高中物理竞赛稳恒电流习题.DOC

1、智浪教育 -普惠英才文库 高中物理竞赛 稳恒电流习题 一、纯电阻电路的简化和等效 1、等势缩点法 将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析 【物理情形 1】在图 8-4甲所示的电路中， R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求 A、 B 两端的等效电阻 RAB 。 【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、 D 缩为一点 A后，成为图 8-4 乙图 对于图 8-4 的乙图，求 RAB就容易了。 【答案】 RAB = 83R 。 【

2、物理情形 2】在图 8-5甲所示的电路中， R1 = 1 ， R2 = 4 ， R3 = 3 ，R4 = 12 ， R5 = 10 ，试求 A、 B两端的等效电阻 RAB 。 【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将 A、 B 两端接入电源，并假设 R5不存在， C、 D 两点的电势有什么关系？ 学员判断结论：相等。 因此，将 C、 D 缩为一点 C 后，电路等效为图 8-5 乙 对于图 8-5 的乙图，求 RAB是非常容易的。事实上，只要满足21RR=43RR的关系，我们把桥式电路称为“平衡电桥”。 智浪教育 -普惠英才文库 【答案】 RAB = 415 。 相关介绍英国物

3、理学家惠斯登曾将图 8-5 中的 R5换成灵敏电流计 G ，将R1 、 R2中的某一个电阻换成待测电阻、将 R3 、 R4换成带触头的电阻丝，通过调节触头 P的位置，观察电流计示数 为零来测量带测电阻 Rx的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。 请学员们参照图 8-6 思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出 Rx的表达式（触头两端的电阻丝长度 LAC 和 LCB是可以通过设置好的标尺读出的）。 学员思考、计算 【答案】 Rx =ACCBLLR0 。 【物理情形 3】在图 8-7甲所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 R ，试求 A、 B两点之间的等效电阻 RA

4、B 。 【模型分析】在本模型中，我们介绍“对称等势”的思想。当我们将 A、 B两端接入 电源，电流从 A流向 B时，相对 A、 B连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的，即：在图 8-7 乙图中标号为 1 的点电势彼此相等，标号为 2的点电势彼此相等。将它们缩点后， 1点和 B点之间的等效电路如图 8-7 丙所示。 不难求出， R1B = 145R ，而 RAB = 2R1B 。 【答案】 RAB = 75R 。 2、 Y型变换 【物理情形】在图 8-5 甲所示的电路中，将 R1换成 2 的电阻 ，其它条件不变，再求 A、 B 两端的等效电阻 RAB 。 【模型分析】此时的电桥已经不再“平

5、衡”，故不能采取等势缩点法简化电路。这里可以将电路的左边或右边看成型电路，然后进行 Y型变换，具体操作如图 8-8所示。 根据前面介绍的定式，有 智浪教育 -普惠英才文库 Ra = 53131 RRR RR = 1032 32= 52 Rb = 53151 RRR RR = 1032 102 = 34 Rc = 53153 RRR RR = 1032 103 = 2 再求 RAB就容易了。 【答案】 RAB = 145618 。 3、电流注入法 【物理情形】对图 8-9 所示无限网络，求 A、 B两点间的电阻 RAB 。 【模型分析】显然，等势缩点和 Y 型变换均不适用这种网络的计算。这里介绍

6、“电流注入法”的应用。 应用电流注入法 的依据是：对于任何一个等效电阻 R，欧姆定律都是适用的，而且，对于每一段导体，欧姆定律也是适用的。 现在，当我们将无穷远接地， A 点接电源正极，从 A 点注入电流 I 时， AB 小段导体的电流必为I/3 ； 当我们将无穷远接地， B点接电源负极，从 B点抽出电流 I时， AB小段导体的电流必为 I/3 ； 那么，当上面“注入”和“抽出”的过程同时进行时， AB 小段导体的电流必为 2I/3 。 最后，分别对导体和整个网络应用欧姆定律，即不难求出 RAB 。 【答案】 RAB =32R 。 相关介 绍事实上，电流注入法是一个解复杂电路的基本工具，而不是

7、仅仅可以适用于无限网络。下面介绍用电流注入法解图 8-8 中桥式电路（不平衡）的 RAB 。 从 A 端注入电流 I ，并设流过 R1和 R2的电流分别为 I1和 I2 ，则根据基尔霍夫第一定律，其它三个电阻的电流可以表示为如图 8-10 所示。 智浪教育 -普惠英才文库 然后对左边回路用基尔霍夫第二定律，有 I1R1 + (I1 I2)R5 (I I1)R3 = 0 即 2I1 + 10(I1 I2) 3(I I1) = 0 整理后得 15I1 10I2 = 3I 对左边回路用基尔霍夫第二定律，有 I2R2 (I I2)R4 (I1 I2)R5 = 0 即 4I2 12(I I2) 10(I

8、1 I2) = 0 整理后得 5I1 + 13I2 = 6I 解两式，得 I1 = 14599I ， I2 = 2921I 很显然 UA I1R1 I2R2 = UB 即 UAB = 214599I + 42921I = 145618I 最后对整块电路用欧姆定律，有 RAB = IUAB= 145618 。 4、添加等效法 【物理情形】在图 8-11 甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ，试求A、 B两点间的电阻 RAB 。 【模型分析】解这类问题，我们要用到一种数学思想，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。在此模型中，我们可以将“并联一个 R再串联一个 R”作为电路的一级，总电路是这

9、样无穷级的叠加。在图 8-11 乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即 RAB R + R = RAB 解这个方程就得出了 RAB的值。 【答案】 RAB = 251R 。 学员思考本题是否可以用“电流注入法”求解？ 解说可以，在 A 端注入电流 I 后，设第一 级的并联电阻分流为 I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图 8-12所示 对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有 (I I1)R + (I I1)II1R I1R = 0 智浪教育 -普惠英才文库 解得 I1 = 215I 很显然 UA IR I1R = UB

10、即 UAB = IR + 215IR = 251IR 最后， RAB = IUAB= 251R 。 【综合应用】在图 8-13 甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R ，试求 A、 B两点间的等效电阻 RAB 。 【解说】当 A、 B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知， C、 D、 E各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中思想，将 CD 间的导体、 DE 间的导体取走后，电路可以等效为图 8-13 乙所示的二维无限网络。 对于这个二维无限网络，不难求出 R = 3213R 显然， RAB = R3R2 R 【答案

11、】 RAB = 212R 。 二、含源电路的简化和计算 1、戴维南定理的应用 【物理情形】在如图 8-14 甲所示电路中，电源 = 1.4V，内阻不计， R1 = R4 = 2 ， R2 = R3 = R5 = 1 ，试用戴维南定理解流过电阻 R5的电流。 【模型分析】用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个电源，然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一智浪教育 -普惠英才文库 个，我们可以援用后一种思路，将除 R5 之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，于是 将电路做“拓扑”变换，成图 8-14 乙图。这时候， P、 Q 两点可看成“新电源”的两极，设

12、新电源的电动势为 ，内阻为 r，则 r = R1 R2 + R3 R4 = 34 为 P、 Q开路时的电压。开路时， R1的电流 I1和 R3的电流 I3相等， I1 = I3 = )RR()RR 4321 （ 21= 157A ，令“老电源”的负极接地，则 UP = I1R2 = 157V ，UQ = I3R4 = 1514V ，所以 = UQP = 157V 最后电路演化成图 8-14 丙时， R5的电流就好求了。 【答案】 R5上电流大小为 0.20A，方向（在甲图中）向上。 2、基尔霍夫定律的应用 基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电

13、路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是 基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一； 基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的个数 m应该这样计算 m = p n + 1 其中 p 为支路数目（不同电流值的数目）， n 为节点个数。譬如，在图 8-15所示的三个电路中， m 应该这样计 算 甲图， p = 3 ， n = 2 ， m = 3 2 + 1 = 2 乙图， p = 6 ， n = 4 ， m = 6 4 + 1 = 3 丙图， p = 8 ， n = 5 ， m = 8 5 + 1 = 4 以上的数目也就是三个

14、电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。 思考启发：学员观察上面三个电路中 m的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？ 学员： m 事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一支路验证） 【物理情形 1】在图 8-16 所示的电路中 ， 1 = 32V， 2 = 24V，两电源的智浪教育 -普惠英才文库 内阻均不计， R1 = 5 ， R2 = 6 ， R3 = 54 ，求各支路的电流。 【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n 1 = 2 ，第二方程的个数为 p n + 1 = 2 由第一定律，有 I3 = I1 + I2 由第二定律，左回路有 1 2

15、= I1R1 I2R2 左回路有 2 = I2R2 + I3R3 代入数字后，从这三个方程不难解出 I1 = 1.0A ， I2 = 0.5A ， I3 = 0.5A 这里 I2 的负号表明实际电流方向和假定方向相反。 【答案】 R1的电流大小为 1.0A，方向向上， R2的电流大小为 0.5A，方向向下，R3的电流大小为 0.5A，方向向下。 【物理情形 2】用基尔霍夫定律解图 8-14 甲所示电路中 R5的电流（所有已知条件不变）。 【模型分析】此电路 p = 6 ， n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为 3 ，第二定律方程个数为 3 。 为了方便，将独立回路编号为、和 ，电流只设了

16、三个未知量 I1 、 I2和 I3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来 ，见图 8-17 。这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。 对回路，有 I2R1 + I1R5 I3R3 = 0 即 2I2 + 1I1 1I3 = 0 对回路，有 (I2 I1)R2 (I1 + I3)R4 I1R5 = 0 即 1(I2 I1) 2(I1 + I3) 1I1 = 0 对回路，有 = I3R3 + (I1 + I3)R4 即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) 解式不难得出 I1 = 0.2A 。（ I2 = 0.4A ， I3 = 0.6A） 【答案】略。 【物理情形

17、3】求解图 8-18 所示电路中流过 30 电阻的电流。 【模型分析】基尔霍夫第一定律方程 2个，已在图中体现 基尔霍夫第二定律方程 3个，分别为 对回路，有 100 = (I2 I1) + I2 10 对回路，有 40 = I2 10 + I1 30 I3 10 对回路，有 100 = I3 10 + (I1 + I3) 10 解式不难得出 I1 = 1.0A 。（ I2 = 5.5A ， I3 = 4.5A） 【答案】大小为 1.0A，方向向左。 小结解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则

18、用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度随之增大。 智浪教育 -普惠英才文库 三、液体 导电及其它 【物理情形】已知法拉第恒量 F = 9.65 104C/mol ，金的摩尔质量为 0.1972kg/mol ，金的化合价为 3 ，要想在电解池中析出 1g 金，需要通过多少电量？金是在电解池的正极板还是在负极板析出？ 【解说】法拉第电解定律（综合形式）的按部就班应用，即 Q = MmFn，代入相关数据（其中 m = 1.0 103kg ， n = 3）即可。 【答案】需

19、要 1.47 103C 电量，金在负极板析出。 【相关应用】在图 8-19 所示的装置中，如果在 120分钟 内淀积 3.0 1022个银原子，银的化合价为 1 。在电流表中显示的示数是多少？若将阿弗伽德罗常数视为已知量，试求法拉第恒量。 【解说】第一问根据电流定义即可求得； 第二问 F = mnQM= M1002.6 100.3M106.1100.323221922 【答案】 0.667A； 9.63 104C/mol 。 四、问题补遗 欧姆表 图 8-20 展示了欧姆表的基本原理图（未包括换档电路），虚线方框内是欧姆表的内部结构，它包含表头 G、直流电源（常用干电池）及电阻 R 。 当被测

20、电阻 Rx接入电路时，表头 G 电流 I = xg RRrR 可以看出，对给定的欧姆表， I与 Rx有一一对应的关系，所以由表头指针的位置可以知道 Rx 的大小。为了读数方便，事先在刻度盘上直接标出欧姆值。 考查 I（ Rx）函数，不难得出欧姆表的刻度特点有三：大值在左边、小值在右边；不均匀，小值区域稀疏、大值区域密集；没有明确的量程，最右边为零，最左边为 。 欧姆表虽然没有明确的量程，并不以为着测量任何电阻都是准确的，因为大值区域的刻度线太密，难以读出准确读数。这里就有一个档位选择问题。欧姆 表上备有“ 1”、“ 10”、“ 100”、“ 1k”不同档位，它们的意义是：表盘的读数乘以这个倍数

21、就是最后的测量结果。比如，一个待测电阻阻值越 20k ，选择“ 10”档，指针将指在 2k 附近（密集区），不准，选择“ 1k”档，指针将指在 20 附近（稀疏区），读数就准确了。 不同的档位是因为欧姆表的中值电阻可以选择造成的。当 Rx =（ Rg + r + R ）智浪教育 -普惠英才文库 时，表头电流 I = 21Ig ，指针指在表盘的几何中心，故称此时的 Rx 即（ Rg + r + R ） 为中值电 阻，它就是表盘正中刻度的那个数字乘以档位倍数。很显然，对于一个给定的欧姆档，中值电阻（简称 R 中 ）应该是固定不变的。 由于欧姆表必须保证 Rx = 0 时，指针指到最右边（ 0 刻度

22、），即 RrRg= Ig 这个式子当中，只有 Rg和 Ig是一成不变的， 、 r 均会随着电池的用旧而改变（ 、 r），为了保证方程继续成立，有必要调整 R 的值，这就是欧姆表在使用时的一个必不可少的步骤：欧姆调零，即将两表笔短接，观察指针指到最右边（ 0 刻度）即可。 所以，在使用欧姆表时，选档和调零是必 不可少的步骤，而且换档后，必须重新调零。 【相关问题 1】当欧姆表的电池用旧了之后，在操作规范的前提下，它的测值会 （填“偏大”、“偏小”或“继续准确”）。 【解说】这里的操作规范是指档位选择合适、已正确调零。电池用旧后， 、 r，但调零时，务必要使 R ，但 Rg + r + R = R

23、 中 = gI ，故 R 中 ，形成系统误差是必然的。 设新电池状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，用旧状态下电源电动势为 、中值电阻为 R 中 ，则针对同一个 Rx ，有 新电池状态 I = xRR 中= xg RI = xggRI1I 旧电池状态 I = xRR 中= xg RI = xggRI1I 两式比较后，不难得出 I I ，而表盘的刻度没有改变，故欧姆示数增大。 【答案】偏大。 【相关问题 2】用万用表之欧姆档测某二极管极性时，发现指针偏转极小，则与红表笔 相连接的应为二极管的 极。 【解说】欧姆档指针偏转极小，表明电阻示数很大；欧姆表的红表笔是和内部电源的负极相连的。 【答案】正 。