1、第一章 随机事件及其概率1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题: 以下命题正确的是 （ ）. ； . ；A()BAB,AB若 则. ； . .C,若 则 D若 则某学生做了三道题，以 表示“第 题做对了的事件” ，则该生至少做ii )3,21(i对了两道题的事件可表示为 （ ）. ； . ；A123123123AB1231AA. ； . .CD2231232. 、 、 为三个事件，说明下述运算关系的含义：B ； ； ； ； ； .AABCABCA3. 一个工人生产了三个零件，以 与 分别表示他生产的第 个零件为正ii)3,21(i品、次品的事件.试用 与 表示以下事件： 全是正品； 至
2、少有一个零ii)3,21(件是次品； 恰有一个零件是次品； 至少有两个零件是次品.1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题: 下列命题中,正确的是 （ ）. ； . ； . ； .ABBACCBAD.)(B 若事件 与 相容，则有 （ ）. ； . ；A()()PBAPB()()()PAPBA. ； . .C1(D1 事件 与 互相对立的充要条件是 （ ）. ； . ；A()()PBB()0()1PAB且. ； . .C且 D2. 袋中有 12 只球，其中红球 5 只，白球 4 只，黑球 3 只. 从中任取 9 只，求其中恰好有 4 只红球，3 只白球，2 只黑球的概率.3. 求寝室里
3、的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10 把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为 1、2、3、4 的四个空邮筒中,求以下概率：() 恰有三个邮筒各有一封信；（）第二个邮筒恰有两封信；（）恰好有一个邮筒有三封信6. 将 20 个足球球队随机地分成两组，每组 10 个队，进行比赛求上一届分别为第一、 二名的两个队被分在同一小组的概率1.5 条件概率1. 多项选择题: 已知 且 ,则（ ）成立.0)(BP21A. ； . ； A1|B1212()|(|)(|)PABPAB. ； . .C2(|)D| 若 且 ，则（ ）成立.0(,
4、P） )(|(）. ； . ； . 相容； . 不相A(|)B|)PABC,ABD,AB容.2. 已知 ，求61)|(.41)|(,31)(P )(P3. 某种灯泡能用到 3000 小时的概率为 0.8，能用到 3500 小时的概率为 0.7.求一只已用到了 3000 小时还未坏的灯泡还可以再用 500 小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有 60 只，其中 15 只一等品；第二箱装有 40 只，其中 15 只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率： 将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件； 从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出
5、一只零件.5.某市男性的色盲发病率为 7 %,女性的色盲发病率为 0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为 男:女=0.502:0.498)6.袋中有 只黑球， 只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放ab回)，分别求出他们各自取到白球的概率.1.6 独立性1. 多项选择题 ： 对于事件 与 ，以下命题正确的是( ).AB.若 互不相容,则 也互不相容； .若 相容,则 也相容； 、 、 BA、 B、.若 独立，则 也独立； .若 对立，则 也对立.C、 、 D、 、 若事件 与 独立，且 ， 则（ ）成立.AB0)(,)(PA. ； . ； .
6、 相容； . 不相容.(|)(P|CB、 BA、2. 已知 互相独立，证明 也互相独立.CBA、 A、3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为 ，求此810射手每次射击的命中率.*4. 设 为互相独立的事件，求证 都与 独立.CBA、 BA、C5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是 0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为 0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则
7、分别为 0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班 50 名学生，其中 10 名女生；二班 30 名学生，其中18 名女生在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率第二章 一维随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其概率分布1填空题： 当 时 是随机变量 的概率分布，c()/,(1,)PXkcN X当 时 是随机变量 的概率分布；Yk Y 当 时 是随机变量 的概率分布；a )0,1(!)( kaP 进行重复的独立试验，并设每次试验
8、成功的概率都是 0.6. 以 表示直到试验获得X成功时所需要的试验次数，则 的分布律为X； 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是 射中了就停止射击且至多,p只射击 次. 以 表示射击的次数，则 的分布律为10XX； 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷 次，以 表示此 次抛掷中落地后正面向上的nn次数，则 的分布律为 .2设在 只同类型的零件中有 只是次品，从中取 次，每次任取 只，以 表示15231X取出的 只中次品的只数. 分别求出在 每次取出后记录是否为次品，再放回去； 取3后不放回，两种情形下 的分布律.X3一只袋子中装有大小、质量相同的 只球,其中 只球上各标有 个点, 只球上各
9、标62有 个点, 只球上标有 个点.从袋子中任取 只球，以 表示取出的 只球上点数的和.2133X3 求 的分布律； 求概率 .X(4),(46),(46),(46)PPX4某厂有 7 个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是 . 现在为某件事的0可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5袋子中装有 只白球， 只黑球，从中任取 只，如果是黑球就不放回去，并从其531它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取 只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数 的分布律.X2.2 连续型随机变量及其概率分布1多项选择题：以下函数
10、中能成为某随机变量的概率密度的是 ( ). ； . ；A它其 20,cosxxf B它其 xxf0,2cos)(. ； . .C它其 2,0cos)(xxf D它其 10,)(xexf2设随机变量 的概率分布律如右,求 的分XX布函数及 .)3(),3()( PP3设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3 的六只球，从此袋中任取一只球，并以 表示取得的球上所标有的数字.求 的分布律与分布函数.4设连续型随机变量 的概率密度如右，试求： X 系数 ； 的分布函数； .A(0.17)PX5设连续型随机变量 的分布函数如右，试求： 系数 ； 的概率密度； .kX(|5)6设连续型随机变量
11、的分布函数为 ，试求： 系数()arctn()FxABxR与 ； 的概率密度； 在区间 内取值的概率.ABX,b2.3 随机变量的函数的分布1设离散型随机变量 的分布律如右，求的分布律. 12, XWVXU2设随机变量 的概率密度为 求随机变量 的概率密度.,0,)(xef XeY3设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求： 随机变量 的概X(0,)2ln率密度； 随机变量 的分布函数与概率密度.sinZ4设连续型随机变量 的概率密度为 ,求 的密度.2/1()()xfxeR|YX*5设 与 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当 且1()Fx2 0,ab201,()xAfx，其 它10,)(x
12、kx,),k，X2101p1 6 2 6 1 6 2 60 1 2 3p1 / 16 3 / 16 1 2 1 / 4时， 可以作为某个随机变量的分布函数.1ab)()()(21xbFax2.4 一维随机变量的数字特征1一批零件中有 9 件合格品与 3 件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2设随机变量 的概率密度为 求 . X|()0.5,xfe,EXD3设随机变量 的概率密度为 求 与 .2(1),1),fx其 它4某路公汽起点站每 分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布. 求每个乘客候车
13、时间的期望 (假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上5车).5某工厂生产的设备的寿命 (以年计)的概率密度为 ，X/400.25,()xefx工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换. 若出售一台设备可赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. *6某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利 500 元，而积压一件将损失 2000 元. 而且预测到这种产品的销售量 Y(件)服从指数分布 . 问要获得利(01)E润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量1设随机变量 只取下列数组中的值： 、
14、、 、 且相),(YX)0,()1,)3,(0,2(应的概率依次为 、 、 、 .求随机变量 的分布律与关于 、 的边缘分布63125YXXY律.2一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字 1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以 与 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求 与 的联合分布律与关于 、 的边缘分布律 .XYXY3设随机变量 的概率密度 ),( ，其 它 yxceyxfyx0,0),()(2试求： 常数 ； 的分布函数 ； .c),(YX),(yxF1YXP4设随机变量 的概率密度为 求关),( 4.8(2),0,(,)xyxf，其 它于 、
15、 的边缘概率密度 .XY5设随机变量 在 上服从均匀分布，其中 由 轴、 轴及直线),(YXGGxy所围成，试求： 的概率密度 ； 求关于 、 的边缘概率12xy),(),(fXY密度.*6设某班车起点站上车的人数 服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中X(0)途下车的概率为 乘客中途下车与否相互独立，并以 表示在中途下车的人数.(01),pY求： 在发车时有 个乘客的条件下，中途有 人下车的概率； 的分布律.nm(,)X3.2 随机变量的独立性1设随机变量 与 相互独立, XY右表给出二维随机变量 的分布)(律及边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.2设随机变量 分布律如右:
16、、 、 为何值),(YXabc时 与 相互独立？ 写出 的分布律与边缘分布律.XY,3设随机变量 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取值,而随机变量 在 中YX1等可能地取一个整数.求： 2 时 的条件分布律； 1 时 的条件分布律.XYY,4设随机变量 的概率密度为 .),( 其 它 0,0),()(yxeyxfy 求 ； 求 ； 说明 与 的独立性.|xyfXY|fYXXYXY1 2 31 c/9a2 bXY1y23y()iiPxp1x/82()jjPp6*5 箱子中装有 只开关(其中 只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随122机变量如下： ； ，试在放0,X若 第 一 次 取
17、 出 的 是 正 品若 第 一 次 取 出 的 是 次 品 0,1Y若 第 二 次 取 出 的 是 正 品若 第 二 次 取 出 的 是 次 品回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于 与 的条件分布律，并说明 与 的独立XXY性.* 6设随机变量 的概率密度为 求参数),(YX,|,10(,)0cyxfx，其 它与条件概率密度 .c|,| yxfyfYY3.3 多元随机变量的函数的分布1. 设 的分布律如右,求)(X ；0|32|XYPP 的分布律；),max(V 的分布律； 的分布律.inXUYW2设 与 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为 、 的泊松分布. 证Y 12明 服从参数为
18、的泊松分布.Z213设随机变量 与 相互独立,且都服从参数为 的两点分布，记随机变量XY0.25p为Z求 与 的联合分布律与 .1,0为 奇 数 ，非 为 奇 数 ZEZ4设随机变量 与 相互独立，其概率密度分别为XY求随机变量 的概率密度.321100,(),(),yxX eef fUXY5某种商品一周的需求量 是一个随机变量，其概率密度为 . X0,)(xexf设各周的需求量是相互独立的，试求： 两周； 三周的需求量的概率密度.0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03
19、0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.056设某种型号的电子管的寿命(以小时记) 近似地服从 分布. 随机地选取 4 只，(160)E将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过 小时的概率。 807设随机变量 且 ,求随机变量(,)(,XYUG(,)|3,xyy的概率密度.|Z8设随机变量 与 相互独立，且都在 上服从均匀分布，求二次方程Y1,有实根的概率 .02Xt3.4 多元随机变量的数字特征1单项选择题： 设 与 的相关系数为 0，则 ( )Y. 与 相互独立; . 与 不一定相关; . 与 必不相关; . 与 必相关.AXBXY
20、CXYDXY 设 与 的期望与方差都存在,且 ,则以下不正确的是( )()D. ; . ; . 与 不相关; . 与 相互独立.()DYE2填空题： 设随机变量 的概率密度为 ，(,)X/96,04,15(,)xyyfXY其 它则 ， ， ， .EEYE(23)EXY 设随机变量 与 互相独立，且 (2),0.5,P则 ， .(23)X3DX3 把看似完全相同的钥匙，只有一把能开保险柜的门锁，用它们去试开保险柜. 假n设取到每把钥匙的可能性是等同的，且每把钥匙只试开一次，求试开次数 的数学期望与X方差. 求在以下两种方法下求试开次数 的数学期望与方差： 先写出 的分布律； * 不写出 的分布律
21、。XX4设 在区域 上服从均匀分布，其中 由 轴、 轴及直线 围成.),(YGGxy1xy 求 ； 判断随机变量 与 的独立性.,(32),(EXYEXXY5设随机变量 的概率密度为),(2011,(,)yxfxy，其 它求 .XYEYX,cov,6设连续型随机变量 的概率密度 为偶函数，且 求)(xf ,2EX并说明 与 的相关性.|),cov(|* 7设随机变量 的概率密度为 时;),(YX10|,),(xykxf其它时。 求,0),(yxf; 说明 与 的| |(),(),cov(,)XYXYX XYkfxyfxEDYY相关性与独立性; 若 求 。Z()ZFzf参 考 答 案1-1、2
22、1. ； .,ABCD,2. 发生； 与 都不发生； 发生且 与 都不发生； 都不发生；ABC,ABC 中至少有一个发生； 中至少有一个不发生 ., ,3. ； ； ；123A123123123123.1-3、41. ； ； . 2. 3/11 . 3. 0.777 . 4. 8/15 . D、 BC5. 3/8；（2）9/64；（3）1/16 6. 9/19.1-51. ； . 2. 0.75. 3. 0.875. 4. 0.3 ； 0.3125 . 5. 0.067 . ,A,6. 都为 ./()ba1-61. ； . 3. 2/3. 5. 0.458. 6. 丙. 7. （1）0.4；（2）0.4856 ,CD,B
