1、大学数学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是_.3 方程 的基本解组是_.0y4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程 的常数解是_.21dx6 方程 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_0)()(xqtpt7 若 4(t)是线性方程组 的基解矩阵, 则此方程组的任一解 4(t)=_.XA8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的 2 倍,则此曲线方程为_.9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为
2、_.11 一阶线性方程 有积分因子( ).)(xqyp12 求解方程 的解是( ).dx/13 已知( 为恰当方程,则 =_.0)322dyxya a14 , , 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).0)(2yxd1:R15 方程 的通解是( ).0652ydx16 方程 的阶数为_.534y17 若向量函数 在区间 D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式 w (x)();(321 xxn=_.18 若 P(X)是方程组 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为 _.)(Ady19方程 所有常数解是_011)(22yxx20方程 的基本解组是_04y21方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是
3、_1dx22函数组 在区间 I 上线性无关的_条件是它们的朗斯基行)(,)(,21xn列式在区间 I 上不恒等于零23若 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们_共同)(),(21xy零点二 单项选择:1 方程 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).yxd31(A)上半平面 (B) 平面 (C)下半平面 (D)除 y 轴外的全平面o2 方程 ( ) 奇解.1x(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程 的解的函数是( ).0y(A) (B) (C) (D)1yxxsinxey4 方程 的一个特解 形如( ).ex *y(A) (B) (C
4、) (D)bax bxacbxaecbxae5 连续可微是保证方程 解存在且唯一的( ) 条件)(yf yfd（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个 2 维线性空间 (B)构成一个 3 维线性空间(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程 过点(0,0)有( ).3ydx(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 x , 在区间, 上的解是( ).101)0( t(A) (B) teut)( (C) (D) tut)( etut)( eut)(9 方程 是
5、( ).0cos2xydx(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程 的通解是( ).032dxy(A) (B) (C) (D)eC21 xeC321xe321xeC3211 方程 的一个基本解组是( ).042ydxy(A) (B) (C) (D)e2,xe2,1xe2,xe2,12 若 y1 和 y2 是方程 的两个解,则 （e 1,e2 为任意常数）0)()(yqdpy 21yy(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解13 方程 过点(0,0)的解为 ,此解存在 ( ).21ydxxysi
6、n(A) (B) (C) (D),(0,()02,14 方程 是( ) .xey23(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程 的通解是( ).01xd(A) (B) (C) (D)cycycxy1cxy16 在下列函数中是微分方程 的解的函数是( ).(A) (B) (C) (D)1yxyysinxey17 方程 的一个数解 形如( ).e x(A) (B) (C) (D)baxbaxcbaecbxae18 初值问题 在区间 上的解是( ).10 1)(; t(A) (B) (C) (D) tut)( teutt)( tteu)( tte
7、u)(19方程 的奇解是（ ） yxd（A） （ B） （C） （D）1y1y0y20. 方程 过点 共有（ ）个解21dyx),(（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三21 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个n（A） （B） -1 （C） +1 （D） +2nnnn22一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解23如果 ， 都在 平面上连续，那么方程 的任一解的存在区间（ ),(yxff),(xoy),(dyxf） （A）必为 （B）必为
8、（C）必为 （D）将因),(),0()0,(解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1) (2) (3) (4) (5)nydxxydx215xyd0)(22dyxd3)(22 求方程的解 0)4()5(xt3 解方程: 并求出满足初始条件: 当 x=0 时,y=2 的特解ydcos24 求方程: xtg5 求方程: 的通解26y6 求 的通解.0)4()3( 32dydx7 求解方程: 24xtt8 求方程: 的解0145dttx9 求方程 的通解2y10 求下列方程组的通解 xdtytsin111 求初值问题 的解的存在区间并求出第二次近似解0)1(yx1:xRy12 求
9、方程的通解(1) (2) (3) (三种方法) (4)2yxdxydxtan04()3(2dyxxy045413 计算方程 的通解xy2sin314 计算方程 tdttxcos4215 求下列常系数线性微分方程: xey210216 试求 x 的基解矩阵02117 试求矩阵 的特征值和对应的特征向量.1A418 试求矩阵 的特征值和特征向量5319 解方程组 12y21y20求下列方程组的通解yxt43d四 名词解释1 微分方程 2 常微分方程、偏微分方程 3 变量分离方程 4 伯努利方程 5 条件 6 线性相关Lipschtz五 证明题1 在方程 中已知 p(x);q(x)在 上连续0)(
10、yxqpy );(求证:该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切.2 设 x1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()(111 tfxtGdtxtxnnn )()()(211 tfttt nnn证明：x 1(t)+x2(t)是方程 的解。)()()( 2111 tftxtGdtxtxnnn 3 设 f (x)在0；+ 上连续且 f (x)=0 求证：方程 的一切解 y(x)；limfyd均有 y (x)=0li4 在方程 中 p(x)、q(x)在（ ）上连续；求证：若 p(x)恒不为零；则该方程0)( yxqp,的任一基本解组的朗斯基行列式 w（x）是（ ）上的严格单调函数
11、。5 证明：x 1(t)+x2(t)是方程 的解。)()(211 tfxadtcetnnn 6 证明：函数组 （其中当 时 ）在任意区间（a ,b）上线性无关。xxn21, jiji7在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 求证：对任意)(dyfx)(yfx),(0)1(和 ，满足初值条件 的解 的存在区间必为 01y0x),8在方程 中，已知 ， 在 上连续求证：该方程的任一非)(yqxp(xpq),(零解在 平面上不能与 x 轴相切o练习题答案一 填空题:1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 开5、 1y6、 dtx7、 ,c 为常数列向量ct)
12、(x8、 y=x2+c9、 初始10、常微分方程11、e p(x)dx12、x 2+y2=c ; c 为任意正常数13、/14、 1;15、 2615pycx16、417、018、 ；其中 c 是确定的 n 维常数列向量x)(19 1,y20 x2cosin21 ， （或不含 x 轴的上半平面）0),(yRD22充分 23没有 二 单项选择1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 19D 20B 21A 22.C 23D三 求下列方程的解1 (1）解：当 时，分离变量取不定积
13、分，得1,0yCdxn通积分为 1ny= Cex（2）解：令 y= xu , 则 代入原方程，得,duy21dxu分离变量，取不定积分，得（ ）nCxu12 0通积分为： nCxy1arcsi（3） 解： 方程两端同乘以 y-5,得d45令 y -4= z ，则 代入上式，得,-5dxzx41通解为 41Cez原方程通解为 4xy（4） 解： 因为 ， 所以原方程是全微分方程。NM2取（x 0,y0）=（0，0）原方程的通积分为xyCd02即 321（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c32 解：设 则方程化为 ，积分后得 y = ct 即dtxy0tdx ctdx于是
14、x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5 为任意常数= )()()()(t()2 111ntxGtGttxGnnnn = f1(t) + f2(t)故 x1(t)+x2(t)为方程 =f1(t)+f2 (t)的解。)()()(11 txGdtxGdtxnnn 3 解： 将变量分离，得到xycos2两边积分，即得 in1因而，通解为cxysin这里 c 是任意常数。以 x=0 , y=1 代入通解中以决定任意常数 c，得到 c = -1因而，所求特解为 xysin14 解：以 及 udx 代入，则原方程变为uxytg即 xtud将上式分离
15、变量,即有 ctg两边积分,得到 cxnusi这里 是任意函数,整理后,得到ceci令 ,得到 sinu = cxe5 解: 令 z = y-1 得 dxyz2代入原方程得到z6这是线性方程,求得它的通解为826xcz代回原来的变量 y , 得到126xcy这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。6 解： 这里 M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，这时xyNy1.因此方程是恰当方程。现在求 u ，使它同时满足如下两个方程263x3246yxyu由（1）对 x 积分，得到 )(23y为了确定 ，将（3）对 y 求导数，并使它满足（2） ，即得)(y32246)(6yxd
16、yxyu于是 = 4y4y)(积分后可得 =y4 )(将 代入（3） ，得到 )(yu = x3 + 3x2y2 + y4因此，方程的通解为x3 + 3x2y2 + y4=c这里 c 是任意常数7 解： 特征方程 即特征根 i 是重根，因此方程有四个实值解 cost、tcost 、sint 0124、tsint故通解为 x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中 c1 ; c2 ; c3 ; c4 为任意常数8 解： 令 则方程化为：ydt4 0ytd积分后得 y=ct 即 于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5ctx4其中 c1 ; c2 c5 为任意常数 ，这就是原方程的通解。9 解 对应齐次方程的特征方程为 ，052特征根为 ,021齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x因为 a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x)=x（Ax 2 + Bx + C）代入原方程，比较系数确定出
