1、概率统计复习题基本概念题型1设 A，B 为随机事件， P(A)=0.8，P(A-B)=0.2 ，求 )(ABP2.设 A、B 为随机事件， ， ， ，求P (A)=0.5()0.6B=0.8P()3. 若 ，求 。1()PAB4设工厂 A 和工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属 A 生产的概率5设 X 和 Y 为两个随机变量，且 740,730, YPXYXP求 Pmax(X, Y)0。6.已知 XN(150,9),YN(100,16), 且 与 相互独立，设YZ=2X+Y,求 D(Z)。7 设
2、 DX=16，DY=1， XY=0.3，则 D（3X- 2Y） 。8设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，求。UV9.设容量 n = 10 的样本的观察值为（5，8，7，6，9，8，7，5，9，6） ，求样本均值和样本方差。10.设 是来自正态总体 的样本，令1234,X2(0,)N有 ，求 C。2()(),YCY11. 是来自总体 的一简单随机样本，设：1216, ）1(X，求 服从何种分布。22896ZX Z综合应用题型1. 设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为 0.3、0.2、0.5，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为
3、1/4,1/3,1/12。（1）求此人迟到的概率；（2）现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？解（1）设 此人迟到 B此人乘火车来 ， 此人乘轮船来 ，1A2A此人乘汽车来 3A)|()|()|()( 332211 ABpABpABpp ； 18.065.03.4.0（2） 1111 .()(|)94(|) 20PAB163.)(|)()|( 2222 PAB3333 0.5()(|)(|) 2PABB所以，若此人迟到，则他乘坐火车的可能性最大。 2. 设 K 在(0, 5)上服从均匀分布，求方程 4x2 + 4Kx + K + 2=0 有实根的概率。解依题意得 K 的分布函数为：
4、150)(xF,5,0,x又，方程 有实根的条件是：0242Kx()()即 12 解得 或 ，因 不在区间（0，5）上，故舍去，最1KK后得 。52因此，所求概率为. 225()15PKF6033.设随机变量（X，Y)的概率密度为.,0,),()43(其 它 yxKeyxfyx(1)确定常数 K；(2)求（X，Y）的分布函数；(3)求P0X1，0Y2。解：（1) 1),(dxyf而 0043)(12KdyexKyx则 .12,12K（2)（X，Y)的分布函数为当 x0, y0 时，；)1)(12),()( 430)43( yxxyyxxy ededfF 当 x， y 为其它情形时，F （x ，
5、y)=0. .00,),1)(),(43其 它eyx（3)P（0X1，0Y2)= F（1，2) -F（1，0) -F（0，2)+F（0，0)=（1- e-3）(1- e-8) 4. 设随机变量 的概率密度为X1,02,().axf其 它求（1）常数 ； （2） 的分布函数 ； （3）aX()Fx13.PX解：（1） 22001()()(fxdxda （2） 的分布函数为X0,0,()()(1),22,.xxxuFfudd2,0,41,.xx（3） . 3211.()()4xPXfdd5. 火箭返回地球的时候，落入一半径为 R 的圆形区域内，落入该区域任何地点都是等可能的，设该圆形区域的中心为坐
6、标原点，目标落入点(X,Y)的概率密度函数为： 221/,;(,)0.Rxyfxy求：（1）X 与 Y 的边缘概率密度；（2）X 与 Y 是否相互独立；（3）试求 E(XY)。解（1）当 时， Rx 2221)( xRdyxfxRX 所以 2,;()0Xf其 它 .类似可得 2,;()0YRyRfy其 它 .（2）因为 ，所以 不独立。 ),()(yxffxfYX YX,（3） 。 01,)222 dyxRdyfERx6.设 的概率密度为(,)Y0,(,).xyefy其 它求（1）边缘概率密度 ； （2） ；,XYf 1PXY（3） 的概率密度 .ZXY()Zfz解：（1） 0,()(,)0.
7、xfxfydey ,0,.xe,()(,)0.Y xyffdd0,.ye（2） 1201()(,)yxxyPXYfdxyed. 11220()ye（3） ()(,)Zfzfxzd,0,2, .exzfx其 它当 时 0()0Zfz时 zzyz=xx0z=2xx+y=1yy=xx022()zzxZfede所以20,().zZfe7.YX-1 0 1-1 8180 0 11试验证：X 与 Y 是不相关的，但 X 与 Y 并不独立。解： 由题得(X，Y)的边缘分布律各为X -1 0 1 Y -1 0 1pi. 83283p.j 83283 31 ,08312083)(.)(iipxXE31. ,)(
8、)(jjyYijijipxXE,0 0)()(),( YEXEYXCov ，即 X，Y 不相关；0又 pij pi.p.j，( i,j=1,2,3)故 X 与 Y 不独立。 8. 甲、乙两电影院在竞争 1000 名观众，假设每位观众在选择影院时是随机的，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 1%？（； ； ； ）(2.3)0.1(2.3)0.952.4103.6解 由于每位观众在选择甲、乙影院时是随机的，所以他选择甲影院的概率为 1/2；设 X 为选择甲影院的观众数，则Xb(1000，1/2) ；设甲影院至少应设 n 个座位，由题意：0.1PX由棣莫弗
9、-拉普拉斯中心极限定理，1N0N522X近 似 地 近 似 地（ ， ） ， 即 （ ， ）50.1250.9(.3)2.35.5036.814nPnXnn所 以所 以 ， 得所以甲影院至少应设 537 个座位。9. 以 X 表示某种清漆的干燥时间（以小时计） ，设 XN(,1)，今取得样本（容量 n=9）：6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0(1)求 的最大似然估计值；(2)求 的置信水平为 0.95 的置信区间。（已知 ）0.250.25(1.65)0.9,(1.6)97,(8)36,(9).6tt解 （1）设(x 1, x2,xn)是容量为 n 的样本(X 1, X2,Xn)的观察值，似然函数 2 21() ()21() ni ixxiLee 1lnln()()nii令 1dl()()0niiLx解得 的最大似然估计值为 1nix将所给数据带入即得 的最大似然估计值为 小时。6.0（2）当方差 已知，正态总体期望 的置信度为 的2 1置信区间为 22,Xzzn现在 ，20.510.95,.,.,196,.0,1nx 于是 的置信水平为 0.95 的置信区间为 (5.3467, 6.6533)。173 页第二题和第四题
