1、65 / 8习题 22.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1) (2) ()rect(2)nfxxn()tri(2)ngx2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1) ; (2) ; rect()sic()Fxy22()sinc()iFxy(3) ; (4) ;1,1gn()iFxy(5) ; (6) 。(sin)x2()/exya2.3 求 和 的傅里叶变换。2f2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。()tri1)tri()H()rect(/3)rt()G2.5 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在 连续的点上 ；(,)fxy1(,)(,)(,)Ffx
2、yFfxyfxy(2) 。,*Fhfg2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若 ，则 ;0()rfr0()2J()rBfr(2) 若 时 ，而在其他地方为零，则 ;1a(rf 11J(2)J()raBf(3) 若 ，则 ;()rBfF21()rBfa(4) 22er2.7 设 在极坐标中可分离变量。证明若 ，则：(,)g i(,)(emrffi()eH()mrFfrf其中 为 阶汉克尔变换： 。而 空间频率中的极坐Hm 02()J2)dmrrmfr(,)标。(提示： )isnieJ(eaxkxka2.8 计算下列各式的一维卷积。66 / 8(1) (2) 1rect*(23)x
3、3rect*(4)(1)2xx(3) (4) rtomb()xsinrt()2.9 试用卷积定理计算下列各式。(1) (2) sinc()*ixsic()2Fx2.10 用宽度为 的狭缝，对平面上强度分布a0()2os()fx扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为 ，光栅常数为 ，缝数为 。adN2.12 计算下面函数的相关。(1) (2) 1rect2x1rect2xtri21xtrix2.13 应用傅里叶定理求下面积分。(1) (2) 2ecos()dxax 2sinc()idx2.14 求函数 和 的一阶和二阶导
4、数。)rtf(tri)f2.15 试求下图所示函数的一维自相关。2.16 试计算函数 的一阶矩。()rect(3)fx2.17 证明实函数 的自相关是实的偶函数，即： 。,y(,)(,)ffRxyxy2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。(1) (2) (3) step()xsgn()x0sin(2)2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1) (2) ()tri1)tri()H()rect(/3)rt()Gxx2.20 表达式67 / 8(,)(,)*combxypxygXY定义了一个周期函数，它在 方向上的周期为 ，它在 方向上的周期为 。Y(a) 证明 的傅里
5、叶变换可以写为：(,),nmnmPGXYY其中 是 的傅里叶变换。g(b) 当 时，画出函数 的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)rect2rtxyxyY(,)pxy。(,)P习题 33.1 设在一线性系统上加一个正弦输入： ，在什么充分条件下，输出是一个(,)cos2()gxyxy空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2 证明零阶贝塞尔函数 是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本02J()r征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a) 这个系统是线性的吗？(
6、b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布 ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像o(,)Uxy场分布 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的i(,)Uxy区间 ， 之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体|xB|y，它与真实物体 产生完全一样的像 ，并且等产供效物体的场分布可写成：o(,)y oiUo 0, (,)sinc(2)sinc(2)d,2XYnm XYnmUxUBmxyB 3.5 定义：, 1(,)d(0,)xyfxyf1(,)d
7、(0,)F68 / 8分别为原函数 及其频谱函数 的“等效面积”和“等效带宽” ，试证明：(,)fxy(,)F1xyA上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6 已知线性不变系统的输入为： 。系统的传递函数为 。当 和 时，()comb()fxrect(/)b13b求系统的输出 ，并画出函数及其频谱。()gx3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：()7sinc()h用频率域方法对下列的每一个输入 ，求其输出 (必要时，可取合理近似) ：()ifxigx(1) (2) 1()cos4fx 2()cos4ret/75)f(3) (4) 3(8
8、)rect(/75)x4mb()*c2xx3.8 给定正实常数 和实常数 和 ，求证：0ab(1) 若 ，则01|2b00sinc(/)*os(2)cos(2)|xxx(2) 若 ，则0|0i(/)()|b(3) 若 ，则|basinc/*si/|sinc(/)xaxa(4) 若 ，则|222()c()|bxb3.9 若限带函数 的傅里叶变换在带宽 之外恒为零，(1) 如果 ，证明：()fxw1|w(2) 如果 ，上面的等式还成立吗？1sinc/*()|afx1|a3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波：1()comb(/3)rect(/10)*rect()gxxx若系统脉冲响应：
9、 。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱th的图形。69 / 83.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波1()comb(/2)rect(/50)*tri(gxxx对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1) (2) ()rect(/)H()rect(/4)rect(/2)H3.12 若对函数： 抽样，求允许的最大抽样间隔。2sinhxax3.13 证明在频率平面上一个半径为 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定B理：221J2(/)(/)(,),24nmxnBymgxyg 习 题 44.1 尺寸为 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求
10、出紧靠零后的平面上ab透射光场的角谱。 4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) (2) 200(,)cir()txyxy2001,1(,)axytxy其 它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)txabxd式中， 为光栅的周期， 。观察平面与光栅相距 。当 分别取下述值时，确dabz定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。(1) (2) (3) 2rz2rzd24rzd4.4 参看下图，用向 点会聚的单色球面波照明孔径 。 点位于孔径后面距离为 的观察PPz平面上，坐标为 。假定观察平
11、面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面(0,)b上强度分布是以 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。70 / 84.5 方向余弦为 ，振幅为 的倾斜单色平面波照明一个半径为 的圆孔。观察平cos,Aa面位于夫琅禾费区，也孔径相距为 。求衍射图样的强度分布。z4.6 环形孔径的外径为 ，内径为 。其透射率可以表示为：2aa(01)001,()rtr其 他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强z度分布。4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为 ，中心距离为 。采ad()a用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为 的观察平面上夫琅禾
12、费衍射z图样的强度分布并画出沿 方向截面图。y4.8 参看下图，边长为 的正方形孔径内再放置一个边长为 的正方形掩模，其中心落在2aa点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为 的观察平面上夫琅(,) z禾费射图样的光场分布。画出 时，孔径频谱在 方向上的截面图。0xyx71 / 84.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为 ，长度为 ，中心相距 。采用abd单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分z布。假定 及 ，画出沿 和 方向上强度分布的截面图。4ba1.5dxy4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即
13、：00()step()tx采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图z样的复振幅分布。画出沿 方向的振幅分布曲线。x4.11 下图所示为宽度为 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差 。采用单a 位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。z画出沿 方向的截面图。x4.12 线光栅的缝宽为 ，光栅常数为 ，光栅整体孔径是边长 的正方形。试对下述条件，adL分别确定 和 之间的关系：d(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可
14、以表示为：72 / 800000(,)comb(/)c(/)comb(.1)/comb(/)txyxayxay采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强z度分布。画出沿 方向的截面图。4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为 ，齿宽为 ，齿形角为 ，光栅的na整体孔径为边长为 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为L的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，z角应如何选择？4.15 衍射零是由 个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为 ，其中心在 方向间距为mn a0x，在 方向间距为 ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为 的xd0yyd z观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.16 在透明玻璃板上有大量 ( )无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是 。采用单N a位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分z布。
