1、 相对论四维时空下的守恒量 PB06203015 谢家荣 一 在相对论三维空间中的守恒量 在相对论三维空间 推算质量公式时以用到了动量守恒，而质量 守恒 又与能量 守恒相联系。我们知道，牛顿力学里还有一个守恒量，角动量守恒还未出项。在下文中，我将尝试考虑角动量守恒。 角动量定义为： L=i i ixi yi zii j kx y zp p p如果从另一个参考系来看，不能直接用洛仑兹变换，因为守 恒量是对时间而言的，是量在相同的时间内相加。但同时形式相对的，在 k 系看来是同时的在 k看来并不一定同时，如果直接用洛仑兹变换再相加的话，那么从 k看来就是在不同时间的相加，也就没什么意义。如果要考虑
2、 k系的角动量，必须先找到从 k来看同时发生的事件。 L= i i ixi yi zii j kx y zp p p这里的 i,j,k 是不变的，因为 k用他那个坐标下的基矢来算。 但要找这样的， ix iy iz 很复杂，还 与具体的轨迹有关，而动量的三个分量就更复杂了。 在相对论四维时空中，四维 动量以包含了 三维空间中的的 动和能量 守恒，角动量也未出现。 二 引入三目运算符 在以往的三维空间中，角动量定义为： L=rp 这个是不能直接引入到四维时空的，因为矢量的外积使用行列式定义的，若 r p 为四维矢量，还没有定义 rp 的运算。既然是讨论四维时空，数学就不应限于三维。若要引入守恒量
3、，要先解决外积的问题。有如下方法： 1 推广行列式 的运算，不要求行列式行数与列数相等。但这样会出现 x y z 之间的不等价，有的坐标含有 t，有的没有。这是我不希望的。 2 外积是双目运算符，可以定义一三木运算符从而使行列式的运算可以进行。定义： j k lx a y a z a w a( , , )x b y b z b w bx c y c z c w c iY a b c 则 Y(a,b,c)是一四维矢量。 三 三目运算符的性质 三目运算符有如下性质，都可用行列式的性质证明： 1 Y(i,j,k) -l Y(j,k,l)=i Y(a,l,i)=-j Y(l,i,j)=k 这样的结果不
4、太令人满意 ，如果先前定义 -j k -lx a y a z a w a( , , )x b y b z b w bx c y c z c w c iY a b c 则上四式的结果为 l i j k 但下面某个性质就没有了。 2 Y(a,b,c) Y(b,c,a) Y(c,a,b) Y(a,c,b) Y(c,b,a) Y(b,c,a) 3 Y(u1*a1+u2*a2,b,c)=u1*Y(a1,b,c)+u2*Y(a2,b,c) 4 a Y(a,b,c)=0 这个性质在- j k - lx a y a z a w a( , , )x b y b z b w bx c y c z c w c iY
5、 a b c 下是没有的 5 若 a 平行于 b Y(a,b,c)=0. 6 若 Y ( a , b , c )s in , c o s 1 , , c o s 2 , , c o s 3 ,a b c c a a bbc 则 2 2 2s in 1 c o s 1 c o s 2 c o s 3 2 * c o s 1 * c o s 2 * c o s 3 这个性质证起来很麻烦，可以这样去想。对 Y(a,b,c)进行正交变换，使 a=xa*i; 然后算起来少了很多项，就可以验证。 四 更改四维坐标 时空间隔定义为： 2 * 2 2 2 2s c t x y z 为了满足矢量运算，定义： r
6、=cti+ixj+iyk+izl 设 t(4) x(4) y(4) z(4)为事件 A 在 四维时空中的坐标 x(3) y(3) z(3)为地点 B 在三维空间中的坐标 则 x(4)=ix(3) x(3)=x y(4)=iy(3) y(3)=y z(4)=iz(3) z(3)=z A 与 B 的关系是事件 A 发生在地点 B L Y(r1,r2,p) ( , , , )r ct ix iy iz ( , , , )u c i vx i vy i vz ( , , , )Ep ipx ipy ipzc 这样对原来的守恒量不改变，并且按内积： * 2 * 2 2 2 2r r r c t x y
7、z 这样定义对数学运算会符合些。 五 该找哪三个量 该找哪三个量，我遇到了很大的困难，到现在也不知道 找哪三个才合适，但还是试着找了一些，尽管我找的什么意义。 在三维空间中 L=rp 而 p drmdt 如果类推下去，找三个量，应找 r p a, 但 a 很奇特 a (0 , , , )i ax i ay i az 并不是洛仑兹不变量。而且，既然相对论抛弃了力，也不应用加速度。 回过头来，再看看三维空间中的角动量，表示质点绕一定点运动。而在四维时空中，所谓的点就是事件，角动量也应表示质点绕事件运动。质点的运动在四维时空 中为一轨迹，角动量可表示轨迹上各 事件 的四维速度与事件的关系。但也只有两
8、个量，我的想法是，质点绕两事件运动，即 L= Y(r1,r2,p) r1 r2 表示事件 A1 A2 到质点轨迹上某点的矢量 , p 表示质点在轨迹上该点的 四维速度 A1 A2 为固定事件 六 在 L= Y(r1,r2,p)下 1 L是洛仑兹不变量 2 2 2 1 2 * s in1 2 * 1 c o s 1 c o s 2 c o s 3 2 * c o s 1 * c o s 2 * c o s 3L r r pr r p 1 2r r p 是洛仑兹不变量 r1 r2, r1 p, r2 p 都是洛仑兹不变量 c o s 1, c o s 2 , c o s 3 是洛仑兹不变量 L是洛
9、仑兹不变量 2 在质点系不受外界作用时，四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守 恒 在三维空间中，守恒量为质点 在相同时间下的相加，而对于四维时空，每个质点都有一轨迹，该把各轨迹上的哪些点相加呢？在四维时空中，时间不是那么重要，重要的是实空间隔，因此，应当找各轨迹上与某一事件有相同的是空间隔的事件相加，即 L= Li（ ）。但这样会出现一些问题： 1.这一事件很特殊，不过可以与质点绕的两事件联系起来，其中一事件就是四维球心，这样 L会有意义一些。 2.有些轨迹上并没有该时空间隔的事件，甚至有的质点到该点的时空间隔没有相等的事件。 3.没有发现什么守恒关系 ，这是关键。不过，尽管
10、时空间隔比时间更重要， 但守恒律是对于什么而言的呢？我也不知道，似乎是时间。最后，我还是找了把各轨迹上按时间相同相加，即 L= Li(t). (1) 从 三维空间中能量，动量，角动量守 恒 推 四维时空中 L守恒 设 j k l 为四维时空的 x y z 三个方向的基矢，也是三维空间的三个基矢。 L= Y(r1i,r2i,p)= Y(r1i-r2i,r2i,p)+ Y(r2i,r2i,p)= Y(r0,r2i,p) 1 2 1 2 0 ( 0 , 0 , 0 , 0 )r i r i r r r c t ix iy iz 设 2 ( , , , )r i cti ixi iyi izi ( c
11、 t * p z i - E i / c * z i ) = ( c t * p z i 0 - m i * c * z i ) ( * * ) ( * )( * * ) * * ( ) * *ccc t p z i m i z i c t p z i c z m id c t p z i m i z i c t d p z i c d z m id t d t i j k lj k l i k lc t0 ix 0 iy 0 iz 0L = 0 * ix i iy i iz i 0 * c t iy i iz ic t ix i iy i iz iip x i ip y i ip z i E
12、 i/c ip y i ipEi ,cc t ixip x i ip y i ip z i i j l i j k0 * c t ix i iz i 0 * c t ix i iy iz i E i/c ip x i ip z i E i/c ip x i ip y iiy iz 右式中有四 项，第一项由角动量守恒推得为守恒量。 由角动量守恒 L=i i ixi yi zii j kx y zp p p, , ,y i zi x i y i zi x ipy i pzi px i py i pzi px i 分别守恒 所以第二项为： -ix0*i ,yizipyipzi+x0*k* (ct*p
13、zi-Ei/c*zi)-x0*l (ct*pyi-yi*Ei/c) 第一小项由角动量守恒推得守恒， 第二小项： ( c t * p z i - E i / c * z i ) = ( c t * p z i 0 - m i * c * z i ) ( * * ) ( *)( * * ) * * ( ) * *ccc t p z i m i z i c t p z i c z m id c t p z i m i z i c t d p z i c d z m id t d t 因为 pzi 与 mi 守恒，所以上式等于 0，即第二小项守恒，同理第三小项守恒。 同理 L的第三，第四项守恒。所以
14、L守恒。 但守恒是有一定条件的，例如，角动量守恒的条件视为对该给定的总力矩之和为 0，而 L守恒的条件应当是三个守恒量的条件之和，起码这是个充分条件。特别地，质点系不受外界作用满足所有条件。 (2) 从 四维时空中 L守恒 推 三维空间中能量，动量，角动量守 恒 L对任意 事件 A1,A2 成立 取 r0=(ct0,0,0,0) i j k lc t0 0 0 0L = c t ix i iy i iz iEi ,cipx i ipy i ipzi j k l0 * ix i iy i iz iip x i ip y i ip z ict =j k l0 * x i yi zip x i p
15、yi p zict 推得角动量守恒 取 r0=(0,ix0,0,0) - x 0 * k ( z i* E i/c - c t* p z i) 0 * * ( * * )cx k c z m i c t p z i i k l y i z iL = 0 * c t iy i iz i 0 * i - x 0 * k ( z i* E i/ c - c t* p z i) + x 0 * l ( c t* p z i- p y i* E i/ c )p y i p z iE i/ c ip y i ip z iix ix 第一项守恒，第二项也守恒： - x 0 * k ( z i* E i/c
16、- c t* p z i) 0 * * ( * * )cx k c z m i c t p z i 第二项对时间求导： * ( * * )c d m i dpzc z td t d t =0 cz 与 A2 选择有关，可选择另一 A1,A2，使 r0 不变，但 cz 改变，而质量，动量只与速率有关与 A1,A2,无关， ,d mi dpz 不变，所以得质量守恒与 pz 守恒，同理得 px,py 守恒。 所以，当质点不受外界作用时， 四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守 恒 从上面推出，从 k 系看 四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守 恒。如果从 k系来看，
17、同样推出 k系的 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守 恒。而如果从各个惯性系来看， 能量，动量，角动量守 恒，则各个惯性系的 L都守恒。注意，并不能从 k 系来看 L守恒与 L是洛仑兹不变量来推导 各个惯性系的 L都守恒，因为 L的方向从k来看可能在 变，而且直接用洛仑兹变换的话 k把 在 k来看不同的事件下的各量相加，没有什么意义。 七 并没有什么意义 四维时空比三维空间多一维，应有更丰富的内涵，虽然我的这个量找得不怎么好，但包含了三维空间的守恒量。我也相信，有一个更好的四维时空的量，它能更好地解释某些东西，而三维空间的守恒量只是这个量的不同方式的不同投影。其实要找这样一个量应该不太
18、困难，三维空间的三个守恒量可用 7 个标量表示，但对任意点的角动量守恒就包含了动量守恒。设对 A 点 L= ripi,对 B Lb= ripi= 0ri pi r pi L Lb 守恒， r0 为定值，所以动量守恒。 而四维时空有四个分量，应能包含。 但我找的 这个量，是硬着凑出来的，有什么实质的物理意义，我不知道，也不知道该取个什么名称，也无法理解质点绕二事件运动是什么意思，这是最失败的地方。不过，记得初学角动量时，我也不理解绕一点运动是什么意思， 只是后来想得多了才有点明白。我的这个量还有另一个大缺点，就是没能完全抛弃三维空间， L取了 t 的函数。 我的这个量没有什么意义是可以理解的，因为 “同时”已经意义不太大了，既然考虑四维时空，就不应拘泥于时间。如果想找一个有意义一点的量，我觉得还是应考虑与某一事件有相同的时空将阁 下向加，不过这个工作量太大。我觉得选择三目运算符是没有错的，就是具体的三个量找得不好。 写这篇论文，我想有一些原创的东西，但做了很多工作，还是做不出什么有价值的东西，但还是把一直来的工作记叙下来，写成了这篇论文。还有就是这篇论文写得很不规 范，数学符号没有整理好，望老师能原谅，我写的时间实在不充足。
