1、*本 科 毕 业 论 文题 目： 对两个重要极限的重要性的认识 专 业： 数学与应用数学 系 班：数学与信息科学学院*级*班 毕业年份： * 姓 名： * 学 号： * 指导教师： * 职 称： * *教务处 制1exx)1(lim1sinl0x对两个重要极限的重要性的认识 *（*数学与信息科学学院数学与应用数学专业*）摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。 关键词 ： 重要极限；
2、重要性；证明；应用1.绪论 两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。 数学分析课程在讲述关于两个重要极 限 和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用
3、最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。2.1 第一个重要极限： 1sinlm0x证明：作单位圆，如图 1：2图 1设 为圆心角 ，并设 见图不难发现：xAOB20x，即： ，即 ，DBAOBSS扇 形 xtansin xtansi1coco1i x（因为 ，所以上不等式不改变方向）20当 改变符号时， 及 1 的值均
4、不变，故对满足 的一切xxsin, 20x，有 。 1sinco又因为 ，214)2(si1)cos( 2xxxx 所以 lims210x而 ，证毕。1snlilimcoli 000 xxx2.2 第二个重要极限： exx)1(li先考虑 取正整数时的情形： nn)1(lim对于 ，有不等式： ，0ab nbab即： ，)()11nn即： (aba（i）现令 ，显然 ，因为n,10ab3将其代入，所以 ，所以1)(1)1( nnba nn)1()1(为单调数列，记作 。nx（ii）又令 ，a21)()1(,21 bnb所以 ，nn)21( n14即对 ， 又对4,nx 4)2()2( 21所以
5、 是有界的。)1(由单调有界定理知 存在，并使用 来表示，nx)1(lime即 5904782.)(lienx3.两个重要极限在微分学中的重要性在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：幂函数 ( ), 1 yxR指数函数 ， 2 0,1)a对数函数 ( )， 3 loga三角函数 y=sin x, y=cos x，y=tan x, y=cot x, 4反三角函数 y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。 5由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基
6、本概念导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数 f(x)在点 x 处的导数 ，就是计算极限（3.1）当这一极限存在时，其值就是 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 3.1 的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限 3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类xf
7、fx)(lim0 )(ffexx)(lim0sil4函数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要利用到 这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利用到 这个极限。下面来看一看基本求导公式是如何得来的。3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数 sin x 的求导公式的推导为例.由导数的定义0 02cos()sinsin()si( 2(si)lmlimx xxx 0ilicos()cs12x 其中应用了第一个重要极限 ，即 （令 ）0sinlmx 00insi2llm1xt 2xt。求得(sin x) = 后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利co
8、s用多个求导法则得到了。3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数 log x 的求导公式的推导过程。由导数定义a 1 10 00log()log(log)imlim()limog()xa xa aax x 011li()llnxaax e其中应用了第二个重要极限 ，即lixx（令 ） 。0 1limog(1)li()xuaxue /u求得了 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。la可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数
9、求导过程中起到了重要的纽exx)1(lim0sinl15带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。4.两个重要极限在计算中的应用4.1两个重要极限在一元极限中的应用第一个重要极限实际上
10、是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便得 这一不定的结果，因此称这一类型的极限为 型未定式。类似地，第二个重要极限是属于 型未定式。1综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和 1型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。例 1 求 20coslimx解: = 20lix 21sin21lim)(sinlil 02020 xxx例 2 求 30sitanlix解: =30itlimx 3030 cos1inlicol xxx= 2imsisi 例 3 求 xx)21(li解: 令 =t，则 x=
11、 t当 x时 t0，0 06于是 = =e 2xx)21(lim1020)(lim)(li ttt例 4 求 3解: 令 =1+u，则 x=2 21当 x时 u0，于是 =xx)3(lim )1()(lim)(li 20120 uuu = =e -11)1(li0u例 5 求 xxcot0)an(li解: 设 t=tanx，则 cotxt当 x0 时 t0，于是 = =excot)an1(limt10)(li4.2两个重要极限在二元函数极限中的应用4.2.1重要极限 的应用sil0x极限 是一元函数第一个重要极限的推广，其中，1),(inl0),(yuyxu时， ，把 看作新变量 ，考虑极限过
12、程）（）（ , 0),(yxut。t例 1 求极限 23)0,(, )sinlmyxyx解： 23)0,(,ilyx 01lisinl 23)0,(,30)(3 yxyxyx极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。我们设 ，定义域是 。23)sin(),(yxyf )0,(,)(Dyx再设 2331)i),(f 233)0,(, )sinl yxyx 7233)0,(, )sinlmyxyx 定义域 显然有 。,)0,(,D1 xyyx且 D1可以看到，从函数 到 定义域变小了，但 ， 分别在,f,1f ),(yxf),(1f各自的定义域 D 与 内，当 时，可以证明极限都是存在的，证明1)0
13、,(）（ yx如下：（1）以下是对 在定义域 内极23)sin(),(yxf )0,(,)(Dyx限的证明。因为当 时，有：0,）（ yx 0)sin(0 222323 yxyxyx所以由夹逼准则得 =023)0,(, )sinlmyxyx(2)对 在定义域2331i),(f 内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知,0,D1 xyyx且道，并且其值易算得为 0.既然 在定义域 内极限存在，那么极23)sin(),(yxf)0,(,)(Dyx限必唯一。我们可以在 D 内任找 的方式来计算出极限值。由 D 与,0,）（ yx的关系（ ） ，知道在 中两函数相等，所以在求极限找1D111的方式时
14、，我们可以在 中找，显然，两函数的极限是)0,(,）（ yx ）（ D相等的。，23)sin(),(yxf2331)i(),(yxf但是， 23)0,(,ilmyx= 是成立的。),li1,),(yxfyx）（所以在 时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。）（8例 2 求极限 yxyxsinlm)0,(,解： 。01limsinlsinlmsinl )0,(,0)0,(,)0,(, xxyxyyxyyx在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例 3 求极限 )tan(silim)0,(),
15、yxyx解： = =0)t(ili)0,(),yxyx），（ 0),(li例 4 求极限 22)0,(, )cos1liyx解： =22)0,(, )cs(limyxyx21)(1lim2)0,( yxyx4.2.2 重要极限 exx)1(li极限 是一元函数中第二个重要极限的推广。下面yuxuyxu),(),(li举例说明它的应用。例 5 求极限 yxyx2)1(lim),(0,yxu),1 );,(),(ta;(,(l 21cos1),)sin),(ue yuyyxyx xxyu9解： =yxyx2)1(lim),( xy1)1,(, 2li= exyxyxyxlim)1,(, )1,(,
16、li对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法，比如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时还可以用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个常见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以便更好的解决二元函数的极限问题。5.总结关于两个重要极限的公式本身十分简单， 但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现
17、数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时, 用某个与自变量增量成比例的量 ( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并解决问题的办法. 这就是微分学的基本思想 , 对于微积分 , 只有深入理解和掌握了这一思想, 才会深刻理解和学习。著名日本科学家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年可能就忘了, 唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益。这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识。（指导教师：*）参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2001.2常心怡.“闲谈”两个重要极限J.高等数学研究,Vol.11,No.4,Jul,2008:8385.3刘连福.两个重要极限的简便证法及评析J.沈阳师范大学学报(自然科学版)2010
