1、1一阶微分方程积分因子的主要求解方法数学与应用数学 02-2: 孙彦杰指导老师: 胡爱莲 副教授 摘 要: 本文针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时，求其通解的常用方法是：首先求出积分因子，使其变为全微分方程，进而求得其通解。而这种方法最为困难的就是求积分因子，本文给出了一些常用的求解积分因子的方法和技巧。关键词：一阶微分方程；积分因子；全微分方程；通解 一、前 言：一般而言，若方程 (*)0),(),(dyxNyxM是全微分方程。我们可以通过求 的原函数 ，很快地求出方程d),(yxu（*）的通解为 。 Cyxu),(实际上我们遇到的很多形如方程(*)的方程，未必都是全微分方程。若方程
2、(*)不是全微分方程，此时只需找出合适的积分因子，使方程(*)变为全微分方程，即可求得(*)的通解，这种方法称为积分因子法。积分因子法是分离变量法的一种自然推广，用积分因子法可以统一各种初等积分法。例如：变量分离方程 （1）0)()(yDxCyBxA取积分因子法 ， ，可将（1）化为全微分方程。)(1,( 一阶线性微分方程 （2） )(xqypdx取积分因子 ，则（2）可化为全微分方程。0e 齐次方程 (3) 0h取积分因子 ， ，则方程(3)可化为全微分方程。yxh)(1)(yx一般情况下，我们遇到的方程（*）未必都是全微分方程，只要使方程（*）变为全微分方程，其解就可以求出。一般地，我们有
3、下面的定义。定义：假如存在连续可微函数 ，使方程0),(yx（4）(,)xyMdN成为全微分方程，我们就把 称为方程（*）的积分因子。(,)xy2易于看到，当 时， （*）与（4）同解，于是为了求解方程（*） ，只须求解（4）(,)0xy就可以了，但是如何求得（*）的积分因子呢？下面我们就来进行讨论。 方程（4）是全微分方程的充要条件是 xNyM)()(即 x移项得： (5) )(yMxNyM从而有 ，ln于是 为（ *）的积分因子的充要条件是 满足方程（5） 。而方程（5）是一个偏微分(,)xy(,)xy方程，其求解也很困难。因此有必要讨论积分因子的求解方法和技巧。下面我们就来讨论一下常用的
4、积分因子的求解方法与技巧。二 、特殊类型的积分因子的求解方法定理 1: 方程（*）存在只与 x 有关的积分因子 的充要条件是： 只与 x 有)(x)(1NyM关，且此时有 。dxNyMex)(1)(证明： “ ” 若方程(*)存在只与 x 有关的积分因子 ， 则有 ，这样（5）化为)(x0y(dy即 (6) 1)Nx（6）的左端只与 x 有关， 它的右端也只与 x 有关。“ ” 如果 只与 x 有关，且 是方程（6）的解，即 )(NyM)(dxyx)(1ep)(3此时 满足方程（5） ，从而 是（*）的一个积分因子 。)(x)(x定理 2: 方程（*）存在只与 y 有关的积分因子的充要条件是：
5、 只与 y 有关，)(1xNyM且此时有 dyxNMy)(1exp)(定理 2 的证明与定理 1 的证明相似，此处省略。例 1 求解方程 ( 0)32()36dyx解： ， ，可知 ,yx,4xNxNM此方程不是全微分方程。又 ， 只与 x 有关。xyxMN132)(1exdln1)(用积分因子 乘以原方程两端，则得全微分方程：x0)32()36322 dyxdy现取 ， 0x则通积分为： 220()xc即 3y例 2 2()(1)xyd解： .,MNxy所以这个方程不是全微分当方程.但是 yMNxy1它仅依赖于 , 因此有积分因子yyd1exp4以它乘方程，得到 1()()0xyddy从而可
6、得到隐式通解 2ln|Uc另外，还有特解 .它是在用积分因子乘方程时丢失的解.0y定理 3: 方程 （*）分别具有形如 形0),(),(dyxNxM),(yx,()2yx式的积分因子的充要条件分别为： 1)f)()(1xyfMNyx2证明：方程（*）有积分因子 的充要条件是 ，),(yx )(xNyMxN令 ,则有)(yx ),()(. yxydMxN即 满足下列微分方程,)(yx（7）1()(,y（7）式右端应为 的函数，这就证明了 为方程（*）的积分因子的充要条件),(yx,(yx为 ()Nf则积分因子 （8）,)fde当 即 )(yxyx(15是方程（*）有 形式的积分因子的充要条)()
7、(1yxfMNxy)(yx件。当 即 )(y),(又 ，yxx是方程（*）有 形式的积分因子的充要条件。)()(1yfMN)(xy当 即2yx2,x,xy是方程（*）有形如 的积分因子的充)()2)( 21xfMyNy )(2yx要条件。定理 4:当 为 的函数，记 ，则有)(x)(y， 则它的积分因子为)(1.11 yxgxNy()(|)gde定理 5: 当 为 的函数， 记为 ，则有 ，则),yx,(yx ),()()(yxgyMxNxy它的积分因子为 )(|)e例 3 解方程 0(23dyxdyx解： ， 不是全微分方程 .yM2N设想方程有积分因子 ，其中 是待定实数，于是 )(yx,
8、21 1. .()y xx yx6取 得 于是原方程有积分因子122,323yx从而得其通解为 CyxU3641例 4 解方程 0)()( 222 ddxyx解： ，12My 1yNx不是全微分方程2yx由于 yxyxNy 2222由定律 3 中的（8）式 ，原方程有积分因子 2)(1)(yxyxdee以它乘方程得到 0)()( 22)(21 xydxyeyx即 )1)( dye故原方程的通积分为 Cxy2)(1三、 分组求积分因子法如果不易直接求得方程的积分因子，在这种情况下，考虑把它的左端分成两组：（9）0)()( 21dyNxMdyx然后分别求得各组的积分因子 和 ，于是就找到 ， 使得
9、21211222dxy这时可适当选取函数 、 ， 使得 ，就可求得（9）的积分)(1()12()()因子为 1()例 5 求解方程 320yxy解：把方程改写为 ()dd前一组有积分因子 和通积分 ，因而它有更一般的积分因子5232c 5321()xy7后面一组显见有积分因子 和通积分 ,因而有更一般的积分因子21xcy)(12yx为了使有关子式 ， 只须取 531()()y 331221()y，这样可知原方程有积分因子 ，且2()y2x322()ddxyy2(ln|)0x积分即得 （c 为常数）y2ln此外，原方程还有解 ，它们在用乘 方程的两端时丢掉的。x=0和 yx21四： 观察法对于比
10、较简单的微分方程，凭我们对于微分公式的经验可以观察到它的积分因子。例如：对于微分方程 0)(dyxy它有积分因子 21222)()( yxdyxdyxd)()ln(12xarctg通积分为 yrtyxl22特注：这种方法的关键是把方程的若干项在某个积分因子下合成一个熟知的全微分，再从余下的项中选出部分在同样的积分因子下凑成另一个全微分，直到各项用完为止，这样就可找到所需的积分因子了。但这就要求我们熟记一些二元函数的全微分。例如：)(xydyx )(2yxdyx)(2xx )(lnx8)ln(2122yxdyxd )(2yxarctgdyx)(l2yx例 6 求解方程 0)2(2dyxd解： (
11、)(yxyd经观察 可作为上方程的积分因子，因此有21yx 0)(22yxdyxd即 )(ln)1(2故原方程的通解为 cxy1l2参考文献：1丁同仁 , 常微分方程基础， 上海科学技术出版社, 1981 年 8 月, 758p2叶彦谦 , 常微分方程讲义, 北京人民教育出版社, 1982 年 10 月, 63钱祥征 , 常微分方程解题方法, 湖南科学技术出版社, 1984 年 1 月, 4509毕业论文任务书这篇论文要完成的任务主要有两个：一、针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时，求其通解的常用方法。二、给出一些常用的求解积分因子的方法和技巧。10摘要：本文针对一阶微分方程的微分形式为
12、非全微分方程时，求其通解的常用方法是：首先求出积分因子，使其变为全微分方程，进而求得其通解.而这种方法最为困难的就是求积分因子，本文给出了一些常用的求解积分因子的方法.关键词：一阶微分方程；积分因子；全微分方程；通解。Abstract: When the differential form of a first order differential equation is not fully Differential equation, the common method to solve it is : first ,change the equation into fully differ
13、ential equation by finding integral divisor then find its general solution.However, finding the integral divisor is not so easy. In this paper a technique for finding the integral divisor is given.Key Words: first order differential equation; integral divisor; fully differential equation;general solution.
