概率论与数理统计课后习题参考答案.doc

1、1习题 11、 （1）同时掷两枚骰子，记录点数之和 ；2,3S（2）生产产品知道得到 5 件正品，记录生产产品的总件数 ；5,6S（3）单位圆任取一点，记录它的坐标 ；2(,)1xyxRy（4）将单位长线段分 3 段，观察各段长度 。,0,Szz2、 （1）A 与 B 都发生，C 不发生： ；（2）ABC 至少一个发生： ； ABCABC（3）ABC 不多于一个发生： 。3、对事件 ABC，已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求 ABC 至少发生一个的概率？解：依题可知， ，则所求的概率为()0PABC()()()()()PABPCBPA

2、C1153484、将 10 本书任意地放在书架上，其中有一套 4 卷成套的书，求概率？解：设事件 表示“成套的书放在一起” ， 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”A，由概率的古典定义可得所求的概率为（1）成套的书放在一起： 7!1()03P（2）成套的书案卷次顺序排好放在一起： 7!1()02B5、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子不能配成一双的概率是多少？解：设事件 表示“取出的 4 只鞋子不能配成一双” ，由概率的古典定义可得所求的概A率为 451028()CP6、在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面 4 个数全不相同的概率？解：设事件 表示“电话号码的后面 4 个

3、数全不相同” ，由概率的古典定义可得所求的A概率为 410().5P7、已知 P(非 A)=0、3，P(B)=0、4，P(A 非 B)=1/2，求 P(B|AU 非 B)？2解：依题可知， ， ，而()1()0.7PA()1()0.6PB5().B则 ， ，故所求的概率为2()1()7B()0.2A()()PPBA(0.2.5)76A8、设 AB 是随机事件，P(A)=0 、7，P(A-B)=0 、3，求 P（非(AB) ）？解：由 ，得()()PABPB()()0.73.4AB故 10.6A9、半圆内均匀的投掷一随机点 Q，试求事件 A=Q 与坐标原点的连线与横坐标轴的夹角小于 /4的概率？

4、解：事件 所对应的区域 如下图所示，AD由概率的几何定义得所求的概率为21()24mPAS10、10 个人中有一对夫妇，随意的坐在一张圆桌周围，问这对夫妇正好坐在一起的概率？解：设事件 表示“这对夫妇正好坐在一起” ， 则由概率的古典定义可得所求的概率为A(91)!20P11、已知 10 只晶体管中有 2 只是次品，在其中任取两只，每次随机取一只作不放回抽取解：设事件 表示“两只都是正品” ， 表示“两只都是次品” ， 表示“一只是正品，ABC一只是次品” ， 表示“第二次取出的是次品” ， 由概率的古典定义可得所求的概率为D（1）两只都是正品 （2）两只都是次品2810()45P 210()

5、45APB（3）一直是正品，一只是次品1128206()45CA（4）第二次取出的是次品1290()PDxyOyxD4312、某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为 p，如果第一次不及格，第二次及格概率为 p/2。解：设事件 、 分别表示“第一次、第二次考试及格” ，依题可知， ，AB ()PAp， ，则所求的概率为（1）求两次考试都及格的概率()Pp()2（2）求第二次及格的概率p()()()()BAPBAPBA(1)()2p（3）求至少一次及格 2(1)(3)()()()ppP（4）已知第二次及格，求第一次及格的概率2()(1)(

6、PABp14、解：设事件 表示“第 封信放入相应的第 个信封” ， ，则iAii(,2)in1()!()inP，21!()ij n()ij，13!()()2ijkPAn()ijk12()!n（1） 1212()()n nPAAPA 12111() )()ni ij ijk niijnijknPPA 23 1()()()2!nnnnCC1 201 1()()()!3!nnn kkk 或4（2）不妨设第 封信上所写的地址是该信封内装进的信的收12,ri 12()riin信人的地址，而其余 封信 未装进相应的信封内，n,rjj 12()nrjj则所求的概率为 1212 00()!1()()()()!

7、r nr nrnrkkiijjPAAC 13、甲乙丙 3 人各自独立的向同一目标射击，3 人命中的概率分别是 0、5, 0、6, 0、7，求目标被击中概率？解：设事件 分别表示“甲乙丙命中目标” ，事件 相互独立，且 ，ABCABC().5PA， 故()0.6P()0.7()1()1(0.5)617094PABCP15、设某家庭有 3 孩子，已知至少有一个女孩的条件下，求至少有一个男孩的概率？解：设事件 表示“这个家庭至少有一个女孩” ， 表示“这个家庭至少有一个男孩” ，则该随机试验的样本空间 S男 男 男 ， 女 男 男 ， 男 女 男 ， 男 男 女 ， 女 女 男 ， 女 男 女 ，

8、男 女 女 ， 女 女 女由缩减样本空间的方法可得所求的概率为 6()7PBA16、甲乙丙 3 工厂生产同一型号产品，产品分别占总产量的 25%，35%，40%，个唱产品的次品概率分别为 5%、4%、2%、今将 3 个厂生产的产品堆放在一起任抽取一件，求概率？解：设事件 ， ， 分别表示“取得的产品是甲、乙、丙工厂生产的” ， 表示“取1A23 B得的产品是次品” ，依题可知，事件 ， ， 构成一个完备事件组，且 ，1A23 1()25%PA， ， ， ， ，则2()35%P3()40()5%PB2()4PBA3（1）取得次品全概率公式 31()()25340.35iiiBA（2）取得次品是甲

9、厂生产的：由贝叶斯公式得 1113()()2%25() .0469i iiPBAP （3）取得产品不是丙厂就是甲厂 13113113 3()()()()25() 401APAPAP17、甲袋有 3 白球、7 红球、15 黑球；乙袋有 10 白球、6 红球、9 黑球。从两袋各取一个5球，求颜色相同的概率？解：设事件 ， ， 分别表示“从甲袋中取出白球、红球、黑球” ， 事件 ， ，1A23 1B2分别表示“从乙袋中取出白球、红球、黑球” ，依题可知， 与 相互独立3B iAj，故所求的概率为(,)ij123123)()()()PABPAPB076159207.125618、掷 2 个骰子，令 A

10、=第一个骰子出现 4 点，B= 两颗骰子点数之和为 7解：该随机试验的样本空间 ，且(,),SxyxZy且，(4,1),(3)4,56A (16)25(3,4),(52)6,1B（1）求 P(A)、 P(B)、P(AB)古典定义得 ， ，()3PAP3PAB（2）判断 A 与 B 是否相互独立 ，故事件 相互独立。()619、甲乙丙 3 人同时对飞机射击，3 人击中的概率分别为 0、4。0、5。0、7 飞机被一人击中并击落的概率为 0、2，被两人击中并击落概率为 0、6，三人都集中飞机，飞机必被击落。求飞机被击落的概率？解：设事件 分别表示“甲乙丙击中飞机” ， 表示“恰有 人击中飞机” ，

11、表示“飞机被击1A23 iBiC落” ，依题可知，事件 相互独立，事件 构成一个完备事件组，且 ，123123 1()0.4PA， ， ， ， ，而2()0.5P()0.7()0.PC2()0.6P3B1123123123BAA.4(.)(.)(.4)5(.7)(1.4)(.5)07.62123123123)PP0.5(0.7)(0.)(0.).13123()44BA由全概率公式得所求的概率为 31()().362.406.458iiiPCB622、在 4 次独立实验中，事件 A 至少出现一次的概率为 0、59，求一次实验 A 发生的概率？解：这是一个 重贝努利试验，其中 ，设 ，则事件 至少

12、出现一次的概率为n4n()Pp即 ，解得 。441()(0)1(0.59kP4(1)0.0.2p1、一批晶体管 9 合格，3 次品。任取一只放在电子设备上，次品不再放回，求在取得合格之前取得次品的分布律？解：设 表示“取得合格品前取得的次品数” ，依题可知， 可取 ，X X0,123， ， ，930124P39124PX90P，则 的分布律为0123P349012、求常数 C解：由于 ，则有 ，解得31kX28313972CC27384、解：设 表示“100 个粒子中穿透屏蔽的粒子数” ，依题可知， ，其中(,)XBnp， ，则 的分布律为 ，0n.p1010.9kkPX，故概率为,12,k0

13、 101012 0.9.9.264kPXC3、袋中 5 白 3 黑任取一只，如是黑不放回并放 1 白进袋，再从袋中取一只，直到取到白球为止。求直到取到白球的取球次数分布律？依题可知， 可取 ，而 ， ，X1,2458PX369282PX， ，则 的分布律为37856P3145X1247P58932156325、7 个顾问，每人的正确性是 0、6。求做出正确决策的概率？解：设 表示“7 个顾问中贡献正确意见的人数” ，依题可知， ，其中 ，X (,)XBnp7，则 的分布律为 ， ，故作出正确决0.6p77.04kkPXC,127策的概率为 7 7744.60.6kkk9、f（x）=Ax2，0=

14、x=1解：（1）由于 ，则有 ，解得()1fxd 123100()Afxdx.3A（2）当 时， 的分布函数 ；0xX()F当 时， 的分布函数 ；1 2300()xxxftdt当 时， 的分布函数 .x 11()故 的分布函数X30,;()1,.xF（3） 0.70.7230.71110.1.() 42PXfxdx10、f（x）=cx , 2-x/2 , 0解：（1）由于 ，则有()f 2342340303 18(2)()xcxcfxdcd 解得 . （2）16c62232(PXfdd11、F（x）= 1-(1+x)e 的（-x）幂，0解：（1） 的概率密度X,0;().xefxF（2） 1

15、20.64Pe（3） 333()0.19e814、F（x）=0，lnx ，1 解：（1） 2(2)lnPXF（2） 555()ln2l4X（3） 的概率密度X1,;().0xefxF其 他15、连续随机变量分布函数 f（x）=k/(1-x2),0解：（1）由于 ，则有()1fd 1021arcsin2kfxxxk解得 .1k（2）11 22 02arcsin63PXdxx（3）当 时， 的分布函数 ；x()F当 时， 的分布函数1 121()()arcsinarcsin2xx xFftddt x当 时， 的分布函数 .1X21()()xFftdx故 的分布函数 0,;1()arcsin,12,

16、.xFx16、X(3,2 平方) 解：（1）由 ，得PXC查表得33()0.522PXC302C（2）由 ，得9332()0.672XCPXCP查表得 ，则 .30.423821、解：列表如下 X212Y44P0.1.30.2.故 的分布律为2YXY14P0.5.22、X 在（0,1）上均匀分布，求密度函数 解：依题 的概率密度X1,0;().Xxfx其 他（1）Y=3X+1的分布函数Y1()31()3Y XyyFyPyyPF则 的概率密度 1,;,03;011()()()3.3YXXyyyyfyf 其 他其 他（2）Z=lnX的分布函数Z()ln()zzZ XFzPzzPeF则 的概率密度Y

17、 ,;,0;10()()().zzzzzZXXfFefe 其 他（3）W=ex 幂 当 时， 的分布函数 ；0wWWw当 时， 的分布函数 则 的概0w() ln(l)XXPePFwY率密度1011,0ln;,;1()()(ln)(ln).0WXXwefwFwf其 他 其 他习题 41、随机变量 X 的分布律解：（1） 111()023623E（2） ()（3） 222225()1()14X2、XB(n,p)，E(X)=12 ，D(X)=8 求 n，p解：由于 ，解得 ， .()1)8EnpD363、P(X=k)=1/5，k=12345解：（1） 111()245(2345)35X（2） ，而2 213)E2()()7EX4、X 是贝努利实验的事件 A 出现的次数，P(A)=p解：依题可知， 的分布律为 ， ，其中 ，knPCpq(0,12,)n 1pq记 ， ，显然10kPYXk偶 数 kYPk奇 数（1）1200()1nnknnk pqp（2）1200()(1)()()nnkknknnkkPPXCqp 由（1） 、 （2）式可得， ， ，故12np212nP()1()nEY7、f（x）=ax ，cx+b，0 E(X)=2,P(1X3)=3/4解： （1）()1fdx2402()()26fxdaxcbdxab