求实数 的取范围.20()1)fxmam高三复习班竞赛试题数学（理）一、选择题CBCAB DBDCD DC 二、填空题 13 14、79 15、 16、192xy1417(本小题满分 12 分)解：（）由 1+ ，3 分tan2sinco2sinAcABCBb及 正 弦 定 理 ,得 +cosisosinC即 ,5 分n()i,inA6 分1s()si0,cos.2BCA在 中 ,7 分0.3（）由余弦定理 ，8 分22csab又 ，71,6,cosabA则 = ，10 分24922()3()18cb解得 12 分.c18 解：（）由题设知 2,41
9、1aS， 2 分由 114nnaS两式相减，得 11nnaS.所以 22,1na即 . 4 分可见，数列 na是首项为 2，公比为 的等比数列。所以12nn6 分（） nabnn 1)2(log2， 8 分21)2(12nnbn . 10 分53431n bT 2112n= 4321n. 19.解 (1) PD平面 ABCDPDCD CD ADCD平面 PADCD 平面 PCD平面 PCD平面 PAD4 分（2） 如图以 D 为原点,以 为方向向量建立空间直角坐标系 Dxyz.,ACDP则有关点及向量的坐标为: 5 分G（1，2，0）,E（0，1，1） ，F（0，0，1）=（0，1，0） ，
10、=（1，1，1）6 分FEG设平面 EFG 的法向量为 =（x ， y， z）n 0.0nEyz取 =(1,0,1) 平面 PCD 的一个法向量 , =(1,0,0)8 分DAcos 10 分2,|DAn结合图知二面角 G EF D 的大小为 4512 分20.解：（）设 1 分15,22nab= 4 分11 1()nnn nnba 1(2)n所以数列 为首项是 2 公差是 1 的等差数列.5 分2na（）由（）知， 7 分1(),nan(1)2nna121(2)(3)2nS8 分1()nn设 1213()2nnnT ，得2 1.11 分123 11()(2nnnnT 所以 12 分11()n
11、nS21. 解：（1） 设椭圆方程为 =1（ab0）,由焦点坐标可得 c=1 2xyab由|PQ|=3，可得 =3， 解得 a=2，b= ，故椭圆方程为2ba 3=14243xy（2） 设 M ，N ,不妨 0, 0,设 MN 的内切圆的径 R，1(,)x2()y12y1F则 MN 的周长=4 a=8， （MN+ M+ N）R=4R1F1FMNSA1因此 最大，R 就最大， ，1MNS 212()yy由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由 得2143xmy+6my9=0， 得 ， ，2(34)my213614my22361y则 AB（ ）= = ， 令 t=
12、,则 t1,1AMNS121222m则 , 令 f（t）=3 t+ ，则 f(t) =3 ，22343Atm121t当 t1 时，f (t)0,f(t)在 1,+)上单调递增，有 f(t)f(1)=4, =3,AMNS3即当 t=1,m=0 时， =3, =4R， = ，这时所求内切圆面积的AMNS123AMNSmax34最大值为 .故直线 l:x=1，AMN 内切圆面积的最大值为 12 分916 91622解： 1 分21()12() ,()1axafx xax（）由已知，得 即 ， 经检验，()02f2a20,2.a满足条件 .4 分2a（）当 时，02a221(2)10,aaa5 分 当
13、 时， .又 ，21,2x2xa21xa故 在 上是增函数6 分()0,fx()fx,)2（）当 时，由（）知， 在 上的最大值为(1,)a()fx1,2于是问题等价于：对任意的 ，不等式(1)ln),2f(,)a恒成立.8 分2l()(1)0ama记 则2()ln)(1),2)ga9 分1()2(),am 当 时，有 ，且 在区间0m(1)2(1)0aa0,()1ag（1，2）上递减，且 ，则 不可能使 恒成立，故必()0g()g有 11 分0.当 ，且m21()().mag若 ，可知 在区间 上递减，在此区间 上有12()1(,in2,)DmD，与 恒成立矛盾，故 ，这时 ，即 在()10ga()0ga12m()0ga()ga（1，2）上递增，恒有 满足题设要求.()10g，即 ，13 分012m4所以实数 的取值范围为 .14 分1,)
