1、版权所有 :中国好课堂 辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 |1 2, | 2Ax x Bxx，则AB( ) A -2-1，B - -，C 4+，D -，2.若复数1532iz i ，则z( ) A 1B2C3D 2 3.已知R上的奇函数()fx满足：当0x时，2() log(1 )fx x，则(7)ff( ) A 1B -1C -2D 2 4.某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比列
2、如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是 ( ) A 12 B 15 C. 20 D 21 5.已知等差数列na中，1010 20173, 2017aS，则1012a( ) A 1 B 3 C.5 D 7 6.已知实数,xy满足4 2 04 7 020xyxy ，则5z xy的最大值与最小值之和为 ( ) A -21 B -1 C.-2 D 1 版权所有 :中国好课堂 7.将函数1( ) cos 22f x x的图象向右平移 6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍
3、，得到函数()ygx的图象，则3()4g ( ) A32B32C.12D 8.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著数书九章中的“中国剩余定理” .已知正整数n被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8除余 5，求n的最小值 .执行程序框图，则输出的 ( ) A 62 B 59 C.53 D 50 9.已知三棱锥PABC中，AB平面APC,42, 2AB PAPC ，AC，则三棱锥外接球的表面积为 ( ) A28B36C.48D7210.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为 1，则该几何体的体积为 ( ) A4208 3B4216 3C.32208 3D32216 311.已知双曲
4、线2222x: 1( 0, 0)yC a bab 的离心率233e ，对称中心为O，右焦点为F，版权所有 :中国好课堂 点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，,AOFOAFOAF的面积为33，则双曲线 的方程为 ( ) A22136 12xyB2 2 13x yC. 22112 4xyD19312.设实数0m，若对任意的xe，不等式ln 0mxx x me恒成立，则m的最大值是 ( ) A1eB 3eC. De第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量(,0), (1,3)atb ，若4ab，则2 14.若251(3 )(
5、2 )x a x x的展开式中3的系数为 80，则a 15.已知等比数列na的前 项和为nS，且362728SS ，则543aaa 16.已知抛物线2: 2( 0)Cx pyp的焦点为,FO为坐标原点，点(4, ), ( 1, )22ppMN ，射线,MONO分别交抛物线 于异于点 的点AB，若,ABF三点共线，则p 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在ABC中，内角,ABC的对边分别为abc，已知sincossincos sinbACcABacB. (1)证明：bca； (2)若13,cos 6cC，求AC边上的高 . 18
6、.2018 年 2月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中 ,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本 届冬奥会的首枚金牌 ,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破 .根据短道速滑男子 500米的比赛规则 ,运动员自出发点出发进入滑行阶段后 ,每滑行一圈都要依次经过 4 个直道与弯道的交接口( 1,2,3,4)kAk.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34,摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行 ,现在用X表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数 . 版权所有 :中国好课堂 (1)求
7、该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率； (2)求X的分布列及数学期望 EX. 19.如图，在高为 4 的正三棱柱11 1ABCABC中，3,M为棱AB的中点，,DEF分别为棱1 1 1 1,ABBBAA上一点，且1 1,DF MEBD . (1)证明：BD平面CEM； (2)求直线 与平面F所成角的正弦值 . 20.已知椭圆221 2: 1( 0)8xyCbb 的左、右焦点分别为12,FF，点2F也为抛物线2:8C y x的 焦点 . (1)若,MN为椭圆1C上两点 ,且线段 的中点为 ,1,求直线MN的斜率； (2)若过椭圆 的右焦点2F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于,AB
8、和CD,设线段,ABCD的长分别为mn，证明11是定值 . 21.已知函数32() 6 (, )fxxxaxbabR 的图象在与 轴的交点的切线方程为918yx. (1)求()fx的解析式； 版权所有 :中国好课堂 (2)若21 ( 2) ( ) 910 kx x f x x k 对2,5x恒成立，求k的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为25,5525xtyt （t为参数），曲线C的极坐标方程为
9、2cos 8sin . (1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l与曲线 的交点分别为,MN，求 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数()| | 3|fxx x. (1)解关于 的不等式() 1f ； (2)记函数()fx的最大值为m，若440, 0,a b abmabeee ，求ab的最小值 . 版权所有 :中国好课堂 辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5: CBDAD 6-10: BACBA 11、 12： DC 二、填空题 13. 2,614.-2 15.1616.2 三、解答题 17.（ 1）证明：因为sin
10、sincossinsincossinsinBACCABcAB， 所以icoincossinC BcB， 所以sinAcB， 故ab. (2)解：因为3,c abc， 所以2210 93 ,cos 6ba b C b. 又1cos 6C ，所以221 0 9 166bb ，解得 ， 所以3, 1ac b， 所以AC边上的高为2 359 ( )22. 18.解： (1)由题意可知：33 1 27()4 4 256P . 版权所有 :中国好课堂 (2)X的所有可能值为0,1,2,3,4. 则3( ) ( 1,2,3,4)4kP A k，且1 2 3 4, , ,AAA相互独立 . 故1 1( 0)
11、 ( ) 4X P ， 123 1 3( 1) ( ) 4 4 16P PA A ， 21 2 3 3 1 9( 2) ( )( )4 4 64X A ， 31 2 3 4 3 1 27( 3) ( ) ( )4 4 256P PAA A ， 41 2 3 4 3 81( 4) ( ) ( )4 256X A . 从而 的分布列为 0 1 2 3 4 143169642725681所以1 3 9 27 81 525( ) 0 1 2 3 44 16 64 256 256 256EX . 19.(1)证明：在正三棱柱1 1 1ABCABC中， 1AA平面ABC，则1A CM， ,CB为AB的中点
12、，M. 又1 ,AAAAM平面11BBA，D. ,MEDECMBD平面 . (2)解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz， 则3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1(0,0,0), ( ,0,0), ( , ,1), ( , ,0), ( , ,4)2 2 2 2 2 2 2C M F B D. 易得3 3 3 3 3( , ,1), ( ,0,0)2 2 2CF CM , 设平面 的法向量为,)n xyz， 版权所有 :中国好课堂 则3 3 3 0,2233 02CF n x y zCM n x 取3z，则(0,2,3)n. (0,2,4)BD， 直线 与平面CF所成角的正
13、弦值为| | 8 465|cos , | 65| | | 13 20nBDnBD nBD . 20.解：因为抛物线22:8C y x的焦点为 ,0，所以284b，故b， 所以椭圆22:1xyC (1)设 1 1 2 2, , ,MxyNxy，则2211221,841,84xy 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 084x x x x y y y y ， 又MN的中点为 ,1，所以1 2 1 22, 2xx yy. 所以21 12yyxx . 版权所有 :中国好课堂 显然，点 1,1在椭圆内部，所以直线MN的斜率为12. (2)椭圆右焦点2(2,0)F. 当直线AB的斜率不存在或者为
14、0 时，1 1 1 1 3 284 2 2 2mn . 当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为( 2)ykx, 设 1 1 2 2, ,AxyBxy，联立方程得22( 2 ),2 8,y k xxy 消去y并化简得2 2 2(12) 8 8 80kxkxk ， 因为2 2 2 2(8)4(12)(88)32( 1)0k kk k ， 所以221 2 1 28 8( 1),1 2 1 2kkx x xx . 所以 222 1 2 1 2 24 (1 )14 12 km k x xx k . 同理可得224 2( )2kn k . 所以22221 1 1 2 2 2()1 1 842
15、kkmn k k 为定值 . 21.解： (1)由9180x得2,切点为(2,0). 2()3 2fx x xa，3226,() 6 2126b fxxx x . 又(2) 24 0f ab ， . (2)由9x k得32()9 6 1226kfxxxx x ， 设32() 6 12 26g x ，22()3( 44)3( ) 0gx x 对(2,5)恒成立， ()gx在 ,5上单调递增，( 9kg. 版权所有 :中国好课堂 3 2 3() 61289(2)9(2)fxxxx x x， 由21 ( 2) ( )10 kx x f x对2,5x恒成立得21 2 9 13 2110 ( 2) 2
16、xxk x x x x x 对,5恒成立， 设213 2( ) 1 (2 5)2xh x xxx ，22213 13( ) ( 2)hx ， 当25x时，213130xx ，()0, (hx h单调递减，16(5)10 5kh ，即12k. 综上，k的取值范围为 9,12. 22.解： (1)因为2cos 8sin ，所以22cos 8sin ， 即2 8xy， 所以曲线C表示焦点坐标为 0,2，对称轴为y轴的抛物线 . (2)直线l过抛物线的焦点 ,，且参数方程为255525xtyt （t为参数）， 代入曲线 的直角坐标方程，得2 25200tt ， 所以1 2 1225, 20t t tt . 所以 21 2 1 2 12| | 4 10MNtt tt tt . 23.解： (1)当3x时，由5 3 1xx x，得7x， 所以 ； 当35时，由，得13x， 所以13 3x ； 当x时，由531xx，得9，无解 .
