1、 毕 业 论 文题 目：拉普拉斯变换在常微分方程中的应用姓 名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜专 业：数学与应用数学班 级：2004-5 班院 （系）：数理信息学院指导教师：肖开提.卡德尔新 疆 师 范 大 学信息隐藏与数字水印技术新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文1拉普拉斯变换在常微分方程中的应用新疆师范大学数理信息学院数学 04-5班 作者姓名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜指导教师：肖开提.卡德尔2009年 5月 14日新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文2拉普拉斯变换在常微分方程中的应用古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜新疆师范大学数理信息学院数学
2、 04-5班 摘 要：本论文首先讨论了拉普拉斯变换的概念，详细地阐述了拉普拉斯变换的基本性质，利用拉普拉斯变换的基本性质，导出常系数线性微分方程初值问题的求解方法，并解决有关的实际问题。关键词：拉普拉斯变换;拉普拉斯变换性质; 拉普拉斯逆变换新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文3拉普拉斯变换在常微分方程中的应用1、拉普拉斯变换的定义定义 1 设函数 在区间 上有定义，如果含参变量 的无穷积分)(xf,0S对 的某一取值范围是收敛的.则称dtfest0)(S)(sFdtfest0)( 1为函数的拉普拉斯变换， 称为原函数， 称为象函数，并记为)(sF.)(tfL我们引进
3、拉普拉斯变换的目的，主要在于直接计算初值问题的解。从定义出发，直接可算出一些特殊函数的拉普拉斯变换.例如= ，1Ldtes01= ，tts02= ，2teLdtst01= = .sinttst0insstde0in2定理 1 如果函数 满足以下两个条件：)(tf（1） 在 内逐段连续)(tf,（2）存在数 ,使得0M，tetf)(则对于 ， 拉普拉斯变换s)(sFdtfst0)(是存在的.证:当 时，有 .s sMdtetfetfesstst 0)(00)()(2、拉普拉斯变换的基本性质和证明为了利用拉普拉斯变换求解初值问题，我们还要证明以下几个性质.定理 2 （线性性质）设函数满足定理 1
4、的条件，则在它们象函数定义域的新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文4共同部分上有 )()()( tgLtftgtfL其中 和 是常数.证明： )(tgtfLdtgtfest )(0dtfest0)(dtgest0)(+t)(s0.tLf例 1 求 .sin2tL解：由于 ；故有tcos1=i2)2cos(tL根据定理 2，有 )cs1(t )s1(2tL， ，L24o从而= .sin2t)(12s)(2s定理 3 （原函数的微分性质）如果 均满足定理 1 的条(,tftfn件，则 )0()(ftsLtf或更一般地有 )0()0()()()( 121 nnnnn ffs
5、fstftf 用数学归纳法证明.当 时有1=)(tfLdtfest0)()(0tfes0)(tfs dtfest)(= .L设 时,有kn.)0()0()()()( 121 kkkkk ffsfstfstfL 当 时，有1新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文5)0()()()(1 kkkk ftfsLtfLtf = )(11 kfs.)()0()(1 kkk fftf例 2 证明 ( ).2costL证明：由于 ，故有f)(, , , ,ttfin tfcos)(2 0)(f2)(f取 ，得到2n，)(0)()(2fstfLstf stfL)(2因此 co2ttco2
6、故有( ).2sstL0定理 4（象函数的微分性质） 如果 ，)(tfLsF则.)(sF)()(0tfdtftes或更一般地，有.)(n )()1(10 tfLtft nstn证明：用数学归纳法证明.当 时，1n)(sFdtfesdtfetst )()(00= .0tfLtfts当 时，对一切正整数 ，等式都成立，即knn.)(sFk )()1(10 tfdtfet kstk当 时，有1)(sn dtfetstftdstkksk )()()00 = .1(k 110 tfLdtfet kstk 新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文6例 3 求函数 的拉普拉斯变换.tk
7、etf)(解：根据定理 4，有, .1)(!)1()( knktk sdsL )(s定理 5 如果 ，则tfF.)()se证明：根据定义，有.)(tfL dtfedtftsst )()(0)(sF例 4 证明 .2intet证明：由定理 5，有，)(sinsFteLt利用定理 4，有，2i)(st于是.2)(sinteLt类似的，有. 2)(cosstet为了使用方便起见，现将在求解常系数线性微分方程的初值问题时，经常碰到的拉普拉斯变换列成下表 .13、拉普拉斯变换在常微分方程的应用首先介绍拉普拉斯逆变换，然后用拉普拉斯变换将常微分方程化为代数方程，求代数方程的解，最后通过拉普拉斯逆变换求解常
8、系数线性微分方程的解。定义 2 令 ，使得)()(1sFLtf则称 是 )(s 的逆变换.)tf新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文7例 5 求 .8412sL解： 21 4)2(1.1Ltest2sin)(2下面我们解释利用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程的解法.设 阶常系数线性微分方程的初值问题为n)()2()1()( xryayaynnn （2）1)1(100,)(,)( nnmm（3） 对（2）两边进行拉普拉斯变换，并利用定理 2 得到)( )2()1()( xrLyayLayLnnnn （4）由定理 3，有 )0(,)0()( 121)( nnnn yys
9、syL= 0mm（5） 231201)( nnnnsyLsy 0m令 ， ，将（5）代入（4） ，得到)(sYyL)(sRxrL)(121 sYaannn)()( 1013120 sRmam nn （6） 由代数方程（6）解出 ，于是该初值问题的解为)(sY.)(1sLxy下面举几个用这种方法解方程的例子.新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文8例 6 求方程 满足初值问题 的解.tex2 0)(x解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所应满足的方程，21)(0)(sxsx由此得到.12)(ss直接查拉普拉斯变换表，可得 和 的原函数分别为 和 ，因此 t
10、e2t的原函数为)(sx，ttex2)(这就是所要求的解.例 7 求方程 的满足初值问题条件 13x的解 .0)()0(xx解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所应满足的方程，sxss1)(3(23由此得到，3)1()sx把上式右边分解成部分分式，323 )1()(1)( sss对上式右边各项分别求出（查表）其原函数，则它们的和就是 的原函数)(sx，)(2)(ttxte这就是所要求的解.例 8 求解方程 ，其中 是非零常数.nxmatb )0(,)(,sin2 ba,解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到，222)()( asbxs可得新疆师范大学数理信息学院 2009届数学与应用数学专业毕业论文9.222)() asnmasbx把上式右边第一项分解为部分分式，)(12)( 222 assabs于是 2222)()( asnmssx 22222 )(aab由拉普拉斯变换表可得，atntmttatx sico)s(sin)(2这就是所要求的解.参考文献：1东北师范大学微分方程教研室，常微分方程，第二版，高等教育出版社，20052包雪松，常微分方程，南京大学出版社，19933王涛松，常微分方程，高等教育出版社
