1、某某学院毕业论文（设计）第 1 页 共 8 页转化思想在立体几何中的几种应用一 空间角向平面角转化例1 如图 ,已知在长方体 中， 是 的中点， = 8， = 1ABCDE1DAB14， = 2，求直线 与 所成的角.ADE1分析 直线与平面相交，是空间位置关系，但仅凭“相交”也不能准确反映其位置关系.要准确刻画出直线与平面的位置关系，也需要用数量来表示.通常，我们是将直线与平面相交所成的角转化成平面的角来完成的.即用斜线与其在平面内的射影构成的锐角来表示，为了保证其完备性，同时规定，直线与平面垂直构成的角是直角，直线在平面内构成的角是0的角.所以，求直线与平面所成的角，一般方法是，先转化成平
2、面内的角，再求出角的大小.题中，要求异面直线 与 所成的角，由于 ，这样就将所求交角转化AE1C1AC为 与 的交角 .它是一个平面内的角，再用平面几何的知识求得该角的大小 .ACE D1 C1B1A1A BD CE图1 解 如图1，连结 ， ，CE因为 ，1AC所以 为直线 与 所成的角.EA1在 中，C因为= = = ，AC2B2817= = = ，E2DE24= = = ，2217某某学院毕业论文（设计）第 2 页 共 8 页所以由余弦定理得，226834cos 172ACE所以= ，arcos34即直线 与直线 所成的角为 .AE1Cr例2 已知正四棱锥 的底边长和各侧棱长均为13，
3、、 分别是 、PABDMNPA上的点，且 ： = ： = 5: 8 .（1）求证：直线 平面 .BDMNBC（2）求直线 与平面 所成的角.NC分析 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，它是由一条棱和两个半平面组成的，是空间角.在空间，我们不好直接度量它的大小，因而转化为用二面角的平面角来度量它.二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面内作垂直于棱两条射线，这两条射线所组成的角.所以，求二面角的大小，一般的方法是先作出二面角的平面角，再求其大小.题中要求直线 与平面 所成的角，是先转化为直线 与平 所成的角，MNABCDPEABCD再转化成平面几何的角 ，然后计算出
4、 的大小而完成的.PEPEO NPCDABEM图2解 （1）如图2，因为 是正四棱锥，PC所以 是正方形.ABCD连结 并延长交 于 ，连结 ，NE因为 ，ADB所以： = ： .NN又由已知： = ： ，PM某某学院毕业论文（设计）第 3 页 共 8 页所以 ， 在平面 内，MNPEPBC故平面 .MNPBC（2）由（1）知 ，E所以 与平面 所成的角就是 与平面 所成的角.MNABCDAD设点 在底面 的射影为 ，连结 、 ，POB则 为 与平面 所成的角.EO根据正三棱锥的性质，得= = ，P2132又根据（1）知： = ： = 5 ：8，BEADN所以= .6在 中， = 60， =
5、13， = ，PBEOP58由余弦定理得= ，E91在 中, Rt= ， = ，PO32所以= = .sinE47故直线 与平面 所成得角为 .MNABCDarci2二 空间距离向平面距离转化立体几何中，有关空间距离都可以转化为平面距离，即线段的长来解决的，如异面直线间的距离，点到平面的距离，直线与平面的距离，两平行平面间的距离等都如此.因此，在求上述空间距离时，一般方法是先转化成线段，再求线段的长 2.例1 平面 与平面 的交线是 ，线段 既是半径为 的 的弦，ABCDECD327O某某学院毕业论文（设计）第 4 页 共 8 页又是正方形 的一条边， 在平面 上的射影是 上异于 ， 的点 ，
6、且ABCDACDEOCDE=3，求 与 间的距离.E分析 题目的两种解法中，解法1是将异面直线的距离转化为异面直线的公垂线段的长，即平面距离来进行计算的.解法2是将异面直线的距离转化为直线到平面的距离，再转化为 点到平面 的距离，最后转化为三棱锥 的高进行计算的.CAECAE DCEAB图3解法1 如图3，连结 、 ，CE所以平面 ，ACDE所以 ，又因为 是正方形，ABCD所以 .ABCD于是 ，且 ，E所以 的长为 与 间的距离.ABEBC因为平面 ， ，ACDA由三垂线定理的逆定理得 ，E所以 是 的直径， = ，CEOE37在 中，得RtA= ，AC62于是= 6，B故 与 间的距离为
7、6.AEBC某某学院毕业论文（设计）第 5 页 共 8 页解法2 因为 ，BCAD所以平面 ，E因此 与 间距离就是 到平面 的距离，BCAE即点 到平面 的距离，可视为三棱锥 的高 ，DAh由= ，VCD即，13SAE得= 6，h即 与 间的距离是6.AEBC三 空间度量向平面度量的转化立体几何中的一些度量问题也可以向平面度量转化的，如前所述，在空间角的度量中是转化为平面角，用平面角的度量方法来度量的；空间距离的度量，是转化为平面距离，用平面内线段的长来度量的；同时，空间图形的面积也是转化到平面图形的面积来度量的，如教材中推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积，是根据这些曲面均为可展面，而分别转化为矩
8、形、扇形、扇环，用平面面积度量方法进行度量的 3.例1 在三棱台 中， 是 与 的公垂直线段，已知 =3 ，1ABC1ABC1 ABcm= = 5 ，二面角 为60.（1）求三棱锥 的体积 .（2）求ACcm1AC二面角 的大小 .1分析 题中的转化思想为求三棱锥 的体积是转化为三棱锥 的体积11来解决的,二面角 和二面角 分别转化成平面角 和 来解1ABCABCBAED决的.某某学院毕业论文（设计）第 6 页 共 8 页C1A1B1CAB图4解 （1）如图4，连结 ，1因为 是 与 的公垂线， ， ，ABC11AB1CB所以， ，1所以平面 ，AB1C所以，1则 是二面角 的平面角，1ABC
9、1C即= 60.1AB在 中，得1Rt= 4 ，1cm在 中，得tABC= 4 ，BC所以 是边长为4 的正三角形，1cm所以= = = 43 .V1A1A3SAB3cm（2）由（1）知平面 ，B1C所以某某学院毕业论文（设计）第 7 页 共 8 页平面 平面 ，1ABC过点 作 ，垂足为 ，1ADBC则 平面 ，且 为 的中点，过 作 ，垂足为 ，连结 ，EE1A由三垂线定理得 ，1C所以 为二面角 的平面角.1AD1CB根据 ，得RtBtE= ，DE56cm在 中， = ， =23 ，t56cm1A所以= = ，1tgE1D53所以= ，1Aarctg3即二面角 的大小为 .1ACBrct
10、5综上所述，立体几何中空间向平面转化的形式是多种多样的.除此以外， 立体几何中还具有大量的转化思想，只要我们在教学和学习中，多加总结，注意运用，立体几何的许多问题就会化难为易，得到解决.参考文献1崔艳.用空间向量解决立体几何问题.德宏师范高等专科学校学报 ,2007,1.87-932洗虹雁.立体几何考点探析.广东教育,2008,10.43-453刘县萍.例说转化与化归思想解数学题.考试周刊,2008,45.46-494汪耀仁.立体几何中探索问题的向量解法.教育改革,2008,10.83-875芮伟兴.新课程理念下立体几何教学策略探究.科学大众,2008,9.62-646毛秀珍,何诣然.拟单调广
11、义向量变分不等式.四川师范大学学报(自然科学版),2007,2.134-137某某学院毕业论文（设计）第 8 页 共 8 页Several Applications of Transforming Thought in Three-dimensional GeometryENGLISH NAMEAbstract Transforming thought is an important way of thinking, mastery and exertion of it can help cultivate students ability to analyze and solve probl
12、ems. Combining with specific examples, this paper introduces the transformation from spatial angle to plane angle in three-dimensional geometry, spatial distance to plane distance, spatial measurement to plane one which aims at developing students ability to analyze and solve problems. Key Words transforming thought，three - dimensional geometry，distance，space graphics
