1、1,笫四章 机械能守恒, 功 动能定理 保守力做功与势能 机械能和机械能守恒定律 4. 两体碰撞,目 录,2,在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家莱布尼兹提出了“活力”的概念及“活力”守恒原理。他认为宇宙中运动的总量保持不变的，应该是 ，而不是 。两者争论一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的活力守恒应归结为机械能守恒。,3,一、变力的功, 功 动能定律,定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积.,4,合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。,（1）功是标量，没有方向，但有正负.,说明：,5,例题4.1 物体由静止出发作直线运动
2、，质量为m，受力bt，b为常量，求在T秒内，此力所作的功。,根据牛顿定律和加速度的定义求,6,二、质点动能定理,力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的关系如何呢？,质点由A到B这一过程中，力作总功为：,7,质点动能定理合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量,（2）功与动能之间的区别和联系：区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动 能决定于质点的运动状态，动能是状态量。联系：外力的功是动能变化的量度。,（3）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性.（4）动能定理同样仅适用于惯性系。动能定理提供了一种 计算功的简便方法.,8,例题4.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,
3、设绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率.,解：方法（1）：利用动能定理,建立坐标系，重力在dt内所作元功为：,由动能定理得：,9,方法（2）：利用牛顿定律,由牛顿定律得,两种方法结果相同,10,例题4.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置h 落入洞中，求质点通过地心的速度。,由动能定理：,解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为,11,质点在地球外受力为,质点在地球内受力为,故,12,三、质点系动能定理,质点系的动能定理-作用于质点系的力所作的功，等于该质点系总动能的增量。,对所有质点求和：,设一个系统内有n个质点，作用于笫i个质点的力所作的功分别
4、为 ，由质点动能定理,13,（1） 质点系所受的力分外力和内力。则,说明：,14,内力做功不为零，由系统的动能定理,解：取A和B组成的系统，根据动量守恒,例题4.4 在光滑的水平面上，有一质量为 的静止物体B，在B上又有一质量为 的静止物体A，A受冲击，以 （相对于水平面向右运动，A和B之间的摩擦系数为 ，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上运动多远？,15,例题4.5 如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶.因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了 距离,卡车滑行了L距离.求L和 .巳知木箱与卡车
5、间的滑动摩擦系数为 ，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为,L,16,卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车的摩擦力F做功，三力之受力质点位移各为 .,解得,解：解法一（用质点动能定理求解）,根据质点动能定理得,17,解法二（用质点系动能定理求解）,视卡车与木箱为一质点系.外力F做功 ，内力做功等于力与相对位移的标积，即,注意：卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明 一对内力之功并不一定等值反号.滑动摩擦力做正功 或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位 移的基础上作具体分析.但一对滑动摩擦力所做功的代 数和却总是负的.,18,例题4.6 一炮弹的质量为 ，射出时的水平和竖直分速
6、度分别为u和v，当炮弹到达最高点时，其内部的炸药产生能量E，使炸药分成 及 两部分.开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时相隔的距离?,解：炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度u.爆炸后， 和 分别具有水平速度 .由动能定理可得,由动量守恒（x方向）可得,19,由、式可求得（舍去不合题意的一个解）,故 落地时相隔的距离为,由最高点落下的时间为：,20, 保守力做功与势能,一、几种常见的力作功,1、重力作功,重力作功只与质点的初终两处的高度差有关，而与所经过的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。,x,21,于是,2、万有引力作功,如图，M不动，m由a经任一路径到b，在平面极坐标系中,a,
7、引力作功只取决于质点的初终位置，与路径具体形迹无关。以力心为原点，质点运动由近至远，引力做负功；反之做正功。,22,在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定，而与形变的过程无关。弹簧形变程度加强，弹性力做负功，反之做正功。,23,保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。反之称为非保守力,二、保守力与非保守力,分析三种力作功的特点,保守力作功特点的数学描述：,物体沿不同路径从a 到 b，保守力作功,24,保守力沿任意闭合路径作功为零。,沿闭合路径运动一周，保守力作功,非保守力分类： 称为耗散力（如滑动摩擦力）， 将机械能转化为热能. （如爆炸力），将其他形态的能 （如化学
8、能、电磁能）转化为机械能.,25,三、势 能,将等式两边同一时空点的量合并一起，出现了令人兴奋的方程,1。势能概念,26,保守力场 势能的普遍定义式是,即保守力场中，某点的势能等于将质点由该处沿任意路径迁移到某一参考位置，保守力所做的功。,27,(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择.,(3)势能既然与质点系各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。,说明：,(4)从现代物理学的观点来看，势能是比力更为基本的概念，可以认为它表示质点间的相互作用，或更一般意义上的粒子之间的相
9、互作用。,(1)势能总是与保守力相联系。当质点间存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。,28,引力势能,弹性势能,即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。,重力势能,2 三种势能：,保守力作功可用势能差表示：,势能零点在地面,势能零点在无穷远,势能零点在自然端点,29,3 势能曲线,当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数。,势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图:, 势能曲线的用途： 求平衡位置及判断平衡的稳定性., 由势能曲线求保守力.（力是矢量，而势能是标量，一 般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）,30,保守力与势能的关系：,31,一、质点系的功能原理, 机械能守恒定律
10、,根据质点系动能定理,32,二、机械能守恒定律,当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。,当,根据功能原理：,即,33,几点说明,（1）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不同，它不消耗体系的机械能。,(3)可以说，机械能守恒及其条件的确立，在物理学中开创了关于不同形式能量之间的转换与守恒新天地，从而在更大的范畴中确立了能量的转换与守恒规律。,(2)尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒定律都
11、可应用，但力所做的功、体系的动能和机械能的数值在不同的参考系中并不相同。而且，一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系机械能未必守恒。,34,三、柯尼希（Konig）定理,对孤立质点系，在质心系里，体系的动量恒为零，质心系是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用.但相对质心系和其它惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地说，外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。,相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和,设 为质点系的质心速度， 为笫i个质点相对质心系的速度，则有,代入上式得,35,其中笫三项中,于是,36,四、三种宇宙速度,笫一宇宙速度人造卫星,笫二
12、宇宙速度人造行星（太阳系）,飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度.,飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星.,分别考虑r处和无穷远处的机械能,37,应当满足机械能守恒，即 ，于是,取其等于零，得笫二宇宙速度,笫三宇宙速度人造行星(银河系),飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星.,根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度,38,其中太阳质量 （地球质量） ，日地平均距离 （地球半径），故,这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕太阳的公转速度 ，两者相减,这是地球参考系看来，飞行器
13、冲出地球引力范围时，应有的速度.再追溯到地面附近h高度，发射速度 应当满足机械能守恒，即,39,注意到 ，故,最后得出笫三宇宙速度,综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度： 当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行； 当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行； 当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.,40, 两体碰撞,所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的现象.碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用.,一、正碰对心碰撞（一维碰撞）,说明： e=0 完全非弹性碰撞 0e1 非弹性碰撞 e=1 完全弹性碰撞,碰撞前两球速度均沿两球中心连线.满足： 动量守恒
14、定律,41,当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得,讨论：,碰撞过程中损失的动能为,由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒； 对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大.,42, 质心系中的正碰撞,上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞.而在质心系（c系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零，故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰.,在L系中，质心速度为,在c系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和 则,由这两方程可得,43,在c系中，碰撞损失的动能为,思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?,提示：,44,如图，取 的方向为x轴，则上面笫一式化为,在完全弹性碰撞中，动量和
15、能量都守恒，有,式中 称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中心在y方向上的距离b有关.b称为瞄准距离.b=0时即为正碰.,通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才能求出其余三个未知数.,45,例题4.7 如图，质量为M的物块A在离平板为h的高度处自由下落.落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量.,解：本题可分为三个物理过程,物块A下落,物块A与平板B发生碰撞,A,B,46,弹簧被最大压缩时,如图，取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点0.则平板B放上后位移为 ，物块A碰撞后位移为 ，则,根据机械守恒式，得,而,h,A,B,47,将、式代入式，整理后得,因 ，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为,解之得,48,本章基本要求, 掌握功的定义及变力做功的计算方法. 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用. 掌握保守力和由之定义的势能的概念.掌握重力势能、 万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意 势能零点的选择. 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决 一些问题. 初步掌握质心系的特征，理解柯尼希定理及应用. 掌握两体碰撞的基本规律及应用.,
