1、 用高数观点透视近几年的高考数学试题学生:汪子鹏 指导老师:胡付高孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000摘要 随着新课标准的实施,在近几年的高考中出现了一些有着一定的高等数学背景的试题,这主要源于两个主要因素:一是这种题型形式新颖,既能开阔数学视野,有利于高等数学与初等数学的和谐接轨,又能有效地考察学生的思维能力,尤其是创新能力;二是随着高考命题改革的逐步深入.自主命题的省市越来越多,命题组成成员中大多是大学教师,他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响.本文将列举几例以示说明.关键词 连续函数;最大(小)值;递推数列;不动点;凹凸性perspective the mathemati
2、cs test question in recent years college entrance examinationwith the viewpoint in high school mathematicsWang Zi-pengXiaogan College of Mathematics and Statistics Institute HuBei XiaoGan 432000 Abstract: With the implementation of standard courses,College entrance examination in recent years there
3、have been some of the higher mathematics is a certain background questions,This is mainly due to two main factors: First, this form of novel questions, Mathematics can broaden horizons,In favor of higher mathematics and the harmonious integration of Elementary Mathematics,Can effectively study the t
4、hinking ability of students, In particular the ability to innovate, Second, test the proposition with the gradual deepening of the reform. Autonomy of the provinces and cities proposition, more and more, Proposition composed of members, mostly university teachers. Proposition when they can not be fr
5、ee from the impact of their research background. This article will list a few examples to show that.Key words: Continuous function; the (min)value; recursive series; fixed point;concavity and convexity0 引言代数推理,递推数列,极限与求导方法的应用,不动点问题,数列极限的一些特性,函数图象的凸性等具有高等数学倾向的问题逐步走进高考,虽然它们对解决问题的逻辑依据不高,但是通过直观化,却可以成为命题
6、和解决命题的基础.下面将列举几例,意在结合有关研究和分析,尝试着预测今后可能与高数思想相联系的高考试题趋势和方向.1 2008 年高考数学的一个新亮点 ?猜想题在近几年的高考数学题中,有不少属于猜想题,它们有的是通过观察猜想结果不要求证明,有的要求先猜想再证明.究其原因主要是由于高中知识的局限性或问题的困难性,导致不能奢求考生给出完整的求解过程.如果站在比较高的观点,用高等数学方法解析这些问题,以揭示试题的制作背景及题目本身所蕴涵的一些深层次结论.下面将结合 2008 年最新高考的重庆卷、湖北卷中实例加以分析说明.例 1 2008 年重庆卷第 22 题 设各项均为正数的数列满足,(1)若,求,
7、并猜想的值不需要证明;(2)记,若对恒成立,求的值及数列的通项公式.参考答案中是用的值,来猜想的值,我们关心的是能否不通过猜想而直接求出通项.为此,我们首先看看另一道 2008 年广东的高考试题.例 2 2008 年广东卷第 21 题 设为实数,是方程的两个实根,数列满足.(1)证明: ,;(2)求数列的通项公式;(3)若,求的前项和.解 (1)、(3)解答从略.(2)由(1)得,则,同理有,消去,得,当时,有(1)当时,由不难得到(2)将,代入(1),(2)试得到数列的通项公式为(3)由例 2 再回头看例 1,下面利用例 2 的结论给出例 1 的一个新解法:例 1 的解答 (1)对取对数,并
8、记?,则,其中.由例 2 之 1 试,可得数列的通项公式为,于是().从而.(2)由于?,故由例 2 之(1)式,可以得到,即对于恒有 (4)特别的,在(4)式中取,有,再在 4 式中令,得(5)如果,在(5)式中令,产生矛盾,故只能有,于是此时由例 2 之 1 式,得,故,所以,.例 3 (2008 湖北卷) 观察下列等式:,可以推测,当()时, , 这种自然数方幂和的和式,这是一个古典的幂和问题.自从希腊数学家阿基米德开始研究,一直是许多中外数学家、学者研究的热点,得到了很多有益的结果1-4. 这些文献中无一例外的,都是给出与中系数的一些递推关系式,利用递推公式得到幂和的各项系数,通常的处
9、理方法是对递推公式进行简化,以方便计算 对于本例题, 在文献5中作者指出:“2008年湖北卷顺应潮流,积极探索创新,所命制的理科卷第 15 题,立意新颖,背景深刻,它源于雅各?伯努利(Jacob Bernoulli)数,即前个正整数同次幂求和问题 ,主要考查考生的直觉观察意识、合情推理能力和正确理解抽象数字符号语言的能力,是一道渗透新课程理念的创新题型.通过观察前 6 个幂和等式的系数规律,得出相关项系数的一般性结论,充分体现了辩证地运用特殊与一般的数学思想方法解题的能力” .对于这种类比归纳型创新试题,要求考生用发散思维方法联想、类比、推广、转化,获得新发现,提出新问题,寻求新规律,对广大高
10、中生而言,具有相当的难度.下面给出一个新的方法,将给出和式中系数所满足的一个上三角形线性方程组,尝试利用该方程组计算中系数.定理 1 设自然数方幂和,则所有系数必满足线性方程组 (6)证明 由,又由于比较系数,即得(6)成立.下面利用定理 1 的(6)来解决上述例 3,来看(6)的最后的 4 个方程:从最后一个方程开始,依次经过化简后,得,从可求出,.注 1 本定理提供的方法对于计算出所有的还是比较困难的,但对较小的的情形,求出、 、 、等,不失为一种较好的方法,而且也是解决例 3 中问题的一种很好的方法,该方法较为初等,它应该能够为高中成绩优异的学生所接受的定理 1给出了的求法,在此基础上,
11、对于系数,可以由确定.2 一类绝对值函数的最值问题最值问题是高考的必考题型之一,一般是对函数求导数或利用重要不等式的方法处理这类问题.在近几年的高考试题中,出现了求绝对值函数的最值问题,在近年来的一些文献中,对下例(2006 年全国高考题)作了诸多探究6-10 :例 46-10(2006 年全国高考卷第 12 题) 函数的最小值为 ( )(A)190; (B)171; (C)90; (D)45.关于这类含有绝对值函数的最值问题,由于它不可导,因此不能用导数的方法进行计算,必须寻求其它方法解决它.恰好在 2007 年全国高考宁夏卷中,也出现过类似试题:例 5(2007 年全国高考宁夏卷第 22
12、题) 设函数.(I)解不等式;(II)求函数的最小值.关于例 5 的(II)的解答,在参考答案中,是通过绘制函数的图像得到,当时,取得最小值.(图 1)能否从该题的解法得到启示,进而获得更一般的结论呢?该问题实际上是文献6中提出的一个未解决的问题,在文献6末,作者指出:对于更一般的形如,的最小值问题及它是否有最小值的判别方法,尚需进一步研究.下面将完全解决求函数,的最值问题,得到一个主要的结果,如下:定理 2 对于函数(),有?)若,则没有最大值,但存在最小值,且?)若,则没有最小值,但存在最大值,且?)若,则既存在最小值,又存在最大值,且,.证明 ?)不妨设,当时,;当时,故在上若有最小值,
13、则它与上的最小值相同,由于在闭区间上连续,故存在最小值.记在各分区间上最小值分别为,易知.又当时,函数是一次函数或常数函数,故在区间上的最小值必在端点为或处取得,即,.于是最小值,至于没有最大值,可由得知;?)同理可证;?) 不妨设,若,则当时,当时,.于是,在与上具有相同的最大值与最小值,仿照?)的分析可得,存在最小(大)值,且最小值,最大值.定理 2 实际上也完全解决了文7末提出的几个猜想.另外利用定理 2 的结论,可立即得例 5 中函数的最小值:因为,而,由定理 1 之?)知,函数的最小值为.3 与函数凹凸有关的一类函数的最值探源在近几年的全国高考数学试题中,还经常出现这样的一类最值问题
14、,它由某些凹凸函数构造成一种新的函数,而且该函数具有对称性.如 2005 年全国高考卷第 22 题:例 6()设函数(),求的最小值.()设正数满足,证明.参考答案中对()的求法并不困难,对()是用数学归纳法.如文献11中所指出的一样,该例实际蕴涵的是凸函数的一些性质.对例 6,我们关注的是函数,由于该函数,故是一个凸函数,本例中函数,由于,故的图像是关于直线对称的,文献11中把该例的结论()推广成命题 111 设在区间上二阶可导,且,则函数在上存在最小值.另外,在数学通报2007 年第 6 期上刊登了的 1677 号问题:例 7(数学通报07 年第 6 期 1677 号问题)已知函数,求证:
15、.问题提供人给出的解法具有一定的技巧性,方法难以把握,下面将给出上面例 7 及命题 1 的结论进行一个推广,所用方法比较简单直观,揭示了凹凸函数所蕴涵的一个独特性质.定理 3 设函数在上连续,在上二阶可导,且在上不变号,则(1)若,则函数在上的最小值为,最大值为;(2)若,则函数在上的最大值为,最小值为.证明 (1)设,则函数在区间上二阶可导,又由于,得到,再由,知是的唯一驻点,于是在处取得最小值.又,于是的最大值为;(2)同理可证,这里从略.注 3 对函数,由于,故知函数是关于直线对称的.从证明中还可以看出,函数在与上的单调性相反,故在处取得最值.在上述例 7 中,由于,当时,则由定理 3
16、的结论,当时,又函数满足,于是得,故得.不动点与数列不等式问题在历届高考试题中,求数列的通项或证明数列不等式的内容,占有一定的篇幅.在文献12中研究探讨了高考题中涉及到递推数列的一类不等式问题,把近几年高考数学中出现的这类试题概括在下列两个命题中:命题 212 设在上连续,在上可导,且,.数列满足,则,命题 312 设在上连续,在上可导,且, ,.数列满足,则,利用上述两个命题,把 2005 年江西卷、2006 年陕西卷、2006 年湖南卷、1986 年全国卷、2007 年广东卷以及文献13-15中等诸多同类试题或例题进行了统一处理,这些试题往往与递推函数的不动点相关联.事实上,还有一种类型的
17、递推数列不等式问题,它涉及到两个递推数列,联系它们的是迭代函数具有公共的不动点,上面命题 2 或命题 3 就显得无能为力了.下面我们以 2007 年全国高考数学(理科)第 22 题为例,结合不动点思想,用三种方法给出它的另解,以揭示这类问题的一些处理方法.例 8 2007 年全国高考理科卷第 22 题 已知数列中,()求的通项公式;()若数列中,证明:,参考答案中求出了的通项公式,然后用数学归纳法证明了不等式,本题中第()部分较为简单,难点是第()部分中关于不等式的证明,参考答案中用数学归纳法先后证明了不等式与,其中不等式容易证明,但要进一步得到却比较困难.下面将利用不动点思想,给出三种不同于
18、参考答案的方法.解法 1 ()(略);() 考虑的迭代函数,.易知满足,由于,注意到,则由,即,即,用归纳法易证,设,则, 欲证,只需证明,为此考虑的迭代函数,由于,而,故.记,下面用数学归纳法证明,当时成立,假设,则,又由,即,于是,即得,结论得证.解法 2 ()(略);()利用不动点求出的通项公式:考虑函数的不动点,即方程的两个解与,则,它们之比为,反复利用此式,得,于是的通项为.显然,而等价于,即,该不等式对一切均成立,故结论得证.解法 3 () (略);(),利用此式用数学归纳法不难证明,由()中结论,欲证明,即证,亦即证,也就是.令,则只需证,易知,只需证,利用分析法:,得证.通过解法 1 得到启示,我们可以把该结果推广为:定理 4 设在上可导,且,数列、分别满足,则,.证明 首先证明,:对,由,得,又由,得,即得,故有,于是,同理,有.下面用数学归纳法证明:当时,因为,所以,结论成立.假设当时,结论成
