1、 学号： 0901114152导数在不等式证明中的应用学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 09 级应数一班 姓 名： 张亚宾 指导教师： 李静 2013 年 4 月导数在不等式证明中的应用河南师范大学本科毕业论文河南师范大学本科毕业论文2摘 要 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解，本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了
2、各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路.使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题，寻找一些规律，这对以后的教学研究会有很大的帮助。关键词 导数; 不等式; 证明; 函数;单调性；拉格朗日中值定理The application of derivate in the inequality provingAbstract The proof of inequality is one of the important contents of the mathematics learning. The commonly used methods are compa
3、rison, analysis, synthesis method, inductive method and special inequality method. As the basic content of derivative of calculus, use it to prove inequality is a kind of effective method. It make the proof of inequalities is more easier.，This paper discusses the use of Lagrange mean value theorem,
4、the monotonicity of functions, extremum, power series expansion, concave and convex inequality proof of specific methods, such as, the applicability of various methods is given and proved steps, summarizes the application of various methods to prove the basic train of thought.By using those methods,
5、 some inequality proof questions can be proved quickly and compactly and find some skills.It is of great help to future teaching research.Keywords derivate ; inequality; proof; function; Monotonicity; Lagrange mean value theorem 前 言导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研
6、究函数、解决实际问题的有力工具。它包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有：Rolle 定理、lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证明不等式最主河南师范大学本科毕业论文3要的是要先构建一个函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。1 利用
7、函数单调性证明不等式该方法使用于某区间 上成立的函数不等式,一般地,证明区间 上的不等式I I时 ,可以选择 作为辅助函数.对 求导，判断 是大于()fxg()()Fxfgx()Fx()Fx或小于 ,判定 的单调性,从而证明不等式.0定理 1.1 设函数 在区间 上可导,则 在 上递增（递减）的充要条件1 )(xfI)(xfI是 ,()()0fxfx1.2 若 在 上单调增加，则 ，反之亦然bafafxfb1.3 若 在 上单调递减，则 ，反之亦然.xf, ba例1. 已知 ，求证 .0)1ln(x证： 构造函数 ，容易看出 在区间 上可导，,0xFxF,0且 ，由于 可得)(limxFx 1
8、xf当 时， ，,00所以 在 上是增函数，x,所以 ，F所以 0)1ln(x所以当 ，求证 .)1ln(x例 2. 设 ,证明不等式 成立.0x )1(2)l(2x证明 令 ,显然 当 时,有)1ln()xf.0f11(2 xxf从而 在 内严格递增,又 在 处连续,所以,当 时,)(xf)0)f00.)(f河南师范大学本科毕业论文4即 （1）.2)1ln(x设 ,则 时,)(2)l()xxg00)1(2)1(21 xxg所以 在 内递减,又 在 处连续,故 时,有)(xg)0)(x0)(g即 （2）)1(2ln由（1） 、 （2）可知,当 时,有0x.)1(2)ln(2xx注 当要证明的不
9、等式两端是给定的两个表达式，或者不等式一端或两端含 ，且xf知道 （或 ）时，构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的，为0xf0xf此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形，则需要用函数的单调性区证明。利用函数的单调性证明不等式最主要的是构造辅助函数，构造辅助函数有以下几种方法 ：5（1）用不等式的两边“求差”构造辅助函数.（2）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数.（3）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.（4）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.2 利用微分中值定理证明不等式 9若函数 含有一二阶导数，而要
10、证的不等式的两端含有 的函数值，特别是xf xf的表达式不知道时，或不等式中含有 的导数时，常用 lagrange中值定理去证明xf xf。8定理 2 （拉格朗日中值定理） 若函数 满足以下条件： )(xf河南师范大学本科毕业论文5在闭区间 上连续；)1(xf,ba在闭区间 内可导；2则在 内至少存在一点 ，使),(ba.abff)()(在拉格朗日公式中由于 是 内的一个点，故可以表示成 的形ba, )10)(ab式，于是定理的结论就可以改为在 中至少存在一个 值，使)10(.abfaf例3. 证明对一切 成立不等式,hh)1ln(证 设 ，则xf， ，h1l)l()1ln( 10当 时，由
11、可推知0h， .h1当 时，由 可推得110，.hh从而得到所要证明的不等式.例 4. 设 为非线性函数,在 上连续,在 内可导,证明: 使)(xf ba)(ba),(ba.ff)(证明 引入辅助函数 )()()( axbfafxF由于 非线性, ,故 ,使得 ,而 .)(xf0)(xFbc0)(c0bF设 ,（ 类似可证）,在 与 上分别使用拉格朗日中值定理,得c,ab河南师范大学本科毕业论文6),(,0)()( 11 caacFF ,22 bb即 ).()(xFafxf 所以 .)(22fbff 令 ,)(max)(21fff 故 .bff)(由上可知：当所要证明的不等式与朗格朗日公式 在
12、形式上相)()(abfabf似、但不完全相同时，则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下：(1) 分析不等式的具体特点，构造一个函数 ， 。这是证明的关键一步。xf,(2) 判断函数 在区间 上是否符合拉格朗日定理的两个条件；若满足，得出结xfba,果： 。)()(abf(3) 根据欲证不等式的特点，利用 及 的性质，将上式进行适当变形，使不xff等式得以证明。注意 一般地,若函数满足拉格朗日中值定理的条件,则有不等式,它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函1min()()max()xffff 数的不等式的主要思想.定理3 柯西中值定理：函数 ， 在闭区间 上连续；在开区间2 xfgba,内
13、可导；在 内每一点处 ， ，则在 内至少存在一点ba,ba, 0)(xg),(ba，使得 .)()()(fgf例5. 设 都是可导函数，且 ，证明：当 时，、gxf xgf ax河南师范大学本科毕业论文7)()(agxafx证：因为 故 单调增加，,0xf)(xg所以当 时， ，x)(即 .又 在 上满足柯西中值定理的条件.0)(ag、xfxa,)(故由柯西中值定理知 bgfg,从而 ,1faxgf故原不等式成立.当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时可用柯西中值定理证明。证明步骤有：（1） 、构造两个函数 和 ，并确定它们的区间 ；xfgba,（2） 、
14、对 与 在 上用柯西中值定理；xfba,（3） 、利用 与a，b的关系，对柯西公式进行加强不等式。3 利用函数的极值证明不等式此法使用范围也是在某区间上成立的不等式,这里所作的辅助函数 比较的()Fx不是函数的端点,而是极值和最值. 由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断极大值还是极小值，再求出最大值或最小值，从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路.定理 4 设函数 在点 连续,在某邻域 内可导, 7)(xf0 )(0xU若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得)1(,0)(xf 0)(xf)(xf0极小值.若当 时 ,当 时 ,则 在点 取得)2(),(0x(f )
15、,(0x(f)(f0极大值.例 6. 证明： . .12ppx)(1,x1p河南师范大学本科毕业论文8提示：由待证不等式建立辅助函数,当 在定义域内可导时,只须解方程 得)(xf ()0fx出稳定点,再对每个稳定点应用定理 3 或定理 4 判定是否为极值点,求出极大（小）值,再借助函数的单调性证明不等式成立，具体视情况而论。证明 引入辅助函数 = ,则有)(xfppx)1(,求得稳定点 ,又1)(pxf 2 0)1()() 22 ppxxf故 是 在 的唯一极值点,且有极小值 ,而 为2)(f0 1p0f在 上最大值,于是有)(xf0.1ppx)(1例 7. 设 为任一常数,试证：当 时， .
16、2lna0xxea12证明 问题是证明当 时, .0x)(2ef因 ,所以只要证明当 时 ,或0)(f xf 0)(min0xf令 ,解得稳定点 2xe2lnx当 时,lnx0)(f时,x所以, 是 的最小值点.2lx)(f即有 afxf 2ln)2(l)min0 01a故 当 时, 成立.0xxea2注 （1）利用最值证明不等式,如果函数 在 上不是单调函数,要()()FxfgxI证在 上有 成立,不妨证明 在 上的最小值 ；要证在 上有I()fxg()I0I成立 ,不妨证明 在 上的最大值 .()fx()FxI0()x（2）当函数的导数在所要求证的区间内出现了导数的符号改变，也就是说出现了
17、单调性改变的情况时，就可以考虑利用函数在区间的最值(或极值)来进行证明。利用函数的最值性或极值性证明不等式的一般步骤是，首先构造辅助函数，一般以作差或作商为河南师范大学本科毕业论文9主，然后对辅助函数在需要证明的区间内找出极值或者最值，然后用极值或最值跟需要证明的条件比较，从而使命题得证。4 利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论.这是一个非常重要的结论。定理5 ：设 在区间 上连续，在 内二阶可导，对 内的任意不同的6xfba,ba, ba,两点 ，
18、 ：1x21) 若 ， ，则 在 内上凹，有0fbax,xfba, 2121xffxf2) 若 ， ，则 在 内上凸，有f,f, 2121fff例8. 设 ， ， ，证明不等式 .0xyyxln)(llnyxyx证： ， ，由于 ，ttfln1ltf0tf所以， 在区间 或 ， ， 是凹的，yx,0xy于是 ，221fyfx即 lnlnl yxyx所以原不等式 成立.2nlyx例 9 . 利用 是凸函数,证明： 6)(fl(0)x12nx .其中 , , .12nxx ii1ni证明 因为 是凸函数,所以詹森不等式 成立.)(flx(0)11()()nniiifxf河南师范大学本科毕业论文10
19、即 12ln()nxx 12llnlnxx2n 1()n亦即 12l()nxx 12lnx从而 n 12n注意 利用函数的凹凸性证明不等式，关键是要根据所要证明不等式选取相关的函数及适当的 ， 选取。特别是引进了辅助函数时，要注意考察它的上凸和下凹的特征，1x2并要注意函数的定义域，如果 是 上凸（凹）函数,那么由定义,对于 上的任意两点)(xfI I, 总有 ,所以只需证明 在1x212121212()()( )f xffxf f)(xf上是凸（凹）函数即可证上述不等式.I5 利用泰勒公式证明不等式 10如果所给的不等式与给定的条件涉及函数 及其相应阶的导数,再可考虑应用泰勒)(xf公式.如果 有带拉格朗日余项的泰勒公式,若能对余项给出估计就可得到相应的不等)(xf式.定理 若 在 上有连续的 阶导数,且 ,当36)(f,ban(1)()0nfafa时, ,则对 时,有()xab(1)0nx()x.()0!nnffz例 10. 求证： , .tasix(,)2x证明 原不等式等价于 = .)(fnta0因 ,(0)0ff 0secin6)1sec5(i 432 xxx由定理 可知,当 时,6)2x)(即 .tansix注 此题可将不等式变形,使用函数单调性方法或中值定理证明.
