1、论 波 利 亚 的 元 认 知 思 想On Polyas Meta-cognitive Thoughts专 业: 数学与应用数学作 者: 陈 杰指导老师: 禹辉煌湖南理工学院数学与应用数学系二九年四月 岳阳湖南理工学院 本科毕业论文I 摘 要近年来, 在数学素质教育观下, 人们深入研究并实践了波利亚的解题思想教学实践引发人们辨证地认识波利亚的解题观, 因此对波利亚解题观需要再认识, 要全面理解数学解题中的“元认知”涵义, 解剖事例, 透视数学解题活动能力差异及其成因而元认知的培养与训练是深化波利亚解题思想的重要手段关键词: 波利亚; 元认知; 剖析; 差异; 数学解题湖南理工学院 本科毕业论文
2、II AbstractIn the recent years, under the guidance of the viewpoint of mathematics quality education, the research on Polyas teaching theory of mathematics problems-tackling had been deepened to put his theory into practice. As a result, this had aroused people to think polyas maths problems-solving
3、 methods dialectically. The paper here in the perspective of meta-cognition, was the respect of maths problems-solving abilities, and the relative reasons. And the paper improves Polyas teaching theory of mathematics problems-tackling in a very significant aspect.Keywords: Polya; meta-cognitive; ana
4、lysis; difference; mathematical problem solving湖南理工学院 本科毕业论文目 录摘 要 .IABSTRACT.II0 引言 .11 波利亚解题观的再认识 .11.1 全面理解数学解题中的“元认知”涵义 .11.2 波利亚的解题观 .21.3 教学实践引发的思考 .22 波利亚解题观中的元认知思想 .32.1 波利亚解题观中的元认知知识 .22.2 波利亚解题观中的元认知体验 .22.3 波利亚解题观中的元认知监控 .23 评价波利亚元认知思想 .53.1 波利亚元认知思想是探索法的基本要求 .53.2 波利亚元认知思想应紧密结合认知活动 .53.3
5、 波利亚元认知思想是无穷的思想宝库 .54 元认知水平的差异对数学解题的影响透析 .6 4.1 元认知是顺利解题的必要条件 .64.2 元认知活动的监控是解题过程的核心 .75 元认知的培养和训练是深化波利亚解题思想的重要手段 .86 结束语 .9参考文献 .10湖南理工学院 本科毕业论文第 1 页, 共 10 页0 引言波利亚是 20 世纪举世公认的数学家和无可争议的著名数学教育家, 是享有国际盛誉的杰出的数学方法大师波利亚在广阔的数学领域内有着极为精深的造诣与研究, 他不仅成功的复兴了探索法, 总结出多种解题策略, 而且轻松自然地描述了数学解题中的元认知活动当然, 波利亚的元认知思想的描叙
6、只是融入 , 适时点拨, 并没有凸现出来本文将试图整理并探究波利亚的元认知思想, 以便更好地学习和实践波利亚思想, 为提高数学教学水平提供更深层次的帮助1 波利亚解题观的再认识1.1 全面理解数学解题中的“元认知”涵义美国心理学家Flavell指出, 元认知“即对于认知的认知和对于认知的监控”具体地讲, 元认知是指主体对于自身所从事的认知活动(包括“解题活动”)的自我认识、自我评价和自我调整, 其涉及的对象不仅指具体的认知活动, 而且还包括整体性的认知结构和认知策略(包括“思维模式”和“解题策略”)元认知是认知者对认知活动的认识和控制, 包括元认知知识、元认知体验和元认知监控在实际的认知活动中
7、, 元认知知识、元认知体验和元认知监控三者是相互联系、相互影响和相互制约的必要的元认知知识储备是进行元认知体验和元认知监控的基础, 元认知监控则是依据元认知知识指导学习者正确地选择、评价和修正元认知体验的有效工具数学元认知知识是认知者对数学认知过程的构成要素及规律的认识, 包括认知者对于自己的数学认知结构、认知风格、思维能力的认识, 以及对自己的数学观、问题观、思维策略的认识等；数学元认知体验是认知者对自己数学认知状态的监测性判断和相应的情感体验, 包括数学美感、数学思维的流畅感或滞塞感、数学发现的欣喜或苦恼、数学应用的成功感或失败感等；数学元认知监控是建立在元认知知识和体验基础上的对数学认知
8、活动进行的积极、自觉的计划、监督、评价、反馈、控制和调节, 主要表现为对数学活动对象的性质、难易程度的估计所以我们说, 数学解题中的“元认知”, 就是解题者对于自身所从事的解题活动湖南理工学院 本科毕业论文第 2 页, 共 10 页(包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个过程中的作用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整, 它包括三个方面的内容:(1)数学解题的元认知知识, 即个体关于自己或他人的认识活动、过程、结果以及与之有关的知识而这些知识主要来自教师指导或书本；(2)解题活动的元认知体验, 即伴随认知活动而产生的认知体验或情感体验, 一般变现为个人的实践活动和
9、感受；(3)解题活动的元认知监控, 即个体认知活动进行的过程中, 解题者根据自己的知识结构和个人的心理特征, 对解题过程进行调控, 并随时纠正思想偏差, 端正解题方向、选择解题策略, 以达到预定的目标的过程1.2 波利亚的解题观波利亚是20世纪伟大的数学教育家, 他的数学教育思想具有划时代的贡献, 尤其是关于数学解题的现代研究波利亚的著作及其杰出工作被人们普遍关注, 并给予了极高的评价, 现实地为中学数学教学提供了方法论(1)波利亚的解题观是解题教学的行动纲领波利亚在文1中指出中学数学教学的首要任务就是加强解题训练这里要明确的是波利亚的解题本质上不同于题海战术, 他是把解题作为一种手段, 通过
10、对解题的研究来探索解题的一般规律, 揭示处于发现过程中的数学不但如此, 在解题教学过程中波利亚还强调数学思维的教学, 他认为解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程所以, 解题教学要注重培养学生的思考力和创造力, 以提高学生的思维素质(2)波利亚的解题观是教师“思与行”的金科玉律波利亚的解题, 特别强调学生的自主性教师应该“授之以渔”, 而不应该“授之以鱼”所以, 教师的首要目的是教会学生思考, 而解题思想应当诞生在学生的心里, 教师仅仅应当像助手那样行事, 以充分提高学生的主动学习性1.3 教学实践引发的思考事物总是一分为二的, 所以我们应该辩证地看待一切问题教学实践中, 辩证地分湖南理
11、工学院 本科毕业论文第 3 页, 共 10 页析波利亚的解题思想, 就实践的某些结果来看, 我们普遍感到有下列值得探讨的问题:(1)波利亚“知识+启发式”的解题教学思想有时并不奏效, 尽管付出了极大的努力, 并不一定能取得预期的效果；(2)学生的解题能力表现出极大的差异性, 尤其值得人们思考的是, 有的学生已经具备了足够的数学知识, 也已掌握了相应的解题策略, 却仍然不能有效解题, 或者说解题能力很差上述现象现实地促使人们再认识波利亚的解题思想, 波利亚倡导“数学启发法”, 并把“解题”作为培养学生数学能力和教会学生思考的一种手段和途径, 这种教学思想是否过时了？学生的解题能力存在差异性的症结
12、究竟何在？探索上述问题, 国内外不少数学教育家提出了“超越波利亚”的口号, 并从深层次上探讨元认知等因素对数学解题的影响数学解题是一个包含有多个环节的复杂过程, 波利亚的解题思想不应被看成影响数学解题能力的唯一要素, 从认知科学的立场来看, 数学解题过程包含有具体的认知过程和更高层次的元认知过程, 学生解题能力的差异实质在于学生元认知水平的差异, 数学教学应当努力实践并深化波利亚的解题思想, 发掘和发展学生的元认知本文将从波利亚解题观中所蕴含的元认知思想出发, 结合教学实践, 来探讨上述两个问题2 波利亚解题观中的元认知思想2.1 波利亚解题观中的元认知知识元认知知识就是有关认知的知识, 即人
13、们对于什么因素影响人的认知活动的过程与结果、这些因素是如何起作用的、它们之间又是怎样相互作用的等问题的认识在波利亚看来, 数学不是堆砌起来的符号和公式, 而是生动活拨的智力活动, 用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学, 但是在创造过程中的数学却是一门实验性的归纳科学数学活动是猜想和论证循序交替、不断发展的过程, 是演绎和归纳的辩证统一波利亚肯定逻辑推理在数学中的地位, 同时又特别强调猜想的重要作用, “证明是通过合情推理, 通过猜想而发现的”, 先猜想而后证明 , 这既自然又合理元认知知识主要包括以下三个方面的内容:(1)有关个人作为学习者的知识, 即有关人作为学习着或思维着的认知加
14、工者的一湖南理工学院 本科毕业论文第 4 页, 共 10 页切特征的知识这方面的知识可以再细分为以下三类：关于个体内差异的认识；关于个体间差异的认知；关于主体认知水平和影响认知活动的各种主体因素的认识 (2)有关任务的知识在有关认知材料方面, 主体应当认识到, 材料的性质、材料的长度、材料的熟悉性、材料的结构特点、材料的呈现方式、材料的逻辑性等因素都会影响我们的认知活动的进行和结果 (3)有关学习策略及其使用方面的知识这方面涉及到的内容很多, 比如, 进行认知活动有哪些策略、各种认知策略的优点和不足是什么、它们应用的条件和情境如何、对于不同的认知活动和不同的认知任务, 什么样的策略可能是有效的
15、等等2.2 波利亚解题观中的元认知体验解题过程中的元认知体验应该得到充分重视, 它能左右你的解题心情, 从而影响你的解题思路如果你解题时没有去体验感觉, 那就说明你还没有真正深入你的问题试着使用自己的方法去解决问题, 那么你才能体验到这种紧张的心情, 并享受到发现的喜悦这种喜悦能引导你更顺利解决问题, 甚至对你以后解题思维的培养和发展产生积极影响如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐, 那么我们可以说, 他所受到的数学教育是不合格的同时, 波利亚明确指出的元认知体验实际上就是“相关性”体验和“接近度”体验的有机结合“相关性”体验是指在解题活动中解题者的注意力的选择性判断, 它不需要
16、跟问题不相干的任何理论, 但只要与题目相关, 哪怕是最细微的关系也能被利用“接近度”体验是指在解题过程中, 对当前的解题状况与解题目标的接近程度的判断事实上, 任何认真考虑过他的问题的人对于解的接近程度和问题的进展都会有一种明确的感觉解题过程是一个猜想、验证不断循环发展的过程, 因此对于猜想的相关性判断和接近度判断, 以及对于解题前景的预见就成为解题进展的标志, 它们引导解题者做出策略决断, 是坚持下去, 还是变更问题, 或是放弃它 2从元认知体验的角度来看, 怎样解题表 3也是一张元认知提问表, 这些提问有助于解题者的元认知体验明晰化、强烈化, 促使学生重新审视或调整自己的认知活动向着更利于
17、目标的方向前进, 或在适当的时候升华为元认知知识, 增加解题经验湖南理工学院 本科毕业论文第 5 页, 共 10 页2.3 波利亚解题观中的元认知监控数学解题过程是不断提高猜想结论可靠性的过程, 波利亚指出在这个过程中解题者特别需要弄清楚两件事情:首先是会区别有效的论证与无效的尝试, 会区别证明与猜想；其次是区别更合理的猜想与较不合理的猜想这就清楚地表达了数学解题中的元认知活动解题活动的元认知监控, 即解题者根据自己的知识结构和个人的心理特征, 对解题过程进行调控, 并随时纠正思想偏差, 端正解题方向、选择解题策略元认知监控包括检查是否理解、预测结果、评价某个尝试的有效性、计划下一步动作、测查
18、策略, 确定当的时机和努力、修改或变换策略以克服所遇到的困难等等概括起来, 包括以下三个方面： (1)计划, 即根据认知活动的特定目标, 在一项认知活动之前计划各种活动, 预计结果、选择策略, 想象出各种解决问题的方法, 并预估其有效性; (2)监视, 即在认知活动进行的实际过程中, 根据认知目标及时评价、反馈认知活动的结果与不足, 正确估计自己达到认知目标的程度、水平; 根据有效性标准评价各种认知行动、策略的效果; (3)调节, 即根据对认知活动结果的检查, 如发现问题, 则采取相应的补救措施, 根据对认知策略的效果的检查, 及时修正、调整认知策略 评价波利亚元认知思想3.1 波利亚元认知思
19、想是探索法的基本要求探索法是一种成功的解题策略, 其主要特点是变更问题、诱发灵感, 其中充满了元认知活动虽然波利亚著作的主旨在于讨论解题策略和猜想过程, 但是他总是把元认知活动的描述与解题紧密结合起来, 使元认知思想成为解题探索的指导和控制因此, 我们认为波利亚的元认知思想是探索法的基本要求, 是解题活动中不可或缺的重要组成部分忽视元认知思想的探索法是片面的探索法, 在教学指导中难以实现提高解题能力的根本目标3.2 波利亚元认知思想应紧密结合认知活动湖南理工学院 本科毕业论文第 6 页, 共 10 页波利亚阐述解题思想时, 大部分文字是描述数学认知活动的, 元认知的描述只是融入其中, 适时点拨
20、, 没有凸现出来正是因为这一点, 有些学者批评波利亚解题思想没有元认知而我却认为, 波利亚解题思想不仅含有丰富的元认知, 而且他把元认知论述紧密结合认知活动的做法是科学合理的, 是有利于解题学习和教学指导的因为, 认知活动是元认知发生的基础, 离开具体的认知活动, 元认知就成了无源之水、无本之木, 学生不容易理解, 也不容易内化, 从而也就无助于一般解题能力的提高能力培养寓于知识传授之中, 认知活动是解题学习的主要方面, 只有适时、适当的元认知指导才能真正促进解题活动的有效展开3.3 波利亚元认知思想是无穷的思想宝库从以上分析可以看出, 波利亚实际上已经论述了数学元认知的很多方面, 只是他没有
21、使用专门的名词术语而已他借助典型有趣的例题, 把元认知浅显明白地点拨出来, 自然真切, 理所应当, 每一句话都正中要点在论述数学元认知的众多文献中, 能够这样轻松活泼的实不多见因此, 我们认为波利亚思想中含有丰富的元认知论述, 是研究数学元认知的思想宝库但是, 也应该看到波利亚毕竟没有直接讨论数学元认知, 其深邃的元认知思想藏于字里行间, 还有很多值得挖掘、值得提炼的地方 44 元认知水平的差异对数学解题能力的影响透视4.1 元认知知识是顺利解题的必要条件元认知知识是顺利解题的前提, 它以元认知体验为基础, 不仅来自教师的指导(或书本知识), 更重要的来自个人的认知实践, 而且只有将这两方面紧密结合起来, 才能获得真正的元认知知识元认知的体验越深刻, 那么元认知知识的掌握就越牢固这里我们姑且把学生对解题的现有条件, 所要达到的解题目标, 可以采用的方法策略以及实施有关方法策略后可能达到的种种解题结果的整体性认识称作“解题空间” 5那么数学解题中, 元认知知识的层次性通过学生建构“解题空间”的能力而表现出来由于“解题空间”的建构直接依赖于主体的知识和经验, 所以缺乏元认知知识的学生, 解题只能局限于一般的认知过程, 思维简单、僵化、不畅, 思维模式或解题策略不能活化迁移,
