1、咸阳师范学院 2012 本科毕业论文（设计）浅谈数学中的反证法摘 要反证法是数学中一个从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明法”一类。基本步骤即：对题目中给出的已知条件予以肯定而否定需证明的结论，从而利用否定后的结论和原命题中的已知条件进行正确的推理导出矛盾，从而以此来肯定原命题结论的正确性。本文的主要内容是先对反证法的定义、逻辑依据、证明步骤、证明过程中如何正确否定命题结论及常见的矛盾形式等作一简单阐述。接着将反证法所适用的命题形式大致分为八种一一作详细的论述，这八种命题是：基本命题、限定式命题、存在性命题、无穷性命题、唯一性命题、否定性命题、肯定性命题、一些不等式命题，最后在本文结
2、束前列举两个关于反证法在生活中的实际应用。关键词：反证法；证明；假设；矛盾；结论 浅谈数学中的反证法AbstractThe reductio ad absurdum method of proof of mathematics from the opposite point of view think, belong to a class of “indirect proof of the Law. Basic steps: given the known conditions in the title be sure to negate the need to prove the concl
3、usion, which deny the conclusions and the known conditions in the original proposition for correct reasoning export contradiction, so in order to affirm the original proposition conclusions are correct. The main content of this article is the first on the definition of reductio ad absurdum, the rati
4、onale supporting the steps to prove the process of how to properly deny the proposition conclusions and contradictions form a simple set. Then the reductio ad absurdum of the applicable form of the proposition is broadly divided into eight kinds of eleven for a detailed discussion of the eight propo
5、sitions: the basic proposition, limit the type proposition, the existence of propositions, endless proposition, the only proposition, negative proposition, certainly sexual proposition, some inequalities proposition, the last before the end of this article cited two of reductio ad absurdum in the re
6、al-life applications.keywords：Reductio ad absurdum;Prove;Hypothesis;Contradiction;Conclusion咸阳师范学院 2012 本科毕业论文（设计）1.研 究 反 证 法 的 必 要 性我们在解决数学问题时，一般总是习惯从正面入手，利用常规的思维方式来进行思考，以便找到解决问题的方法，这被称之为正向思维。在学习和应用的过程中如果我们长期使用这种思维模式来解决问题就会形成一种思维定势，从而导致自身思维方式单一性，也不利于自己思维广度和深度的发展。在实际生活和学习中我们往往会遇到一些较为特殊的问题，有些难以从正面找到突
7、破口，有些不太符合我们惯常的逻辑方式，这时就要以辩证的态度打破常规方式，运用逆向思维分析解决问题，即运用反证法的思想去解决问题。尤其在数学命题的证明中，反证法能往往可以起到直接证法所起不到的作用。如果能恰当地使用反证法，就可以简化、缩短问题解决过程。与此同时，现代教育理念也要求教师在数学教学的过程中有意识地向学生渗透从反面出发寻找解决问题的思维方法，培养学生的逆向思维能力，这对于发展学生的智力，培养学生的思维能力等方面都起到至关重要的作用。牛顿也曾说反证法是数学家最精当的武器之一。这些充分肯定了这一方法在数学中的积极作用和不可动摇的重要地位。针对我国教育现状制定的数学课程目标中明确指出了反证法
8、的重要性。教育部于 2001 年制订的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)中就指出: “应关注证明的必要性、基本过程和基本方法” ， “反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想。但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。 ”在普通高中数学课程标准)(实验稿)中也要求学生结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法，并且了解反证法的思维方式、思维特点。结合我自己的学习经历发现掌握反证法不仅对初高中阶段的数学学习和逻辑思维能力的培养具有重要的促进作用，并且对大学阶段的数学学习具有不可小觑的积极作用。由于反证法所蕴涵的具有严密逻辑性的思
9、维方式，所以此类型题型也是各类考试的必考点。这更进一步说明了反证法在数学教学中的重要性。作为数学中如此重要的一种证明方法，反证法在训练学生思维方式方面的重要性以及其在数学课程目标中的重要性，这些都有力的说明了研究反证法的必要性。2.有 关 反 证 法 的 基 本 内 容本小节中，我将主要就反证法的定义、逻辑依据、证明步骤以及在应用反证法是应该注意的问题做一详细论述。浅谈数学中的反证法2.1. 反证法的文字定义反 证 法 （又称归谬法、背理法）属于“间接证明法”一类，是从问题的相反方向着手思考问题的证明方法。法国数学家阿达玛对反证法的实质概括为：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
10、具体的讲就是:首先假设待证问题结论的反面不成立,也就是肯定待证结论的反面,并把这一点作为补充,添加到给定的假设中去,然后从原假设和补充假设出发,通过正确的推理,最终得出矛盾,由此说明待证结论的反面不成立,从而即可肯定待证的结论。在使用反证法证明题目的时候，如果不用到“假设” ，就不能称之为反证法。一般可以将反证法“归谬法”和“穷举法” 。 “归谬法 ”一般是指经过正确的假设之后，需要证明的情况只有一种；“穷举法” 则是指结论的反面有多种情况，这时就需要将所有的反面情况一一驳倒。 例 1 已知ABC 的三边为 a， b， c， 09C，求证： 2abc。证明：假设 2abc因为ABC 是直角三角
11、形，且 0，所以 22c，即 2cab。由假设可得 ()ab，则有 22()()ab220()ab这与结论 2()0ab相矛盾，因此假设不成立，所以 2abc2.2. 反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律矛盾律和排中律。 “矛盾律”的意思是：在同一个论证的过程中如果出现两个相反论断或互相否定的论断，那么其中至少有一个是假的。而“排中律”的意思则是说：任何一个判断只有两种结果，或者为真或者为假，二者中必然存在一种。矛盾律是传统逻辑的基本规律之一。它的表述方式为“A 不是非 A，或 A咸阳师范学院 2012 本科毕业论文（设计）不能既是 B 又不是 B。 ”这句话可以理解为在
12、一个持续的思维过程中，对同一个对象不能既肯定它又同时否定它，这样就等于作出了一个自相矛盾的判断。在此领域内，矛盾律首先被作为描述事物规律而提出来，意思是任何一个事物不能同时既具有某种属性又不具有这一属性。要是把它作为思维规律来理解，则意思是任何一个命题不能既是真的同时又是假的。矛盾律也是一种认识活动的规范性规律，意思是为不应对一个命题同时给予肯定和否定 ，也就是说对一个命题的正反两方面不应该都表示赞同，以免自相矛盾。矛盾律还被看成是关于逻辑语义的规律，在此要求针对同一篇文章，同一个词语或句子不应该既表达某种思想同时又否定 这种思想。在思考过程中一旦违背了矛盾律的要求，那么思维就会走进一个逻辑自
13、相矛盾的怪圈 。而任何含有逻辑矛盾的思想都是错误的，所以一个正确的思想就必须剔除这种矛盾性。排中律也是传统逻辑基本规律之一。通常的表述方式为“A 是 B 或不是B。 ”在传统逻辑中，排中律也被当做事物规律、思维规律、认识活动的规范性规律以及逻辑语义的规律。它与矛盾律的不同之处在于要求人们思维必须明确是与不是。排中律是对矛盾律的补充和发挥，进一步明确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾而且应该明确地表示出肯定还是否定，不可以模棱两可或含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，如果违反了排中律，则同时也就违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律表示两个互相矛盾的判断，不能同时
14、为真；排中律则指出两个互相矛盾判断，不能同时为假。2.3. 反证法的证明步骤一般将反证法的证明步骤分为三步第一步 假设：假设所要证明的结论不成立，而假设结论的反面成立；第二步 归谬：由“假设”出发，通过正确的推理得出与已知的条件 已知的公理已知的定理已知的定义及明显的事实等矛盾，或者自相矛盾的结论。（由矛盾律得）第三步 结论：因为推理正确，那么可以肯定产生矛盾的原因就在于“ 假设”的错误，由于结论的反面不成立，从而证明了原结论成立。 （由排中律得）由以上的证明步骤可以看出，反证法的每一步骤都有其逻辑依据，因此它是一种科学的证明方法。下面用一个例题来详细分析它的证明步骤。例 2 如果 a 是大于
15、 1 的整数，而所有不大于 a-1 的素数都不能整除 a，则 a 是浅谈数学中的反证法素数。证明：假设：假设 是合数，记a(,1)abczbc归谬：由于 不能被大于 1 且不大于 的素数整除1所以 ,bc,从而 ,这与假设 矛盾，bcaabc结论：故 是素数。a2.4. 运用反证法应注意的问题对于多数比较特殊的数学命题都可以用反证法证明，但在使用时会因为题目的不同而表现出会各异的难易程度。因此，尽管说反证法是数学中一种重要的证明方法，但这并不意味着所有的命题都适合用此种方法来证明。一般在证明命题时，要先用正向思维的方式，如果遇到困难时再考虑反证法。以下我将针对反证法的证明特点就如何正确否定命题
16、和常见的矛盾形式作简单阐述。2.4.1 如何正确的否定命题运用反证法证明命题的第一步就是假设命题的结论不成立，意思就是假设结论的反面成立。在这一步中，必须注意合理正确的“否定结论” 。如果假设错误，即使在之后的推理证明过程中再好也是徒劳无功，因此可以说正确否定命题是运用反证法的前提。在否定命题的结论之前，首先要清楚命题的结论是什么。当命题结论的反面只有一种情况或很明显时就比较容易正确否定，如果命题结论的反面有多种情况或难以否定时就必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头验证一下此时“ 假设”的反面是不是刚好是原命题的结论。例如：命题“一个三角形中，至少有一个内角是锐角” 。在此命题中
17、 “至少有一个”的意思是“可能有一个、两个或全都是锐角这三种不同的情况” ，它的反面就是“没有一个是锐角” 。现在将常见的结论及其否定形式列表如下：表 1 常见结论极其否定形式咸阳师范学院 2012 本科毕业论文（设计）2.4.2 常见的矛盾形式运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，通过正确有效的推理论证，得出矛盾。在证明过程中出现的矛盾形式是各种各样的，这些矛盾可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义、公理、定理或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能推出一对相互矛盾的结果等。在这一过程中，整个推理必须准确无误，这样最后得出的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题来说什么时
18、候出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可知的，这种不确定性正是反证法推理的特点所在。因此，在推理结束前没有必要也不可能预测到要得出什么样的矛盾。要做的只是按照反证法的证明步骤先正确否定结论，再严格遵循推理原则，进行步步有据的推理，一旦出现矛盾，也就预示着证明结束。例 3 求证大于 1 的任何整数一定有质因数。证明：假设至少有一个大于 1 的整数 没有质因数，n即 且不是质数（因为质数本身是质因数） ，则 必为合数。n n因为 为合数，则 必有一个不等于 的真因数 ，故 ，11这里 也必不是质数（否则， 有质因数） ；同理， 也有一个质因数 ,1 n 2n使 ， 也必不是质数。依次类推，可得 。2n2
19、 21n这表明，在 与 1 之间有无限多个不同的整数， 这与一个确定的整数 与 1 之间只能有有限个不同的整数有矛盾。n由矛盾得出假设不成立，则大于 1 的任何整数一定有质因数。原结论词 假设词 原结论词 假设词是 不是 不存在 存在都是 不都是 至多有一个 至少有两个（或） （或） 至少有 n 个 至多有 n1 个浅谈数学中的反证法3.反 证 法 的 实 际 应 用3.1反证法适用的命题形式3.1.1 基本命题基本命题，即学科中的起始性命题。这一类的命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则比较少，或由题设条件所能推出的结论很少，所以直接证明起来比较困难，此时如果使用反证法就比较容易了。像
20、平面几何、立体几何等，在按照公理化方法建立它们的科学体系时，最初只有少量的定义、公理可以应用。因此，初始阶段的一些性质和定理很难通过直接推理得到，这事就比较适合使用反证法来证明。例 4 求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。证明： 假设这两条直线 a，b 有两个公共点 A，B， 那么 A，B 既在直线 a 上，也在直线 b 上， 因为过两点可确定一条直线， 所以直线 a，直线 b 重合，这与题设矛盾。因此假设不成立， 原命题正确。3.1.2 限定式命题限定式命题，一般指结论中含有“至少” 、 “至多”等词语的命题。这一类别的命题可根据常用词的否定形式列表先给出正确的否定，然后再正确有效的进
21、行推理。例 5 已知函数 ()yfx在 R上递增，试证明方程 (),)fxcR为 常 数 至多有唯一实根。证明：假设方程 ()fc有两个不同实根 1、 2，则 1()f， 2()fxc；不妨设 12x，根据 ()yfx在 R上递增， 2x，此与 ()ffc矛盾，因此方程 x至多有唯一实根。咸阳师范学院 2012 本科毕业论文（设计）3.1.3 存在性命题存在性命题，即结论中含有“存在使成立”词语的命题。此类命题要先将满足条件后才成立的结论进行正确反设，然后运用反证法的证明步骤进行推理得出矛盾，完成证明。例 6 设x，y0 , 1,求证:对于a, bR ,必存在满足条件的x, y,使|xy -
22、ax - by| 成31证明：假设对于一切x , y0 , 1使|xy - ax- by| 恒成立，31令x = 0 , y = 1 ,则|b| 31令x = 1 , y = 0 , 得| a| 令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| 但| 1 - a - b| 1 - | a| - | b| 1 - - =31产生矛盾,故欲证结论正确。3.1.4 无穷性命题无穷性命题一般是指需证明的结论有无穷多种形式或结果，一般假设其结果只有有限个，然后通过合理有效的推理得出除过已知的这有限个外还存在另外一个满足条件的形式或结果，以此来推出矛盾，达到证明的目的。例 7 求证：素数有无穷多个。证明
23、：假设素数只有 n 个： P 1、P 2Pn，取整数 N=P1P2Pn+1，显然 N 不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者 N 本身就是素数（显然 N 不等于“P1、P2、Pn”中任何一个） ，或者 N 含有除这 n 个素数以外的素数 r，这些都与素数只有 n 个的 假定相矛盾。故素数个数不可能是有限的，即为无限的。浅谈数学中的反证法3.1.5 唯一性命题唯一性命题，即结果指定唯一的命题。一般情况下假设存在两个满足条件的数或结论 ，然后进行有效的推理证明得出它们相等，从而肯定满足条件的结果只有一个。例 8 已知 证明 的方程 有且只有一个根。,0axba证明：由于 因此方程至少有一个根，
24、假设此方程有两个不同的根 21,x即 将两式相减，得： =0 bx12 )(21xa因为 ，所以 ，所以应有 ，这与已知矛盾，021x0故假设错误。所以，当 时，方程 有且只有一个根。abx3.1.6 否定性命题否定式命题，即结论中含有“不是” 、 “不可能” 、 “不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例 9 证明：不存在整数 ,mn，使得 206n成立。证明：假设存在整数 ，使得 成立。则 206n，于是有 ()2。因为 、 得奇偶性相同若 m、 同为奇数，则它们的积也是奇数，这与 2006 的奇偶性矛盾。若 n、 同为偶数，则它们的积能被 4 整除，而 2064512，矛盾。综上所述假设不成立，则原命题成立。3.1.7 肯定性命题即结论以“总是” 、 “都” 、 “全”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例 10 证明 是无理数2
