1、- 1 -目 录一、一题多解的意义及作用1二、例题讲解31、比较大小问题32、求值问题43、一元二次方程根与系数问题54、锐角三角函数问题65、几何问题7三、小结9参考文献11- 2 -论文摘要 一题多解的意义针对教学目的、重难点等进行对学生的培养，并且要让学生通过不断的解题，从中寻找到最佳的解题方法。一 题多解可以增加数学题的使用价值也可以对学生的解决问题的能力、解决问题的思路的提高，还可以开阔他们的思路，促进解决问题的灵活性，增加他们的知识和智慧，以及知识间的联系和运用。及时反思能从诸多的解题方法中找到最简单的方法解题。教师从学生的认识角度出发尽可能的寻找已知条件，学习过后要反思，解完后要
2、及时反思。通 过一题多解的反思可以寻找问题间的联系，可以增强学生的创造性。在教学中应鼓励学生从不同的角度入手思考解决问题，并从中探索最简便的方法，还要让他们知道怎么样去想怎么样解决，在解题方法中通过比较，得到最简单的方法， 调动学生对一题多解的积极性，利用学生的好奇心，鼓励学生寻找多种方法从而选择最简单的方法解决数学题。在一题多解的过程中要以学生为主，设计教学活动。反思过后从解后的诸多方法中通过反思得到最简方法和解题的规律、解题的思路并对结论进行推导得到一般规律是学生成长的必不可少的培养。而这不是一天两天的事需要老师学生长期共同的努力，通过这种能力的培养，让学生尽可能的全面发展以培养出合格的社
3、会主义建设者。关键词： 多解 反思 提高能力 - 1 -一题多解反思06 春数本 崔家进一题多解数学题的解后反思是很重要的。一题多解的意义针对教学目的、重难点等进行对学生的培养，并且要让学生通过不断的解题，从中寻找到最佳的解题方法。一题多解可以增加数学题的使用价值也可以对学生的解决问题的能力、解决问题的思路的提高，还可以开阔他们的思路，促进解决问题的灵活性，增加他们的知识和智慧，以及知识间的联系和运用。从解后的诸多方法中通过反思得到最简方法和解题的规律、解题的思路并对结论进行推导得到一般规律是学生成长的必不可少的培养。如何进行一题多解的反思呢？比较大小的数学题中，经常会遇到一题多解的数学题。
4、，主要用到了特殊值法、作差法、求商法，如果我们再作差法加以引审，在应用题中也有应用，通过上面一题多解的例子，讲解引审可以提高学生的一题多解的能力，整体法比较简单，在教学时要强调和加从以引导从而不断培养学生的一题多解的能力的提升他们的解题能力并通过解后反思引导学生得到一般规律。一、一题多解的意义及作用。通过几年初中数学的教学，在解一些数学题时往往一道数学题用几种不同的方法都能解决。有的简单有的稍微要复杂一些，而在解题时复杂的方法浪费时间、简单的方法节省时间。在这些方法中肯定有一种最简单的方法。如果通过平时总结能找到那么在考试时解这种一题多解的题目就能大量节省时间，无形之中就多了考试时间从而留有时
5、间检查为我们考高分提供了保障。所以我们在平时解一题多解的题目时就要及时反思并能从诸多的解题方法中找到最简单的方法解题。我所认识到的一题多解就是从不同角度不同思路分析问题,从题目中尽可能的挖掘隐含条件用不同的方法、不同的运算过程去分析解答问题最终达到异曲同工的目的。因此一题多解需要老师和学生做大量准备工作认真分析问题尽可能的挖掘题目中的隐含条件。而对初中学生的年龄而言,由于学生较小他们的思维能力、想像能力、分析问题能力还不是很强，思维具有狭窄性，一般只知道其一不知道其二，如果题目稍有变化就不知道怎样分析解决数学问题。这就需- 2 -要教师在平时的教要针对教学目的、重难点等进行对学生的培养，并且要
6、让学生通过不断的解题，从中寻找到最佳的解题方法。通过一题多解的训练可以调动学生积极思考问题并积极的解决问题增加学过程中对学生加以帮助。而一题多解就可以对学生的思维和解题思路、解题方法进行提高。一题多解可以增加数学题的使用价值也可以对学生的解决问题的能力、解决问题的思路的提高，还可以开阔他们的思路，促进解决问题的灵活性，增加他们的知识和智慧，以及知识间的联系和运用。而作为一名教师在训练学生一题多解时，解决问题方法的多样性和技能。而且还能提高思维灵活性，促进智慧，还能影响学生解决其他学科问题的方法，更灵活的掌握知识间的联系，从而能培养他们的创造性。在教学中应鼓励学生从不同的角度入手思考解决问题，并
7、从中探索最简便的方法。初中数学题许多都是一个题目多中解法。作为教师有义务让他们知道多种解法，还要让他们知道怎么样去想怎么样解决，在解题方法中通过比较得到最简单的方法，这就需要教师从学生的认识角度出发尽可能的寻找已知条件（挖掘题目中的隐含条件）所以教师要多研究充分调动学生对一题多解的积极性，利用学生的好奇心，鼓励学生寻找多种方法从而选择最简单的方法解决数学题。而在教学时要充分认识到学生是学习过程的主体，老师起到引导作用，所以在一题多解的过程中要以学生为主，设计教学活动，比如说在初三数学关于事件的可能性、不可能事件教学过程中可以先做一个不透明的箱子，准备一些白色、黄色乒乓球放入其中，让学生从中摸一
8、摸，然后问他们能否摸到白色球，是否摸到黑色球等，并让学生合作交流从而老师最后给出答案，让学生体验猜想、验证、归纳并且学以致用，其他数学题能否用到学生进行反思。孔子云：“学而不思则罔”意思相信大家都知道，就是说学习新知识过后不及时的思考就回收获不大。这就提醒我们学习过后要反思。解数学题时由于审题不清等原因会出现错误，比如说：在简单概率的计算中有这样一个例题“在一个不透明的箱子中放入两个红球一个白球（除颜色外其它都相同）从中先摸出一个球（摸出后在放回）然后在摸出一个球，问两次都摸到红球的概率是多少？”在这个题目中如果不注意摸出后在放回题目就解错了。通过这个例子我们可以看出解一道数学题不一定一次就能
9、正确，这就要求我们解完后要及时反思。而有的同学把解题当作一种任务，解完就结束了，像这类学生就更要- 3 -反思了。数学知识具有连贯性，一个题目解完了在对的情况下你还不能保证是最简的方法，这就要求我们要进行一题多解的反思。每一种方法可能要用到不同的数学知识，如果能及时反思既能复习知识有能加强知识的应用，而且还能从诸多方法中的到最简的方法，从而提高自身的解数学题的能力。如果在把上面的到方法加以推测反思也许还能得到解一般题目的方法。我们和乐而不为呢？数学题与数学题之间有时不是没有联系的，通过一题多解的反思可以寻找问题简的联系，可以增强学生的创造性。而且数学题有成千上万如果不及时反思你只会停留在解题机
10、器上无法提高你的解题技能和方法等。不及时反思就学生的发展而言就是一种损失和缺陷。同样学生由于个体差异可能想问题不周全，在某些地方没有注意这样就会产生错误，所以作为教师还应当在学生容易出错的地方加以强调引导注意，在让学生进行一题多解的反思。这样在注意到这些问题是学生就会在一题多解的反思时收获更多、更好，而我们的学生就会变的更聪明、更强。数学家弗赖登塔尔曾经说过这样一句话“反思是数学活动的核心和动力。 ”从这句话我们可以看出对于一题多解数学题的解后反思是很重要的。从解后的诸多方法中通过反思得到最简方法和解题的规律、解题的思路并对结论进行推导得到一般规律是学生成长的必不可少的培养。通过这种能力的培养
11、我们的学生的解题能力就会加强，思维能力就会得到解放和发生质的飞跃，对于今后的学习、工作、研究等都是百利而无一害的。所以我们必须对一题多解进行解后反思。那么如何进行一题多解的反思呢？下面我就在初中阶段的一些一题多解的典型例题逐题分析谈谈我的看法。在比较大小的数学题中，经常会遇到一题多解的数学题，如：二、例题讲解。1、比较大小问题。例 1 当 0 x2124x1x12- 4 -方法 2 作差法：两数相减可以取正数、负数、0，那么用 、 表示两数，能得到三种情ab况：当 0 时， abab当 =0 时， =当 x2x12通过上面的方法，我们可以得到两个数大小的比较方法作差法，比较与 的大小，也可以采
12、用上述两种方法，这时候我们可以启发学生还有215没有其它方法呢？然后我们再给出求商法， = 1，所以 21515215。21像上面比较大小的一题多解，主要用到了特殊值法、作差法、求商法。我们还可以对作差法加以引申，这在应用题中也有应用，如例 2：单位计划组织员工去旅游，估计人数在 615。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且报价都是 200 元/人。该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客费用，其余游客九折优惠。问人数在什么范围内，应选甲旅行社，在什么范围内，应选乙旅行社？解：设此次旅游为 人，费用为 元。xy由题意可得，选择甲旅行社，费用为 1=160 x
13、选择乙旅行社，费用为 2=180 180y1 2=160 180 180yx- 5 -=18020 x当 =9 时，选两个旅行社都一样；当 6 9 时，选择乙旅行社较合适；x x当 9 15 时，选择甲旅行社较合适。通过上面一题多解的例子，讲解引申可以提高学生的一题多解的能力。2、求值问题。例 3：已知 则 的值。0132x21x解：方程两边同除以 得到 ，再把这个等式左右两边同时平方得3到 2 =9 所以 =7。这里我们用到整体法求式子的值，那么我x12x1们还有没有其它方法来解决这道题呢？原方程是一个一元二次方程，我们可以解这个方程，把方程的根求出来，然后再带入式子中，也可以求出来原式等于
14、 7。通过上面两种方法，我们可以用整体法解比较简单，练习 求0132x，请同学们试着用上面两种方法解决。142x例 4 已知 ；201xa19xb210xc求 的值。acb2解 方法一：由已知条件 比 大 1， 比 大 2，所以abac= 1， = 1，bac原式= =3a 222221方法二：原式= 3)14()()()(1222 cba通过上面整体法，求这个问题比较简单。下面我们再用整体法求的例子。ayx2例 5 已知方程组 的解 、 的和是负数则 的取值53xya范围。- 6 -解：方法一：整体法得所以 又因为 、 的和是负数，ayx3223ayxxy所以 0，解得 。23a方法二：解得
15、 = ， = ，所以 又因为 、x4y723ayxx的和是负数，所以 0，解得 。y23aa32练习 1 若函数 和 的图象的交点坐标为（ ，8） ，求 。xybxymba解：方法一：两函数的交点坐标为（ ，8）ma8 由得 16bab练习 2 若 ， ， ，求 的值。27yx3z30zxzyx解：方法一：把的值都解出来（略）然后再求 的值。方法二： +得 3zy 902zyx45zyx0x通过上面的例题和练习我们可以得到解这些数学题的方法其中一种方法较复杂而另一种方法较简单。我们在教学时要强调和加从以引导从而不断培养学生的一题多解的能力的提升他们的解题能力并通过解后反思引导学生得到一般规律下
16、面我们再看几个例题。3、一元二次方程根与系数问题例 6 已知关于 的方程 的一个根为 2，则它的另一根及 的值x062ax a为多少？解：方法一：方程的根为 2 得 =1062a当 =1 时，原方程可化为 062x解得 1x32另一根为3， 的值为 1a- 7 -方法二：设另一根为 ，得1xax21 31x解得 的值为 1，另一根为3a61在方法 2 中我们用到了一元二次方程根与系数的关系，解题这样就使问题简单了，下面我们在看一个例题。例 7 、 是方程 的根，求 的值。1y20142y21y解：方法一： 、 是方程的解 我们可以把方程的解解出来再带入式1子中求值（过程略） 。421y方法二：
17、由根与系数的关系可得 21而 122121 yyy2)(= 42原式的值为 14上面我列举了代数部分的几个一题多解的例子，下面我们再看几个几何方面的例子。4、锐角三角函数问题。例 8 在 RtABC 中，C=90，sinA= ,求 cosA、tanA 的值。54解：方法一：用定义求sinA= C=90设 BC= ，则 AB=54xx根据勾股定理 AB2=BC2 AC2 可得 AC=3cosA= tanA=3xAB4xAB方法二：用函数间的关系sin 2Acos 2B=1 sinA= cosA 5453又A 为锐角 cosA= 3- 8 -tanA= =534cosinA5、几何问题。例 9 如
18、图，A=60 B=ADC=90 AB=6 CD=3，求 BC，AD 的长。解：方法一：延长 AD，BC 相交于点 EA=60 B=90tanA= 即 tan60= ABE6BBE=6 3cosA= 即 cos60= AEAE=12又A=60 B=90 E=30 DCE=60 在直角三角形 CDE 中，CE=23=6 DE=tan603=3 3AD=AEDE=123 BC=BECE=6 6方法二：延长 AB、DC 相交于点 F（过程略）方法三：如图过 B 作 BEAD 垂足为 E，过 C 作 CFBE，垂足为 FAB=6 A=60AE=3 BE= 3又ADC=90 E=90 F=90四边形 EFCD 为矩形 ED=FC DC=EF=3又BE= BF= 33ABC=90 A=60 FBC=60
