1、毕 业 论 文学生姓名 XXX 学 号 1610010XXX学院 数学科学学院专 业 数学与应用数学题 目 浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/ 博士指导教师2014 年 5 月淮阴师范学院毕业论文1摘 要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词：反证法，适用范围，假设淮阴师范学院毕业论文2Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In th
2、is article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis淮阴师范学院毕业论文3目 录1 引言 .42 反证法的概述 .43 反证法的适用范围 .54 运用反证法应该注意的问题 .10总结 .11参考文
3、献 .12致谢 .13淮阴师范学院毕业论文41 引言1589 年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体 比物体 的重量重很多，则 应比 先abab落地.现在把物体 和 绑在一起成为物体 ，则 = + .一方面，由于 比 要重，它应abcc该比 先落地.另一方面，由于 比 落得快， 、 一起的时候， 应该是“拉了 的后aab腿”迫使 的下落速度减慢，所以，物体 应该比 后落地.这样一来， 应比 先落地又
4、aa应比 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.2 反证法的概述2.1 反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理
5、，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若 则 ”,当 为真，则 （其ABBA中 表示命题 的否定）为真，当 为假，则 为假.B2.2 运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.淮阴师范学院毕业论文52.3 反证法的种类应用反
6、证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用范围我们知道，若一个数学命题形如“若 A 则 B”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1 否定性命题否定性命题即结论以“没有” 、 “不是” 、 “不能”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一
7、般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例 1 设 、 是公比不相等的两个等比数列. ，证明数列 不是等比nanb nncabnc数列.证明 假设 是等比数列.则 ,即nc 21nnc,22211n nnabbab整理得到. 2222211nnnnnn因为 ， 是等比数列，所以 , .由 式可得 nanb 1ab.221nnna设 , ，则 1nq12n.22112nnnabqqb因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等nab021012q比数列公比不相等矛盾.所以 不是等比数列.nc分析 在这题中要求证明 不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，在此
8、时使用反证法，假设 是等比数列，一个数列是等比数列是nc有条件的，这使得证明变得有迹可循.3.2 限定性命题淮阴师范学院毕业论文6限定性命题即结论中含有“至多” 、 “至少” 、 “不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例 2 把 44 位同学分成若干小组，使每组至少有 1 人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成 8 组.证明 假设 44 位同学分成 组， 且 .因为任意两组人数不相等，所以 nN9n个小组的同学总共至少有人数为n.+1123=2因为 ，所以总共人数 人，超过了已知的 44 人，与已知矛盾.所9+n9045以 至多分成
9、 8 组.例 3 设 ,则 ， ， 至少有一个不大于 .,0abc1abc1a2证明 假设 ， ， 都大于 .即1c2, , .1ac12a将三个式子相加，得+ + . （1）b6又因为 , , .将三个式子相加，得12ab12c+ + . （2）ab1ca6结合（1） （2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以 ， ， 至少有一个1bc1a不大于 .3.3 无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例 4 证明 质数的个数是无穷的.证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有 个质数，则可以将全体质数列举如下
10、k.1,23,p令，123.+1kq淮阴师范学院毕业论文7其中， 是自然数.且 不能被 中任何一数整除，所以 是质数.这与假设只qq1,23,.kpq有 个质数 矛盾，因此质数的个数是无穷的.k1,23,kp3.4 唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅有” ， “只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.例 5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.已知点 ，直线 .求证过点 和直线 平行的直线 有且只有一条.plpla证明 假设过点 还有一条直线 与直线 平行. 因为 点 在直线 外,所以 点 和直bplp线 确定一个平面 .
11、在平面 内过点 能作出一条直线与直线 平行.（由平面几何知识得）ll所以直线 存在.因为直线 / / ,所以直线 / .这与直线 ， 共过 点矛盾，故假设alabababp不成立,所以直线 是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.3.5 整除性命题 整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例 6 设 ， 都是整数， 能被 整除，证明 和 都能被 整除.ab2ab3ab3证明 分三种情况：， 都不能被 整除.13因为 不能被 整除，故 不能被 整除.同理 不能被 整除.所以 不能被a2a32b32ab整除，与已知相矛盾.3能被 整除， 不能被 整除.
12、23b由此可知， 能被 整除， 不能被 整除,所以 不能被 整除，与已知相矛盾.2a232ab3不能被 整除， 能被 整除,与 同理， 不能被 整除，与已知相矛盾.2b由 、 、 与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.133.6 某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在使、 “存在满足条件的”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例 7 设 ，求证：对于 ，存在有满足条件的 ，使得,0,1mn,ARB,mn13mn淮阴师范学院毕业论文8成立.证明 假设对于一切的 ，使 恒成立.,01mn13nAmB令 ，则 .0,1mn3B令 ，则 .A令 ,得 .1n1而 ,
13、则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.3B3.7 不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例 8 当 ，证明 .30,2pq2pq证明 假设 则 ，即38pq,()8因为 ，故 .于是32pq()2.322pqpqpq又因为 ，即 ,所以 ，即 , 此式不成立.所以0,020假设不成立，当 时 .3, 例 9 已知 ，且 ，证明 .abcdR1abc221abcdabc证明 假设.221d把 代入前式可得1adbc,22 0abcabc即 .2222d因为 ，所以 .因为 ，则,abcdR0abca
14、abcd与 矛盾.所以假设不成立，原命题成立.0d13.8 起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.淮阴师范学院毕业论文9例 10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线 ， 相交于点 ，证明 ， 只有 一个交点.xyPxyP证明 假设直线 ， 相交不止一个交点.则至少有两个交点 ， .则直线 是由 ，QxP两点确定的直线，直线 是由 ， 两点确定的直线.即由 ， 两点确定了两条直线，QQ， .与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且
15、xy只有一个交点.例 11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.已知 是 的三个内角，求证 中不能有两个钝角.,ABC,ABC证明 假设 中有两个钝角.不妨设 .则, 90, .18ABC则 .0与已知公理“三角形的内角和为 ”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有180两个钝角.例 12 直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、 、 、POOOABC，证明 .ABCP（图 1）证明 假设 不垂直于平面 .如图 1 所示，作 并与平面 相交于点 ，此POPHH时 、 不重合，连接 .由 作 于 ， 于 ，根据三垂线定理知：HHPEOAFB, .EAFB因为 , 是公共边，所以 .因此 = .又 =RtEtOEFO，所以 .所以 .因此， 是 的平分线.同ORttAC理， 是 的平分线.而 和 是两条不重合的直线， 不可能同时作为CCH和 的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立， .AB P
