1、编号：08005110137南阳师范学院 2012 届毕业生毕业论文（设计）题 目： 微 积 分 学 中 辅 助 函 数 的 构 造 完 成 人： 司玉会 班 级： 2008-01 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 葛玉丽 完成日期： 2012-03-31 目 录摘要 (1)0 引言 (1)1 构造辅助函数的原则 (1)1.1 将未知化为已知 (2)1.2 将复杂化为简单 (2)1.3 利用几何特征 (3)2 构造辅助函数的方法探讨 (3)2.1 常数变易法 (3)2.1.1 罗尔定理应用举例 (3)2.1.2 构造辅助函数证明积分不等式 (4)2.2 原函数法 (4)2
2、.3 微分方程法 (6)2.4 积分法 (6)2.5 函数增量法 (7)2.6 参数变易法 (7)3 构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析 (8)3.1 辅助函数构造在拉格朗日定理中应用 (8)3.1.1 应用举例 (9)4 结束语 (10)参考文献 (10)Abstract (11)第 1 页 (共 11 页)微积分学中辅助函数的构造作 者：司玉会指导教师：葛玉丽摘要：构造辅助函数是数学分析中解决问题的重要方法，在解决实际问题中有广泛应用通过研究微积分学中辅助函数构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论本文介绍了构造辅助函数的概念及其重要性，分析了构造辅助函数的原则，归纳
3、了构造辅助函数的几种方法，并研究了构造辅助函数在微积分学中的重要作用和应用.关键词：原函数法； 辅助函数；常数变易法；函数增量法0 引言当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式构造辅助函数辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解 1-2微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外
4、对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路 3，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用 4通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果1 构造辅助函数的原则第 2 页 (共 11 页)辅助函数的构造是有一定的规律的.当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征,性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路.1.1 将未知化为已知在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问
5、题转化为可利用的已知结论来完成的. 比如, 柯西中值定理的证明就是通过对几何图形的分析, 构造辅助函数 转化为利用已知()() ()fbaxfaFxa的罗尔定理加以证明; 在牛顿- 莱布尼兹公式的证明中也是构造辅助函数 利用积分上限函数 的性质得到证明的.()xaftd ()x1.2 将复杂化为简单一些命题较为复杂, 直接构造辅助函数往往较困难, 可通过恒等变形, 由复杂转化为简单, 从中探索辅助函数的构造, 以达到解决问题的目的, 这种通过巧妙的数学变换, 将一般化为特殊, 将复杂问题化为简单问题的论证思想, 是一元微积分学中的重要而常用的数学思维体现.例 1 设函数 ， 都在 上连续, 在
6、 内可导, 且()fxgabab. 证明在开区间 内存在一点 , 使得 ()0,()gxfagb ()()ffg分析 将证明的结论变形为 , 直接思考哪()0f个函数求导后为 ,发现不易找到这个函数.进一()()0fgf步考虑除以一个非零因子，不难发现所证结论可变形为.因此, 找到了辅助函数 .对2()()() 0fxfxfxgg()fxg第 3 页 (共 11 页)此函数在 上应用罗尔定理即得要证的结论.,ab证明 作辅助函数 因为 ， 都在 上连续，在()fxg()fxg,ab内可导, 且 .ab()0,()fabf所以 在 上连续，在 内可导，并且 ，()fxg,b, ()0x，所以 (
7、)faf()ab有罗尔定理知存在一点 ，使得 即02()()()ffgfg所以 ()()ff1.3 利用几何特征利用几何图形直观形象的特点构造辅助函数. 在各种版本的“高等数学” 和“数学分析”的书中, 微分中值定理的证明大多是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造, 然后加以证明的.2 构造辅助函数的方法探讨2.1 常数变易法常数变易法的思想就是，将于证明题中的某个常量用变量代替而构成辅助函数，对辅助函数进行讨论，使欲证明题得到证明.2.1.1 罗尔定理应用举例在微分学等式证明中，我们通过引入辅助函数来证明，而辅助函数构造是关键，一般情况下可以用常数变易发来构造辅助函数.例 2 函数 在区
8、间 上可微，证明在区间 内至少存在()fx,ab,ab一点 ，使得 ()()bfff证明 记 ，我们来证明()ka()()kff第 4 页 (共 11 页)因为 ，将此式中数 用变量 代替，构成辅助()()0bfafkbabx函数 显然，Fxfx()()0Faffak则， 在在区间 上连续，在区间 内可导，且(), ,，有罗尔定理知，至少存在一点 ，使得0ab (,)b即 ()()()0Fffk， .()()()bfafff由上面这些例子看出, 一般说来在微分学中凡联系到区间端点的值与导数中间值的式子都可以用常数变易法加以证明.常数变易法在证明积分恒等式也是有效的.2.1.2 构造辅助函数证明
9、积分不等式例 3 设 时， ,证明axb()0,()fxf.()2abadfb证明 需证 即可.()02afxd把常量 换作变量 ，引入函数bt, ()()()taaFffx)tb所以 1 22ttft()()atf当 时，由拉格朗日中值定理 ， 所ta ()(aftfta()t以 又因为 ，所以 是单调递增的，()()2tFft0xx有 ，所以 ，注意到 所以 当 时，有0ft()Ft()Ft即 ()b2baafxdfb2.2 原函数法在利用微分中值定理求解介值(或零点) 问题时, 欲证明的结论往往是某个函数的导函数的零点, 因此可通过不定积分反求出原函第 5 页 (共 11 页)数作为辅助
10、函数.其步骤为: (1) 将欲证结论中的 换成x(2) 通过恒等变形, 将结论化为易积分的形式. (3) 用观察法或凑微分等方法求出原函数,为简便起见,可将积分常数取为零.(4) 移项, 使等式一边为零, 则等式的另一边即为所需的辅助函数.例 4 设 在 上连续，在 内可导，则在 内至少存()fx,ab,ab,ab在一点 使 2ff分析 要证明 ，即证至少存在一点 ，2fbaf ,ab使 ，用 替换 得 ，积20fbaf x20fbfxxa 分后得辅助函数 22fbaFxf证明 作辅助函数 22ffxxba则 在 上连续，在 内可导，且Fx,ab,a222fffbfba222fabffFbf所
11、以 a根据罗尔定理可知，至少存在一点 使 ，即,ab0F20fbfa 2faf例 5 若 ， 在 上可导，且 则存在一个()fxg,ab()0gx第 6 页 (共 11 页)使,ab()()fafgbg分析 结论中 换成 有x()()()()fxfxfgxfx即 对等式两边积分，令 得()() fagxbf 0c即可确定原辅助函数 ，()()()()Fxfgxfabfx证明 做辅助函数 由题设条件知g在 上连续，在 内可导， ，()Fx,ab,ab()()Ffa()fg因此， ，则满足罗尔定理的条件： 一个 ，使得,b即 ()0F()()()()0fffagbf()gx所以 ()()afgb2
12、.3 微分方程法所谓“微分方程法” ，是指在遇到诸如“求证: 存在 ，,ab使得 之类的问题时, 可先解微分方程 得其()()ff ()yx通解 ，则辅助函数可构造为 ,Gxyc(),()FxGf例 6 设函数 在 上连续, 在 内可导, 且()fxabab, 试证 至少存在一点 ，使 ()fab,()ff证明 将结论中的 换成 ,得一阶线性微分方程 , x()xf其通解为 ，即 ，于是可取辅助函数为()xfec()xefc则 在 上连续, 在 内可导, 且()xF()Fabab并且 , 由罗尔定理知, 存在()fff0F, 使 , 即有 ab0()ff2.4 积分法将要证的结论转化为对微分方
13、程两端进行积分来构造辅助函数.例 7 设 在 内可微, 证明在 的任何两个零点之()fx(fx第 7 页 (共 11 页)间必有 的一个零点.()fx分析 设 为 的任何两个零点, 要证的是存在一12,()x(fx点 使得 12(,)0f由于 可微, 因此可用罗尔定理来证.其辅助函数构造如下, 由fx得 两端求不定积分得, , 令()0f()dfxln()fxc, 可得 , 即 ， , 从而对辅助函数cln()f()xfe()1f在 上应用罗尔定理即可.()1xef2x证明 做辅助函数 ，令 为 的任意两()()xef12,()x(fx个零点.由 在 内可微知 在 上连续，在 内()f,12,
14、)可导且 . 由罗尔定理知 使得 即121x12(,)()0即()(0ef()0f2.5 函数增量法Lagrange 中值定理又称为有限增量公式, 它将函数的增量与函数在一个点上的导数值联系起来, 因此在应用中常用它来处理与函数增量有关的问题,因此利用函数的增量来构造辅助函数,也是常用的方法.例 8 设 ， 在 上可导，证明 ，使0hf,ahb(0,1)()2()()()fafffah分析 左边 考虑到左端是函数增量h的形式,故考虑辅助函数 ,注意到()()Fxffx(),对 在 上使用拉格朗日中值定理(0)2Ffa0,证明 做辅助函数 由 在 上可导，()()faff,ahb则 在 上可微则
15、 ，使得 即,h,1(0)Fh()()2()fafhfff所以()()()ffahfafh第 8 页 (共 11 页)2.6 参数变易法参数变易法是指把要证明的结论中的某个参 数“变易”为变量,x从而构造出辅助函数的方法.例 9 设 在 上单调递增且连续，求证： ()fx,ab()()2bafdxfxd证明 不等式含有两个参数 ，将其中的参数 “变易”为变, b量 ，构造如下辅助函数 ，t ()()()2t taaFxffxdt易知 ， 在 上可导，且()0Fa()t,b11 ()()()2t ta atffxdffx因为 在 上单调递增，所以当 时，()fx, xtb()ft从而 故 在 上
16、单调递增， 即0Ft()t,b()0F2baaxfdfxd在此归纳总结了辅助函数构造的六种方法和一般规律，一般的辅助函数构造都以用这几种方法来构造，此外还有分析法，尝试法，待定系数法 5构造辅助函数没有什么万能的方法，它是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入思考构造辅助函数是解题关键.3 构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理是微积分学中的重要内容 6，这些定理贯穿了微积分学的始终，利用它们证明有关命题 7，往往需要构造辅助函数，便可以把微积分学中较难的问题转化为易解决的问题，下面以拉格朗日中值定理为例说明辅助函数在解决微积分学问题中的应用3.1 辅助函数构造在拉格朗日中值定理中的应用拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件：)fx
