1、学号 1330101009 毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名 称：书信学院专 业 名 称：数学教育学 生 姓 名：李建鹏指 导 教 师： 杜争光二一五年 陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文摘要：文章给出了计算概率积分 的几种简便的计算方法；对2xed以后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量概率积分 是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面2xed经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。陇南师范高等专科学校 2016 届毕业
2、论文I目 录方法一：二重积分法 .1方法二：三重积分法 .1方法三：线积分法 .2方法四:面积分法 .3方法五:含参变量的无穷积分法 .4方法六：二重积分证明法 .6参考文献： .8致谢: .9陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文0对概率积分 解法的研究和讨论2xed概率积分 是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常2xed用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法现有连续函数 在正方形区域 ；2()(,)xyfe:(;)Daxya圆域 ；圆域： 上的二重积分分别
3、为 ，221:(Rxya22:)R12,I即： 2 2 2() ()()a axy xyxDIededed2 2 21 2()00.(1)axy raRI （用极坐标）2 2 22 2()00.()axy raRIedede 同时又因： ,故有12II，即有 ，从而 2limliliaaaI2lim()ataed2xed 4方法二：三重积分法 首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设 XOZ 平面上的曲线 绕 Z 轴旋转一周得到的曲面 与平面 XOY 围成2xe 2()xyZe的体 V。显然，一方面，该体的体积2() 20()xyexvdxyzdxdzed陇南师范高等专科学校 2
4、016 届毕业论文1另一方面，根据旋转体的体积公式有：，1112000()lnVsXdzxzdz1 10 0limnli(l)|ccc故有。2xed方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。方法三：线积分法假定曲线 与 轴相交于无限远处，设由闭曲线 围21:xCye: 12C成的闭区域,由格林公式有：区域 的面积G，又面积 ， 所以有12GcsdxxdyA2xsed21 2 122( )21( )xc c cxxe yxdyxeded （ 从（ ）到（ ） ）21:xcy,0,0从而有： (换2 2 200xxxuedededed 元 )= （参变量积分） = （利用 ）2xu3(
5、)1()21()2即有：2xed3陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文2方法三借助线积分，格林公式及参变量积分等基本知识，简捷明了，富有新意方法四:面积分法假定曲面 与 平面相交于无限远处，设闭曲面2()1:xySze2:Sxoy围成闭体 V。由奥高公式，闭体的体积12，123VsdxyzxdyzxzdyA由方法二知从而有： ()xe=2()xed1 23s sxdyzzdyxdzyxzdy= 1sx设曲面 在 平面上的投影区域分别为 ,则有：1S,xyz 12,D=2()ed 21 22 ()lnln3 xyD Dxdzzyded 显然有： 1 22 2l lDDzxzzyz和 2 2
6、()()xyxDeded故有212)lnxDedzxz1ln20lzyxd1ln204zdxd而 ln22 ln00 l(larcsin)|lz zxzdzx 陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文3ln4z故有 210()4(ln)xedzd即：2xe 2方法五:含参变量的无穷积分法 20xJed已知 22lim(1)xnnxe讲欲求的积分写成2 200li()x nnxJedd ，函数 在 上连续，当 n 增加时，函数A2(1)n,A单调减少，且 是连续函数。2(1)nx 22lim()nxnxe,有 ，而 收敛。0xA221(1)nx20xed所以20(1)nxd关于 n 一致收敛，
7、于是积分号与极限可以交换次序，即 2 200(1)lim(1)n nnxxd陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文420lim(1)nndx设 ，有,xntdxt 20li(1)nndtJ再设 ,有2cot,sidy20limsinnJyd由牛顿-莱布尼茨公式和定积分还原公式，有 (3)!li2nJ已知沃利斯公式 2()!1lim23n n将此式分子、分母上下调换位置，再在等式两端开平方，有 (2)!li 1n 于是 20(3)!lim2xnJedn(3)!li 12n 12即20xJed1陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文5方法五是利用重积分的方法，结合图形对概率积分 进行了较为
8、详细的20xed证明。方法六：二重积分证明法20xed证明：已知无穷积分 收敛，有20xed=20x20limxaed为了计算 ，我们首先计算 。因为20xed 20li(1)nntJ20()xe2200()aaxyede2()xyD其中 是正方形区域。(0,)Dxay设 分别是以 和 为半径，圆心在原点位于第一象限那部分圆域，如图：12, 2因为 ，有 ， ,所以有(,)xy2()0xye12D2 2 21 2() () ()xyxyDDDdeded陇南师范高等专科学校 2016 届毕业论文6根据二重积分坐标变换： 。则cos,sinxryr1|(,)|0,|2Dra2|(,)|2,0|r于是2 2 21()20()(1)4axy r aDedede 2 2 22()20()()axy r aDeee即 22 20(1)()(1)44aax aeede当 时，则有a20lim()4axae即有概率积分20xed 1s 以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体方法，同时也从另一角度揭示了微积分知识间的本质联系，无疑对我们学好课程是大有益处的。
