1、CvABr1v1(a) CvO(a)第 10 章 动能定理及其应用101 计算图示各系统的动能：1质 量 为 m， 半 径 为 r 的 均 质 圆 盘 在 其 自 身 平 面 内 作 平 面 运 动 。 在 图 示 位 置 时 ， 若 已 知 圆 盘 上A、 B 两 点 的 速 度 方 向 如 图 示 ， B 点 的 速 度 为 vB， = 45（图 a） 。2图 示 质 量 为 m1 的 均 质 杆 OA， 一 端 铰 接 在 质 量 为 m2 的 均 质 圆 盘 中 心 ， 另 一 端 放 在 水 平 面 上 ，圆 盘 在 地 面 上 作 纯 滚 动 ， 圆 心 速 度 为 v（图 b）
2、。3质 量 为 m 的 均 质 细 圆 环 半 径 为 R， 其 上 固 结 一 个 质 量 也 为 m 的 质 点 A。 细 圆 环 在 水 平 面 上作 纯 滚 动 ， 图 示 瞬 时 角 速 度 为 （图 c） 。解：1 22222 163)(1)(1BBBC mvrvmJvT 2 21221 4vr3 2)(RR102 图示滑块 A 重力为 ，可在滑道内滑动，与滑块 A 用铰链连接的是重力为 、长为 l 的匀1W2W质杆 AB。现已知道滑块沿滑道的速度为 ，杆 AB 的角速度为 。当杆与铅垂线的夹角为 时，试求系1v1统的动能。解：图（a）BAT)21(21CJvgv2112cos2)
3、lgWlvlgWcos3)( 121211 vl103 重力为 、半径为 的齿轮 II 与半径为 的固定内齿轮 I 相啮合。齿轮 II 通过匀质的PFrrR3曲柄 OC 带动而运动。曲柄的重力为 ，角速度为 ，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。Q解： COT222)1(1CrmvJ22P2P2Q )(4)(3 rgFgrgF习题 102 图习题 103 图A B vB vA C (a)vO A习题 101 图(b) (c)A)92(3PQFgr104 图 示 一 重 物 A 质 量 为 m1， 当 其 下 降 时 ， 借 一 无 重 且 不 可 伸 长 的 绳 索 使 滚 子 C 沿
4、 水 平轨 道 滚 动 而 不 滑 动 。 绳 索 跨 过 一 不 计 质 量 的 定 滑 轮 D 并 绕 在 滑 轮 B 上 。 滑 轮 B 的 半 径 为 R， 与 半径 为 r 的 滚 子 C 固 结 ， 两 者 总 质 量 为 m2， 其 对 O 轴 的 回 转 半 径 为 。 试 求 重 物 A 的 加 速 度 。解 ： 将 滚 子 C、 滑 轮 D、 物 块 A 所 组 成 的 刚 体 系 统 作 为 研 究 对 象 ， 系 统 具 有 理想 约 束 ， 由 动 能 定 理 建 立 系 统 的 运 动 与 主 动 力 之 间 的 关 系 。设 系 统 在 物 块 下 降 任 意 距
5、 离 s 时 的 动 能动 能 ： 22211CAJvmT其 中 ， ，rRvCrRAC2m22122221 )()(1)( AAvrRv 力 作 的 功 ： gsmW1应 用 动 能 定 理 ： gsmvrRA1221)(将 上 式 对 时 间 求 导 数 ： aA1221)(求 得 物 块 的 加 速 度 为 ： )()(221rmRgaA105 图 示 机 构 中 ， 均 质 杆 AB 长 为 l， 质 量 为 2m， 两 端 分 别 与 质 量 均 为 m 的 滑 块 铰 接 ， 两光 滑 直 槽 相 互 垂 直 。 设 弹 簧 刚 度 为 k， 且 当 = 0时 ， 弹 簧 为 原
6、长 。 若 机 构 在 = 60时 无 初 速 开始 运 动 ， 试 求 当 杆 AB 处 于 水 平 位 置 时 的 角 速 度 和 角 加 速 度 。解 ： 应 用 动 能 定 理 建 立 系 统 的 运 动 与 主 动 力 之 间 的 关 系 。动 能 ： 22121ABOJmvT其中： ； ；ABAlvsinlcos231l222653AB外力的功： )cos()60cos(2)sin60(i)sin0(i 22llklgglWT = W ； 265ABm （1）co142k当 时： 832l0；2ABlkglmlkgkglAB03356C B O D R r A 习题 104 图 A
7、 B k 习题 105 图O习题 106 图对式（1）求导： ；ABml235 sin)co1(2coslkgl其中： ；当 时：AB056106 图 a 与图 b 分别为圆盘与圆环，二者质量均为 m，半径均为 r，均置于距地面为 h 的斜面上，斜面倾角为 ，盘与环都从时间 开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？t解：对图（a）应用动能定理： ；求导后有sin4321mgvCsin321gaC设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离 d，则 ；21ti1d对图（b）应用动能定理： ；求导后有sin2gvC sn2gaC；21tadCi42a因为 t1 t2，所以圆盘（a）先到达地面
8、。107 两匀质杆 AC 和 BC 质量均为 m，长度均为 l，在 C 点由光滑铰链相连接，A、B 端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链 C 落到地面时的速度。解：设铰链 C 刚与地面相碰时速度 。根据运v动学分析 点及 点分别为 及 杆的速度瞬心，BAB如图（a） lvCAB动能定理： 02312mlhgvh108 质量为 15kg 的细杆可绕轴转动，杆端 A 连接刚度系数为 k=50N/m 的弹簧。弹簧另一端固结于 B 点，弹簧原长 1.5m。试求杆从水平位置以初角速度 =0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。0解： ， 201)3(mlT2
9、)31(mlT5.5.2 kgW习题 107 图习题 108 图ACACBCv(a)O B A r 习题 109 图A C O R r B 习题 1010 图ko60AOBAgm22(a)73(2kmg1WT)()(60kl202)73(63mlgrad/s93.115)(8.92109 在 图 示 机 构 中 ， 已 知 ： 均 质 圆 盘 的 质 量 为 m 、 半 径 为 r， 可 沿 水 平 面 作 纯 滚 动 。 刚 性系 数 为 k 的 弹 簧 一 端 固 定 于 B， 另 一 端 与 圆 盘 中 心 O 相 连 。 运 动 开 始 时 ， 弹 簧 处 于 原 长 ， 此 时 圆
10、盘角 速 度 为 ， 试 求 ： （ 1） 圆 盘 向 右 运 动 到 达 最 右 位 置 时 ，弹 簧 的 伸 长 量 ； （ 2） 圆 盘 到 达 最 右 位 置 时 的 角 加 速 度 及圆 盘 与 水 平 面 间 的 摩 擦 力 。解：（1）设圆 盘 到 达 最 右 位 置 时 ， 弹 簧 的 伸 长量 为 ， 则 ； 02T；2143mrT212kW； ；22Wkrk3（ 2） 如 图 （ a） ： ；rFJOArJ；23kmrk32；AF216r1010 在 图 示 机 构 中 ， 鼓 轮 B 质 量 为 m， 内 、 外 半 径 分 别 为 r 和 R， 对 转 轴 O 的 回
11、转 半 径 为， 其 上 绕 有 细 绳 ， 一 端 吊 一 质 量 为 m 的 物 块 A， 另 一 端 与 质 量 为 M、 半 径 为 r 的 均 质 圆 轮 C 相连 ， 斜 面 倾 角 为 ， 绳 的 倾 斜 段 与 斜 面 平 行 。 试 求 ： （ 1） 鼓 轮 的 角 加 速 度 ； （ 2） 斜 面 的 摩 擦 力及 连 接 物 块 A 的 绳 子 的 张 力 （ 表 示 为 的 函 数 ） 。解：（1）应用动能定理：T = W 22221COJMvJmv其中： ； ； ； ；ARCrO21JC222)(1rT设物块 A 上升距离 sA 时： ACmgssin对动能定理的表达
12、式求导： OvMvrRmi23)(2OFOFAFN（a）mgCFCFFN（a）Mg mgFT（b）aA习题 1012 图.rOsvg1mBkAd2(a)223)(sinMrRmgCO（2）如图（a）： ；FJC1如图（b）： ；T)(TRg1011 匀质圆盘的质量为 、半径为 r，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴 O 转1m动，以起吊重物 A，如图所示。若重物 A 的质量为 ；弹簧刚度系数为 k。试求系统的固有频率。2解：设弹簧上 OB 位于铅垂位置时为原长，则动能212)(1rvvT12)4v22 skdgmdskgW2212)4( srvm：tdvkdga)(2sr212)(g
13、mkdsm22121212)(rs)(122nkd21nmr1012 图示圆盘质量为 m、半径为 r，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为 。试求系统作微振动的固有频率。0k解：设静止时弹簧的原长，则动能 2020)(1rvvT2043弹力功： xkW2043mv： td0kxa20v34xmkn1013 测量机器功率的功率计，由胶带 ACDB 和一杠杆 BOF 组成，习题 1011 图习题 1013 图AOyFxB1T2Fgm(b)1T2TMExEyDCn(a)如图所示。胶带具有铅垂的两段 AC 和 DB，并套住受试验机器和滑轮 E 的下半部，杠杆则以刀
14、口搁在支点 O 上，借升高或降低支点 ，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在 处挂一重锤 ，杠杆 即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量 m=3kg， 500mm，试求发BF动机的转速 n=240r/min 时发动机的功率。解：设发动机的角速度为 。则（rad/s）86024又 ，发动机作等速转动。cost滑轮 E 的角加速度 。滑轮 E 受力分析如图（a ） 。由 0M得 )(21RT（1）取杠杆为研究对象，受力如图（b） 。由 得0O)(21Tmgl（2）R且 ， （3）12综合（1） 、 （2） 、 （3）可得：glM 发动机的功率 850.93mlP=0.
15、369(kW)1014 在 图 示 机 构 中 ， 物 体 A 质 量 为 m1， 放 在 光 滑 水 平 面 上 。 均 质 圆 盘 C、 B 质 量 均 为 m，半 径 均 为 R， 物 块 D 质 量 为 m2。 不 计 绳 的 质 量 ， 设 绳 与 滑 轮 之 间 无 相 对 滑 动 ， 绳 的 AE 段 与 水 平面 平 行 ， 系 统 由 静 止 开 始 释 放 。 试 求 物 体 D 的 加 速 度 以 及 BC 段 绳 的 张 力 。解：（1）设物 块 D下 降 距 离 s 时 ， 速 度 为 vD， 则 系 统 动 能 为 ：212221)( ABCJvT其中： ； ； ；
16、RCBARC21212 )47()4(1 DDvmvmm重力的功为： ；gsW(2应用动能定理 并求导：TDav)427(21 Dv)(2218maD（2）如图（a） ，应用相对速度瞬心的动量矩定理：；其中：RFgRJBCO)(2 23RmJO)43(2FBC 2187)(gC B A D E 习题 1014 图 C（a）m2gmgFBCaDDFTOC B A D K E H 习题 1015 图习题 1016 图 CROAgmTFBRgCvah(a)287(2)(3()(12212 mggm1871015 图 示 机 构 中 ， 物 块 A、 B 质 量 均 为 m， 均 质 圆 盘 C、 D
17、 质 量 均 为 2m， 半 径 均 为 R。 C 轮铰 接 于 长 为 3R 的 无 重 悬 臂 梁 CK 上 ， D 为 动 滑 轮 ， 绳 与 轮 之 间 无 相 对 滑 动 。 系 统 由 静 止 开 始 运 动 ，试 求 （ 1） 物 块 A 上 升 的 加 速 度 ； （ 2） HE 段 绳 的 张 力 ； （ 3） 固 定 端 K 处 的 约 束 力 。解：（1）设物 块 A 上 升 距 离 s 时 ， 速 度 为 vA， 则 系 统 动 能 为 ：22211)( CDJvmT其中： ； ； ；RACAAvRD223)42(1m重力的功为： ；gssgmW1应用动能定理 并求导：
18、 ；TAAvav23a61（2）如图（a） ，应用动量矩定理： RmFJHEC)(其中： 221mRJCgFAHE34应用动量定理： ；HECFagC5.4（3）如图（b） ，应用平衡方程： 0Kx； ；0y0Kyy.； ；)(M3RCmRM.131016 两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为 m，半径均为 R，用绳缠绕连接，如图所示。如系统由静止开始运动，试求动滑轮质心 C 的速度 v 与下降距离 h 的关系，并确定 AB 段绳子的张力。解：1、先对 O、C 轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：对 O 轮： （1）RFJT对 C 轮： （2）C， T由（1） 、 （2）： CO（3）2、再对整体用动能定理 122WT（4）mghvJCCO2（动系为绳 AB）revC（5）RO（3） 、 （5）代入（4）得：C（a）mg2mg FHEaA DFCC（b）MKFKx KFCFKy（6）mghR251051（6）式两边对 t 求导： CgvR25（5）代入，得：（5）式对 t 求导，得： 542gRaC轮心、质心运动定理： TFm绳中张力： gF51T
