1、混沌与随机数,信息隐藏实验教程教学幻灯片四,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,虫口模型又称为Logistic映射 ： 在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时，其 第n年的数量与第n+1年的数量可以表示为： xn+1=xn(a-bxn) 其中a表示增长率，-bxn表示考虑到争夺 食物等因素引起的虫口饱和。,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,为了数学上处理的方便，我们再设a=b=,因此考虑下列关系式： xn+1=xn(1-xn) 我们下面进一步分析Logistic方程所描述的虫口问题的一些特征,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,当取=2.5,xo=0.5时 x1=0.625 x2=0.585937
2、5 x28=0.599999998 x29=0.6 x30=0.6 ,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,可以看出，当n的值大于29时，x的值不再改变，即使改变x0的值，只要=2.5,迭代方程最终会收敛到0.6，不同的只是达到收敛值的迭代路径。即不论初值为什么，迭代方程最终都会被吸引到一个固定值，这个固定值被称为吸引子。,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,我们再取=3.3，x0=0.5，可得： . x32=0.479427020 x33=0.823603283 x34=0.479427020 x35=0.823603283 .,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,可见，当取3.3时，有两个吸
3、引子， 这种收敛轨迹被称为周期2轨迹。,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,我们根据参数的取值讨论如下：大于0小于等于1 时 除了不动点Xs=0外，在也没有其他周期点，且Xs为吸引不动点（吸引子），即迭代方程最后会归于0，虫子最终会灭绝。大于1小于3时不动点0，1-1/为仅有的两个周期点，且0为排斥不动点，1-1/为吸引不动点。,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,大于等于3小于等于4时系统的动力学形态十分复杂，系统由倍周期通向混沌。前面的=3.3就是这样。大于4时系统的动力学形态更复杂。,一个最基本的混沌模型 （虫口模型）,下图给出了不同的值下虫口模型的时间序列,特征量,Lyapunov指数
4、 Lyapunov维数 kolmogorov熵,Lyapunov指数,混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为敏感。两 个很靠近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方 式分离，我们用Lyapunov指数来描述这一现象。 与初始值的选取没有关系，称为Lyapunov指数。 它表示平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。,Lyapunov指数,指数分离我们用下图表示 x0-x0+ n次迭代 F(x0)- en -F(x0+) 故0可作为系统混沌行为的一个判据 。对Logistic映 射，考虑参数3.44，若=3.5699, 0,对应混沌运 动。,Lyapunov维数,我们设Lyapunov指数按从大到
5、小的顺序排列为： 123.，则混沌吸引子的Lyapunov维数定义为：其中, ，k是保证Sk0的最大k值。,kolmogorov熵,考虑一个n维动力系统，将它的相空间分割成一个个边长为的n维立方体盒子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x（t），取时间间隔为一个很小的量，令P(i0,i1,.id)表示起始时刻系统轨道在第i0个格子中，t=在第i1个格子中，t=d在第id个格子中的联合概率，则Kolmogonov熵定义为：,kolmogorov熵,同样，我们可以使用K值可判断系统运动的性质：1、若K=0，表示系统做规则运动； 2、若K=，表示系统做随机运动； 3、若K取有限正值，表
6、示系统做混沌运动。,常见运动形态的特征量表,我们再给出几种常见的运动形态的特征量，如下表：,混沌的直观描述,设V是一个紧度量空间，连续映射f：VV如果满足下列三个条件：对初值敏感依赖。存在0,对于任意的0和x属于V，在x的邻域内存在y和自然数n，使得d(f(x),f(y) 。拓扑传递性。对于V上的任意一对开集X,Y, 存在k0,使f(X)Y。f的周期点集在V中稠密。 则称f是在Devaney意义下V上的混沌映射或混沌运动。,Logistic方程作为模型的混沌序列发生器,选择Logistic方程作为模型 只要给定合适的（大于3.5699）值， 就能使产生的序列满足混沌特性 。 我们选择很接近的两
7、个初值0.3256和 0.3257，而取3.9，生成5050的矩 阵，如下图：,Logistic方程作为模型的混沌序列发生器,Logistic方程作为模型的混沌序列发生器,混合光学双稳模型产生的混沌序列,我们还可以选取混合光学双稳模型作为混沌序列的生成模型： 两个参数A、xB，分别取4和2.5 ，赋给它不同的初值x0将得到不同的混沌序列,混沌时间序列的判别方法,功率谱方法 Lyapunov指数法,功率谱方法,谱图若具有单峰（或几个峰），则对应于周期序列；若无明显的峰值或峰值连成一片，则对应于湍流或混沌序列。 下图是虫口模型时间序列的功率谱密度。,功率谱方法,Lyapunov指数法,在Lyapunov指数0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；在0的方向轨道迅速分离，长时间行为对初始条件敏感，运动呈混沌状态；=0对应于稳定边界，属于一种临界情况。若系统最大Lyapunov指数大于0，则该系统一定是混沌的，所以时间序列的最大Lyapunov指数是否大于0可作为该序列是否混沌的一个判据。,
