1、本科学年论文论文题目： 浅议数列发散的方法 学生姓名： 胡泽军 学 号： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 完成日期： 2006 年 12 月 20 日数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法论文题目 浅议数列发散的方法 内 容 摘 要本文论述了数列发散的概念并研究了证明发散的方法。因为数列发散是一个和数列收敛相对应的概念，所以本文首先论述了数列收敛的概念， ，其后引出数列发散的概念，从而进一步研究了数列发散的五种方法。本文共涉及到子数列、无界数列、和数列、柯西收敛准则、和数项级数等相关内容。关键词：数列发散 数列收敛 柯西收敛准则 数项级数数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法目
2、录序言 .1一、数列 n1和数列 的极限 .1（一）数列 和数列 n的极限 .1（二）数列发散 .21.数列发散的概念 .22.利用数列发散的定义证明数列发散 .3二、数列发散的方法 .4（一）利用子数列判别数列发散 .41.子数列 .42.利用子数列判别数列发散 .5（二）无界数列一定发散 .6（三）利用柯西收敛准则的否定叙述判别数列发散 .6（四）收敛数列和发散数列的和一定是发散数列 .7（五）利用数项级数的敛散性判别数列的敛散性 .8参 考 文 献 .9数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法1序言数列发散是一个和数列收敛相反的概念，因此，本文从数列收敛的定义入手，介绍了数列发散的定
3、义，从而进一步研究了数列发散的几种重要的方法.一、数列 和数列 的极限n1（一）数列 和数列 的极限n1为了引入数列发散的概念，我们有必要先讨论 和 这两个数列的极限.我们给出数列n1收敛的定量定义.定义：设有数列 ， 是有限常数.若对任意，总存在正整数 ，对任意正整数 ，na 0N对任意正整数 ，有N，n则称数列的极限是 （或 是数列 的极限）或数列 收敛于 ， 是收敛数列） ，ananana表为：或 nlim)(n数列 收敛于 ，用逻辑符号可简要表为：a有nli,0N an下面我们结解决以上两个数列的极限问题.对于数列 ，我们可以利用数列极限的定义来证明其极限为n1 0证法：直接结不等式
4、，求ann证明： ，要是不等式0数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法2n10成立，解得 .取 ，于是nN1， ， ，有0Nn1n即 收敛于0limnn10而对于数列 明显有： ，不等式（ 且 ）都不成立.aR原因是：如果 ，则 .na则 ,都不 ，当 时，使aNn1n成立n此时，我们就说数列 时发散数列.（二）数列发散通过上一节的讨论，我们初步对数列发散有了一定的了解，现在我们定量的研究数列发散的概念1.数列发散的概念定义：设有数列 ， 是任意实数，若存在一个 ，对于任意的正整数 ，总存在na0N正整数 ，有N ，an数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法3则称数列 是发散数列，
5、如果 是一个固定的常数，则称数列 在发散于 .naana相对于数列 收敛于 的逻辑符号表示法，数列 发散于 也可以用逻辑符号表示为：n有 anlim,0Nnan对于上式，如果 是任意实数，那么数列 就在实数域上发散.2.利用数列发散的定义证明数列发散这种方法是证明数列发散很基础的方法.其思想就是数列发散的定义.所以利用这种方证明数列发散，只需证明有 ,0Nnan“ ”是证题者给出的，给出 之后，证题的关键就是找一个 ，使得N 0时，有不等式 成立.因此，找 是证明数列发散问题的关键.nan例 1. 证明数列 发散.1证法：只需证明， 都不是数列 的极限.Rn1证明： ，分两种情况：0当 . ，
6、 有aN，奇 数 Nn)(0 ；an1)1(0 0当 . ， 有，偶 数 )(0；）（an)(0 0即数列 发散.n1例 2. 证明 在 处发散.证明： ， ， ，有,0210Nn0数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法410n2limn例 3. 证明：数列 发散.n)(2证明： ，分两种情况证明.10当 时， ， ，有aN)(2Nkn ；ak1)(2203当 时， ， ，有 ；2aN)(12Nkn10从而， ,有 ，即数列 发散.Ran)(limn2二、数列发散的方法（一）利用子数列判别数列发散1.子数列讨论数列的敛散性，经常要涉及子数列.现在我们给出子数列的定义.定义：设有数列 。若
7、 是一列正整数，nak),321(则称 是数列 的子数列.4321 knan在数列 中，依次任意选取无限多项就是数列 的一个在数列 .例如，在数列 中，n na依次选取无限多项：就是数列 的一个在数列 .na特别的，选取 与 kn2， NK,有12k： ,153ka数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法5与 ：ka2 ,264ka分别称为数列 的奇数列与偶数列 .n关于在数列 的序号 说明如下：kk1） 是 的函数，即 ，不同的 就是不同的在数列. 是子数列 中的第k )(mnanka项，它是原数列 中的第 项.mnam2） ，总有 .显然，当 无限增大时， 也无限增大.Nkkkk2.利
8、用子数列判别数列发散我们在这一部分给两个定理。定理 1.若数列 任意一个子数列发散，则这个数列 发散.nana定理 2.若数列 的奇、偶子列都收敛，但是奇子列收敛于 ，偶之列收敛于 ，且.则b数列 发散.na下面我们对上述两个定理进行证明。证明定理 1：（反证法）假设 收敛，那么 的任意一个子数列必收敛，这与题设项矛盾 .nana定理 1 成立，证完.证明定理 2: （反证法）假设 收敛，那么其奇、偶子列必收敛与用一个数 .这与题设矛盾.na定理 2 成立，证完.例.证明数列 发散.n)1(证明：当为 奇数时 )(limn当 为偶数时 1)(lin数列 的奇子列收敛于 ，而偶子列收敛于.1数学
9、科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法6由定理 2 得，数列 发散.1n)(（二）无界数列一定发散我们知道“单调有界数列必收敛” ，那么，无界数列是否一定发散呢？定理 3 无界数列一定发散.证明：(反证法)设数列 收敛于 ，那么由极限定义，一定存在正整数 ,当 时，有na Nn，即存在 时， ，又令 分别为前 项中1N1anmM1的最大值与最小值，那么又对任意的正整数 有 a,inma,x即奇数列 有界，从而无界数列一定发散 .n注：证明中的“ ”可以是任意正整数 分别表示两个书中的较小值和较1ba,in,mx大值.但是注意：定理 3 的逆命题不成立.例如数列 没极限，但是有界.1,0例 证
10、明数列 发散.2n证法：只需证明数列 无界.2,要是不等式NM成立.n2解得 取 M对 ,都存在一个 使得 成立.NNnn2数列 无界.2n数列 无界. 证完.数学科学学院本科学年论文 浅议数列发散的方法7（三）利用柯西收敛准则的否定叙述判别数列发散柯西收敛收敛准则：数列 收敛 ， ， ，有na0Nmn,m柯西收敛收敛准则的否定叙述：数列 发散 ，n0， ，有 Nmn, 00mna注：柯西收敛收敛准则有两个优点:一是它不需要借助数列以外的任何数，只需根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性；另一个是它不仅是数列收敛的充分条件，还是必要条件。因此，应用其否定叙述证明数列的发散性是证明数列发散的很重要的方法.例. 证明若 ，则数列 发散.nyn1321ny证明. ， K, 有00Nm2,my112 m2201根据柯西收敛准则的否定叙述，数列 发散.ny（四）收敛数列和发散数列的和一定是发散数列定理：收敛数列和发散数列的和一定是发散数列.对于这个定理的证明我们可以用反证法.证明：假设收敛数列 和发散数列 的和数列是 ，且 是收敛数列.nanbncn那么 的的任一子数列必发散，又因为 和 是 的子数列ncab所以数列 和 必收敛，这与题设矛盾，所以假设不成立，原命题成立，证完.n例：证明数列 发散1
