1、 1 / 12四川省高等教育自学考试专业本科毕业论文（ 初稿 ）题 目：浅谈函数概念的教学和一些应用指导教师：_周 思 波_准考证号：_ _150207200514_ 考生姓名：_ 程 伟_ 巴 中 市（地、州）巴 州县（市、区）工作单位：_无_写作时间：_2012.1-2011.2.5_2 / 12浅谈函数概念的教学和一些应用指导老师：周思波 作者：程伟 准考证号：150207200514【内容摘要】：本文通过对函数概念的理解和梳理，归纳出函数概念在中学的教学及其函数的一些应用。【关 键 词】：函数的概念 定义域 值域 函数的应用前言： 函数概念是中学数学的基础，也是重要内容。从概念上把握函
2、数，不仅可以彻底理解函数，而且有助于函数定性的分析和以后的数学学习，函数概念是中学课程中的重要内容，基础内容，因此它在理论上有着重要的地位，特别是在它的应用上。本文只通过对函数的概念理解，简单地归纳出函数在中学中的一些简单的应用。一：函数的概念的学习是其他特殊函数及以后数学学习的基础函数是反映客观世界数量关系和变化规律的一种重要模型，它的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容。学生对函数产生理性认识应该基于函数概念的学习。函数概念的形成与发展经历了漫长的过程，正如其形成与发展的历史一样，学生对函数概念的认识与理解也是漫长与曲折的。在中学的数学教学中，应正确引导学生认识与理解函数概念且灵活地应
3、用函数。在整个中学数学学习阶段中，初中阶段讲述了函数的概念及几种特殊的函数（如：一次函数，反比例函数，二次函数） ，而在高中数学学习的阶段又在次讲到函数的概念，也讲了一些特殊函数（如：指数函数，对数函数，三角函数等） ，在初中和高中这两个阶段中都讲了函数的概念，但是这两阶段对函数概念的严密性的处理不太一样，作为中学教师有必要在高中阶段讲述中区别一下这两个阶段函数概念的严密性，有助于高中学生在此学习函数时的一个深刻理解，就不让学生感到“初中已经学习了函数，高中为什么又要学习函数”的谜团之中。 下面对中学的两个函数概念的教学做一个区别：看看初中的函数概念：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，
4、对于 x的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是应变量。 相应高中的函数概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f (x)| xA 叫做函数的值域在教学中，有必要区分相同和不同之处，有助于学生理解。在这两个概念中，相同之处： 在 A 集合（自变
5、量集合）的任意一个元素 x，即 A 集合的每一个元素必须对应完，元素的任意性；在 B 集合中（应变量集合）都有唯一确定的数 f(x)，B 集合中元素的唯一性，即是每一个 A 集合中的元素，B 集合中有且只3 / 12有一个元素与之对应，但是 B 集合中的元素不一定对应完； 都有一定的对应关系不同之处：初中用 y，而高中用 f(x)，但没有实质上的区别，只是突出了应变量与自变量的对应关系，还可以用其他的，如： h（ x） ， g(x) 等； 在高中阶段强调的是 A,B 为非空的集合。 A,B集合必须为数集。在这两个概念中，按照初中的定义，有些则不满足函数的概念，而符合后面的映射的定义，这也说明函
6、数是特殊的映射，映射未必是函数。老师用以区分的讲解这些内容有助于学生再次学习函数而不被有所困惑，便于理解。而一次函数，反比例函数，二次函数以及高中的指数函数，对数函数，三角函数等都是建立在对函数的概念充分的理解上学习的，弄懂了函数的概念，更有助于学生对这些特殊函数的认识，以加以学习。二 函数概念中的三要素和函数概念中的定义域一些常用的求法1. 函数概念中的三要素在两个函数概念中，初中概念中，x 叫自变量， y 叫因变量，而在高中x 的取值范围用集合表示叫做定义域 A，与 x 对应的 y 值的取值范围用集合f(x)| xA 表示叫做值域 C，这两种叫法没有实质上的区分，只是用没用集合表示没有而已
7、！在高中的教学中要特别的提到，在函数的定义中，用的是 B 集合，而这里值域我用的是 C 集合，因为 B 集合不一定是值域，只有A 集合中的元素 x 对应的 y 值组成的集合才是值域，而 B 集合中的元素有可能没有对应完，所以 B 集合不一定是值域，即值域 C 是集合 B 的一个子集；讲了函数的定义域和值域，在概念中另一个重要的元素就是对应法则，函数的对应法则可以是解析式，图像以及列表，在初中教学中不怎么谈到解析式的求法，在这里着重谈谈解析式的一些求法，如下：(1)：拼凑法 拼凑法不是对所有题型都能行，而且能行的题目中也要求学生对数学基础掌握比较好，才用此方法，一般不用。（拼凑法拼凑成相同的形式
8、，利用整体的思想）例：已知函数 f（x 2+2）= x4+x2+2 xR,，求解析式 f(x).解析：已知 f（x 2+2）= x4+x2+2 xR,所以 f（x 2+2）= x4+x2+2= x4+4x4+4 -3x2-6+4=(x2+2)2 (x2+2)+4在这里把 x2+2 整体当成 m所以 f(m)= m2-3m+4即 f(x)= x2-3x+4 xR,(2): 换元法 换元法是将函数方程中的变量进行适当的换元，使得到一个新的函数返程，在与原方程构成一个方程组，然后解此方程组可求出原方程的解，但是注意在换元的过程中也许是函数的定义域发生了变化，需通过验证证实。4 / 12例：设 F(x
9、)是除 x=0 以及 x=1 以外的一切实数有定义的实值函数，并且F(x)+F( )=1+x ， 求 f(x)x1解析：以题目中的 代 x 得F ( )+F( )= 1x12在中，以 代 x 得F( )+F(x)= x112由原题目方程以及，消去 F( )，F( )得x1xF(x) = ( x0 , x1)1(23x(3)：待定系数法 待定系数法主要用于解决多项式函数，那么我们可能确定多项式函数的次数，写出它的一般表达式，然后根据已知条件，利用多项式等条件确定系数，求出多项式函数。 例：设 n 次多项式函数满足 f(k)= , (k=0,1 , n)。求1kf(n+1)解析：由题设有：（k+1
10、）f(k)-k=0 (k=0,1 , n)设 n+1 次多项式为 F(x)=(x +1)f(x)-x F(x)的 n+1 个根 x=0,1 , n 于是F(x)=ax（x-1） （ x-2） 。 。 。 （x-n ） 其中 a 为待定系数在中令 x=-1，得1=a( -1)n+1(n+1)！所以 a= !1n故 f（x）= x(x-1)(x-2)(x+n)+x )!(5 / 12从而 f(n+1)= ( -1)n+1+(n+1) 21n1 （n 为奇数）= (n 为偶数)函数的解析式的求法颇多，上面只介绍这几种中学常用的求法。比如还有递归法，赋值法，数学归纳法，反证法， ，不动点法等等，这些不
11、常用的求法，对于基础好的学生可以加以课后补讲，对于基础稍差的适当处理，让学生尽量提高自己。在上面谈到了定义域，对应法则，值域，这三者就是函数的三要素，而往往在确定一个函数时，不是函数的三要素都齐才能确定一个函数，例如在证明初中证明全等三角形时，三角形六要素，而只要了三要素就可以证明三角形全等，在这里确定一个函数时，定义域和对应法则确定了，函数也就确定了，因为值域由定义域和对应法则确定，这也是确定两个函数是否为同一函数的依据。例：f （ x） =x 与 g（ x） = 就是同一函数（xR, f（ x）3=g（ x） =x） ，而 f(x)= x0 与 g(x)=1 就不是同一函数，在这两个函数中
12、，对应法则化简都一样，而 f(x)= x0 定义域为(x|x0,且xR)，而 g(x)=1 的定义域为 xR,因为定义域不同，所以不是同一函数。2函数概念中的定义域一些常用的求法在中学函数概念教学中，在初中已经提及了自变量的取值范围的求法，在高中阶段有更加深层次的要求，在做函数题目时定义域先行，所以这里总结一些中学求定义域的一些常用求法（1）在一个函数的解析式中，有分母则分母不能为零。（2）在一个函数的解析式中，偶次根式下的解析式为非负数。（3）在一个函数的解析式中，零次方幂底数不能为零。（4）在一些实际问题中，定义域要满足题设所需。（5）在一上几种的综合函数解析式中，分别求然后取求出来的交集
13、。（6）下面着重谈谈无解析式的函数定义域的求法，在谈无解析式的定义域的求法时先强调一点，对于函数 y=f(x)的定义域是指 f(x) 中的 x 的取值范围的集合，而不是指像 x2 等什么的取值范围的集合，如 y= f(x2) 中的定义域是指的 x 的取值范围的集合，而不是指 x2的取值范围的集合。例 1. 已知函数 y=f(x)的定义域为 2, 4，求 y=f(x2)的定义域。解析： 因为 y=f(x) 的定义域为 2, 4即 2 x4而 y=f( x2)中的 x2 的相当于 y=f(x) 的 x， （也可以6 / 12还原一下，即 m= x2 即 y=f(m) ）所以 2 x2 4所以 x-
14、2, - U , 2 2 2所以 y=f(x2)的定义域为 -2, - U , 2 2 2例 2已知函数 y=f(x2)的定义域为 2, 4，求 y=f(x)的定义域。解析：因为 y=f(x2) 的定义域为 2, 4即 2 x4而 y=f( x)中的 x 的相当于 y=f(x2) 的 x2所以 在 y=f( x2 )中 2 x4 4 x2 16即在 y=f(x)中 4 x 16（ 注 ： 也 可 以 用 还 原 的 思想 ）所以 y=f(x)的定义域为 4, 16 上面两个例子无解析式求定义域容易使学生困惑，所以尽量让学生多加练习多家体会，已达到熟能生巧的地步。三 函数概念中值域的一些常用求法
15、在函数概念中，y 的取值范围即值域，学生初次接触求值域，很容易与求定义域混淆，又加上值域的求法也是中学函数概念中的重要内容，所以下面归纳一些中学可能用到的常用求值域的方法。1 图像法 通过做出函数的图像草图得到求值域的方法例：求函数 y=2 x2 -4x+1 ( 0 x 3 ) 的值域。解析： y=2 x2 -4x+1=2 (x-1)2 1 ( 0 x 3 )依据函数的图像可得，当 x=1 时，y min= -1;当 x=3 时ymax=7，所以该函数的值域为-1,7.2. 分离常数法形如 的函数均可由此法求得值域。)0(cdxba例：求函数 的值域。1y解析： 函数的定义域为x x-1 且
16、xR12)1(x因 为而 0 2x所以 y1 即值域为y y 1 且 yR用此方法做题时要注意自变量 x 的广泛性如：x 为 x2,ax,logax等等。3. 反函数法 利用函数和它的反函数定义域与值域互逆的关系，通过求反函数的 定义域而得原函数值域。7 / 12例：求函数 的值域。1xey解析：由 得x 01,0;1yeyexx 所 以因 为所以函数的值域为 y(-1,1 )注意：形如 的函数也可以用此种方法求值域。)(cdxbay一个题型的方法是多样的。当然也应注意自变量 x 的广泛性如：x 为 x2,ax,logax等等。4 判别式法把函数转化为关于 x 的二次方程，通过方程有实根即判别
17、式大于等于零，求得值域的一种方法。形如 且定义域必)0(2 egfxecby须为的函数可由此法求解值域。例：求函数 的值域1342xy解析：由 可得 。0342yx(1) 当 y=0 时 ；.(2) 当 时0y .410)3(416, yyRx所 以因 为所以综上可得所求值域为-1,4。5. 换原法运用换元手段将函数化成值域易求的另一函数，进而求其值域。形如的函数示值域常用此法。)0(acdxbay例：求函数 的值域。12xy解析：令 )0(t则 .)1(2,2ttyx所 以易得 ).,1y8 / 12所以所求函数的值域为 ).,216. 单调性法所给函数在其定义域内是单调函数，则由其定义域立
18、即可求得其值域例：求函数 y=2 x2 -4x+1 ( 0 x 3 ) 的值域。解析： y=2 x2 -4x+1=2 ( x-1 )2 1 ( 0 x 3 )易知道函数在1, +)是单调增函数，所以在 1 x 3有 ： 当 x=1 时，y min= -1;当 x=3 时 ymax=7，而函数在（-，1上是单调减函数，所以在 0 x 1 有 ： 当x=0 时，y max=1;当 x=1 时，y min= -1所以综上所述函数的值域为-1,7.7数形结合法 利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域例：求函数 的值域。21xy解析：此函数所表示的几何意义是：数轴上的动点 x 到定点-1
19、 与定点 2 的距离之和。作图易知最小距离是 3.没有最大值，所以函数的值域为 ).,3y8消元转化法 对于二元函数求值域，我们通常借助消元将它转化为一元函数，然后再求值域。但这时特别要注意的是自变量的取值范围的准确性，否则会导致结果错误例：已知 ，求 的取值范围。x2y22y解：因为 ， 。22x所 以从而 ，2yx1)(x22又 0,22 因 为。4,02yx所 以所以所求表达式的取值范围为 0,4 9. 均值不等式法若函数形如 ，可以用此方法，但要注意定义域的取值)0(axy范围要求。9 / 12例：求函数 的值域。xy1解析：由题意的函数的定义域为xx0, 且 xR(1) 当 x0 时
20、， 2 =2xy1.(2) 当 x0 时， -2 =-2)(.x所以所求函数值域为（-, -2U 2, + ）10. 构造法有时所给函数的解析式形式酷似某个数学公式，如两点间距离公式，斜率公式等，若能从此角度考虑问题，我们的思维便可得以迁移，进而使值域可求。例：求函数 的值域。222xxy解析： = 2222 )01()()01()( xx由两点间距离公式可知它表示动点(x,1)到定点(-1,0)与(1,0)的距离和，如图。作 A 关于 y=1 的对称点 A(-1,2)，由解几知识易知：PA+PB=PA+PBA B= .2即原函数的值域为 ).,y函数的值域的求法很多，如可以通过求导，方程的观
21、点， ，借助几何图形等等求值域。这里主要列举了中学的一些常用求法，让学生多多理解加以贯通，为后面的学习打下坚实的基础。四 函数在中学数学的一些应用对于中学数学而言,函数的应用主要表现在两个方面：一是借助一些有关初等函数,解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中,通过建立函数关系式,把所研究的问题转化为 BOyxAP10 / 12讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.例 1. 对于任意实数 ， ( i=1,2,3,n), 都有不等式iaib 并且当且仅当 =k 时，即 ， 21)(inib )121nini iaibiaib（i=1,2,3,
22、n）成比例时等号成立 （柯西不等式）证明： （i=1,2,3,n）全为零时，命题显然成立，如i果 不全为零，考虑二次函数ibf(x)= 2 x +1)(xni )(1inibani12因为 ， R,，有iaibf(x)= 021)(niiix因此 f(x)的判别式不大于零，即- 4 021)(iniba)(121ninib所以 21)(ini)(121ninia当且仅当 f(x)有二重根 x=k，即 =0 时等号成立，21)(niiixb由此可推得当且仅当 k- =0 或 =k （i=1,2,3,n）时等ibiaii号成立。本题通过巧妙地构造二次函数，利用二次函数的性质得到解决。例 2a、b、 c R. 求证： |1|1|1cbacba证明： 构造函数 f(x)= , x0, +) 则当 0x1x2 时 ,f (x2)-f(x1)= )(1212 所 以 函 数 f(x)= 在 0, +)上市严格递增的.由|a+b+c| |a|+|b|+|c| 有 f(|a+b+c|) f(|a|+|b|+|c|)
