1、2014 届 本 科 毕 业 论 文 (设 计 )题 目 ： 用初等变换判断实二次型的类型所 在 学 院 ： 数 学 科 学 学 院专 业 班 级 ： 数 学 09-3 班学 生 姓 名 ： 阿 依 努 尔 吾 不 力指 导 教 师 ： 艾 合 买 提 老 师答 辩 日 期 ： 2014 年 5 月新疆师范大学教务处新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）0目 录引言 .31.实二次型及其矩阵表示 .32.初等变换 .43.对称矩阵化为对角矩阵 .44.关于正定二次型的判断定理 .55.关于半正定二次型的判断定理 .66.关于负定二次型和半负定二次型的判断定理 .67.关于不定二次型的判
2、断定理及其推论 .6结论 .8参考文献： .8致谢 .9新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）1用初等变换判断实二次型的类型摘要：引入初等变换，将实对称矩阵化为对角矩阵，得到二次型的一个标准形，从而可以用初等变换，判断实二次型的类型，同时也给出了正(负)定二次型的一个必要条件和不定二次型的一个充分条件,该方法易于理解，简单实用，计算量小。关键词：初等变换；实二次型新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）2引言在科学技术和经济管理领域中的许多数学模型都常常需要将一个给定的实二次型化为标准形 ，进而判断该实二次型的正定二次型，半正定二次型，负定二次型，半负定二次型和不定二次型。判断一
3、个给定的实二次型类型的方法通常是用顺序主子式法和特征值法。我们知道，顺序主子式法一般只能判断正定二次型和负定二次型，且要计算很多个行列式(即顺序主子式)的值；特征值法虽然可以判断各种类型的二次型，但要求出该二次型的矩阵的特征值也不是很容易的事情，本文介绍一种新的方法初等变换来判断实二次型的类型，该方法只涉及矩阵的初等变换，所以步骤单一、运算量小、易于掌握，最有效、最实用。1.实二次型及其矩阵表示定义（实二次型） 设 均为实常数，关于 n 个实变量);,21,(jinjia的二次齐次多项式函数nx,21 njijinii nnxaxxaxaxf 1,12 2322 1111)( 称为一个 n 元
4、实二次型，简称为 n 元二次型。令 ，则 ，再令矩阵 ，jiijaijjiji xx2 nijaA)(，则 A 为实对称矩阵，且可将二次型写成Tnx),(1 nnnnnijjij xaaxxaf 21211221121 ),(),(或 AxfT)(称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，并称A 的秩为二次型 f 的秩。新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）3注意二次型 f 的矩阵 的元素为： 为 的系数nijaA)(ia2ix为 的系数的一半 。jiijni),2,1( jix );,1,(jnj2.初等变换矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换。（1）
5、 换法变换；交换矩阵的某两行（列）的位置。用 表示,ij（2） 倍法变换；用一个非零数乘矩阵的某一行（列）用 表示()k（3） 消法变换；把矩阵的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去， （K 为任意数） 。用 表示()ijk上列 ， ， 中，写在箭头上面的表示行变换，写在箭头,ijij下面的表示列变换。行变换用 。jiji KRRi,列变换用 。C下面给定矩阵的初等变换； 21() 31()10020223331 3.对称矩阵化为对角矩阵由定义知，任意的实对称矩阵经过初等变换后仍然是实对称矩阵，且任意实对称矩阵都可以经过若干次初等变换化为对角矩阵。定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵
6、，矩阵 A 可以经过一系列的),(21nxf初等变换化为对角矩阵 。d,diag= i根据初等变换与初等矩阵的关系证明对称矩阵化为对角矩阵：若对矩阵A进行一次初等变换，就相当于对矩阵A左乘一个相应初等矩阵 ，同时对矩阵A右乘TiP一个相应初等 。iP由于A是n元实二次型 的矩阵，则A是n阶实对称矩阵。如果令 和),(21xf iP都是初等矩阵(即它们都是由单位矩阵E经过一次初等变换得),32,1(miT到的)，那么n阶实对称矩阵A经过一系列(这里假设总共进行了m次)的初等变换化为对角矩阵 的过程为：)d,diag= n21 mTmTT PAPAP 21221即 即设 则c是n阶可逆矩阵(因为它
7、是mm 1c新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）4个n阶初等矩阵的乘积)且 ，于是在 n阶可逆矩阵c，使得TTmPc12，即存在非退化线性变换X=CT，使原二次型化为标准形:AcT其中22121),( nTTTn ydydYACYXxf 122,nnyXYx即对角矩阵 就是原二次型 的一个标准型所对)d,diag(= n21 ),(21nxf应的矩阵；从而再由惯性定律和二次型类型的定义可得，定理成立。4.关于正定二次型的判断定理定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵，若矩阵 A 经过一系列),(21nxf的初等变换化为对角矩阵 则d,diag= i当 时，二次型 为正定二次型；),
8、21(0idi,21nf例1 判断二次型 的类型。3212321321 4845),( xxxxf 解:将该二次型的矩阵A进行初等变换: 2 21331 325,4540025512010455rc rcr rc 于是,该二次型的一个标准形对应的对角矩阵 的主对角线上的元素中， =5，1d=5， =25,由定理知,该二次型是正定二次型。2d3这里先将矩阵A第2,3行，第2,3列同时乘以5，使矩阵A位于 位置上的元素是1a位于 , , 和 位置上的元素的约数，是为了使运算过程中不出现分数，21a3123a以减少运算量。一般地，在用初等变换法来判断n元实二次型f的类型时，总可以在运算过程中运用相同
9、的方法来简化运算。新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）55.关于半正定二次型的判断定理定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵，若矩阵 A 经过一系列的初),(21nxf等变换化为对角矩阵 则d,diag= i当 且至少有一个为 0 时，二次型 为半正定二),21(0idi ),(21nxf次型。6.关于负定二次型和半负定二次型的判断定理定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵，若矩阵 A 经过一系列的初),(21nxf等变换化为对角矩阵 则d,diag= i当 时，二次型 为负定二次型。),21(0idi,21nf定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵，若矩阵 A 经过一系列的初
10、),(21nxf等变换化为对角矩阵 则d,diag= i当 且至少有一个为 0 时，二次型 为半负定二),21(0idi ),(21nxf次型。7.关于不定二次型的判断定理及其推论定理 设 A 是 n 元实二次型 的矩阵，若矩阵 A 经过一系列),(21nxf的初等变换化为对角矩阵 则d,diag= i当 )中有正数也有负数时，二次型 为不定二次型。,21(id ),(21nxf例2 判断二次型 的类型。3212321 4),( xxxf 解:将该二次型的矩阵A进行初等变换： 23 213 3212 , ,0 6010083 18206r r rrccc c 于是,该二次型的一个标准形对应的对
11、角矩阵A的主对角线上的元素中， =2，1d=一2， =一16。由定理知，该二次型是不定二次型。d3我们注意到，在对n阶实对称矩阵A=( ) 进行初等变换的时候，矩阵A的主对ijan角线上的元素 ( )的位置可以相互对调。ijan,21新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）6例如，交换A的第l行与第2行的位置，紧接着交换第1列与第2列的位置，就可以对调 与 的位置。a2nnnaa 2121112 22111nrcnnaa 这也说明在n元实二次型 中，变量 的位置关系是对称的。),(21xf nx,21同时，从例l可以看出，在用初等变换将实对称矩阵A= 化为对角矩阵A的ija)(过程中，对
12、角矩阵A的主对角线上的元素 是逐一被确定的，且 通常nd,21 1d可以取 当 ( )，于是很容易推得二次型正(负)定的一个必要条件和二次1a01型不定的一个充分条件。推论1 若n元实二次型 为正(负)定，则该二次型的矩阵A=,(21nxf的主对角线上的元素 全大于(小于)零。ija)( ,iaj推论2 若n元实二次型 的矩阵A= 的主对角线上的元素),(21nxf nija有正数也有负数时，则该二次型是不定二次型。),1(ij另外，在用初等变换将实对称矩阵化为对角矩阵A 的过程中，当先出现的nij)(中一旦出现既有正数又有负数时，就可以终止运算，从而可知该二nd,21次型必为不定二次型。例3
13、 判断二次型 的类型。4241324321432,1 68)( xxxxxf 12401-21-7043 5A 合 同 变 换由此可知，该二次型的一个标准形对应的对角矩阵A的主对角线上的元素中，=l， =一2，( 和 暂时未确定符号)，故其一定是不定二次型。1d3d4新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）7结论本文主要讨论了矩阵的初等变换，实二次型和实二次型的类型用矩阵来表示，然后引入初等变换，将实对称矩阵化为对角矩阵，得到二次型的一个标准形，从而可以用初等变换来断断实二次型的类型，同时也给出了正(负)定二次型的一个必要条件和不定二次型的一个充分条件。该方法涉及矩阵的初等变换易于理解，
14、简单实用，计算量小。参考文献： 1张宝善，沈雁，蒋永泉 高等代数与符号运算、清华大学出版社，2011,10（新编数学与信息类专业系列教材）2张禾瑞 高等代数 3香勤，张小勇，基于初等变换的二次型标准化 河南教育学院学报（自然科学版）,2007,16（3）,69-704刘万霞，二次型的有定性 （内蒙古电大学刊）2008（5）58-595李惠陵 ，高等代数 北京 （高等代数出版社）2009.126李大林 实对称行列式表示的二次型的标准化方法 柳州职业技术学院学报 2008.8（1）46-49新疆师范大学 2014 届本科毕业论文（设计）8致 谢大学五年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认
15、识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，艾合买提老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.同时我要感谢我大学五年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对艾合买提老师表示最诚挚的谢意和祝福！
