1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 0 页 共 14 页议随机变量独立性及其应用作者：xxx 指导老师：xxx摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义, 随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛
2、，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献2中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献 7中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应
3、用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2 随机变量独立性的定义定义 设 为二维随机变量,若对于任意的实数 ,事件 与 相互1)(YXyxxXyY独立,即, YPXyxP, ）（ 1则称 与 相互独立. 若 为 与 的联合分布函数, 、 分别是 与 的边缘分布函数,则yxF,XYxFXyYX式等价于)1(.yxyYX,3 随机变量独立性的性质及其判别方法3.1 离散型随机变量独立性的判定判别法一安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 1 页 共
4、 14 页定理1 设二维离散型随机变量 的联合分布列为YX, ,jiij yxPp 21;,ji的边分缘布列是X, ,ii 的边缘分布列是Y, ,jjyYPp 21则 和 相互独立的充要条件为:对所有的取值 有Xjix. ,;,ijiij证明 充分性：若 ,因为 是二维离散型随机 21 jpjiij YX,变量,所以对任意的 有yx, , ,()()ijijiji jij ijxyij jxyi jyPXYPxyppPXY即 和 相互独立.XY必要性：若 和 相互独立,不妨设,123123,i jxxyy 则对任意 ,有y.YPxXYXP,当 时,有1,x,111, yxyx即,111, YP
5、XYXP亦即 . 11p )2(如此进行下去,最后可得.,2,jpj安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 2 页 共 14 页如此下去,最后得出. ,21,jipjiij由此定理得证.例1 设随机变量 和 相互独立 ,并且有XY, , ,P10XqpYP10定义随机变量 为.0,为 奇 数若， 为 偶 数 ；若 YX问当 取何值时, 和 相互独立?pX解 由于,0,1,1YY,0X所以,211,1, pYPYPXP ,q000,2, XX.pYPYPXP 11由此得 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.,表 10jp0pq2qq1ppippq221为使 和 相互独立,有XX
6、安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 3 页 共 14 页2222,.pq由于 ，故方程组的解为 ,即当 时 , 和 相互独立.10p1pX判别法二：设 是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为YX, 可以用下表所示jiij yxP, ,2i表 21y jy1xp12 jp1221 j2ix1ip2i ijp且 ,矩阵ijiijp,0 ijii jppA212112称为 的联合概率分布矩阵,其行向量记为YX, 21,21ipaijii记 的联合分布列 ., AYX,引理 设 是非零向量, 和 线性相关,则 可由 线性表出.711221证明 因为 和 线性相关,所以存在不全
7、为零的两个数 和 ,使12又因为 是非零向量,如果 ,则 ,则 ,所以021102102YX安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 4 页 共 14 页,12即 可由 线性表出.21定理2 若 ,则 与 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向AYX,Y量(或列向量)线性相关.证明 充分性：若 中任意的两个行向量线性相关 ,由 ,则 中至ijiijp1,0A少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设 是非零向量,由引理可知 1,23都可以由 线性表示 ,则 , ,且 i12,1ikii k, jiii jpkkpA112221这里 ,且 .21,1jipkjiij
8、 11ijijjiiji又由于 , 的边缘分布分别为:XY,jijii pkxXP1,ijijijj kpy因此 ),(11jijii ijjiijj jiyYxXPkpkkpyYx即 与 相互独立. XY必要性：若 与 相互独立,由 ,则 中的任意两个行向量可写为jiijpA, , 2121 jmjmm pp , , jnjnnn 显然 与 线性相关 .mn安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 5 页 共 14 页推论1 若 ,则 与 相互独立的充要条件是矩阵 的任意两行(或两列)对AYX,YA应元素成比例.推论2 若 ,则 与 不相互独立的充要条件是存在矩阵 的任意两个行
9、向,量(或列向量)线性无关.推论3 若 ,则 与 不相互独立的充要条件是存在矩阵 的任意两行(或两AYX,YA列)对应元素不成比例.推论4 若 ,则 与 相互独立的充要条件是矩阵 的秩为 ., 1推论5 若 ,则 与 不相互独立的充要条件是矩阵 的秩大于 .YY推论6 若 中有某个 ,但元素 所在的行与列的所有元素不全为零,则AX, 0ijPij与 不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设.,1;0第 一 次 取 出 黑 球第 一 次 取 出 白 球 .,1;0第 二 次 取 出 黑 球第 二 次 取 出 白 球Y分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写
10、出二维随机变量 的联合分布列,并判别X与 的相互独立性.XY解 1)放回抽样 二维随机变量 的联合分布列为YX,表 3010254256169且,03296425A因此 ,故 与 相互独立.1ArXY2)不放回抽样 二维随机变量 的联合分布列为YX,表 401安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 6 页 共 14 页02020616且,10362026A因此 , 所以 与 不相互独立.12ArX3.2 连续型随机变量独立性的判定判别法一定理 3 设 是二维连续型随机变量 ,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别Y,为 ，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则 和 相互独立的
11、充yfxyfX, XY要条件为:除面积为零的区域外,恒有.yfxyfYX,证明 充分性：设 ,则对任意的实数 ,有xfYX, xyxyYXuvfuvf dd.fyYxX所以, 和 相互独立.XY必要性：设 和 相互独立,则有 yYXYXxy vfufyfxuvf ddx-.vud因为上式对任意的 都成立,于是有 ,综上,定理得证.yxyfxyfYX,例 3 若 的联合密度函数为1YX8,0,1;,xyyf其 他 .问 和 是否相互独立?解 先分别求 和 的边缘密度函数:XY当 或 时, .当 时,有0x10xf1x安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 7 页 共 14 页.3
12、14d8xyxfX因此 .,0;143其 他fX当 或 时, .当 时, .0y1yfY1y3048ydxyfY因此 .,;143其 他fY很明显, ,所以 和 不相互独立.yfxyfYX,判别法二定理 设 是连续型随机变量, 其联合密度函数为24)(.,0;,)(, 其 他 dycbxayfxF则随机变量相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数 使 .)(,ygh)(),(ygxhf(ii) 是分别与 无关的常数.dcba、 x、证明 充分性: 首先分别求随机变量 对 的边缘密度函数.),(YXyx、 babaYdc dcX xhygxhxyFyfx .)()(),()( ,是分别与 无关的
13、常数, 所以上式积分中的结果 与dcba、 x、 dcybadxh)(是分别与 无关的常数, 分别记为 进一步由联合密度函数的性质,有yx、 BA、(,)()()()(),bdbdacacXYbdacfyhxgyfxyxyf即 故 相互独立.)(),(yfxyfYX,必要性: 若 相互独立, 有安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文第 8 页 共 14 页, )(),(yfxyfYX,dycbxa取 , 则有 , 所以定理中的条件1) 成立. 以),()gfxhfYXgh下用反证法证明,若 中至少有一个是与 或 有关的函数,不妨设 ,由于dcba、 xy)(ya是关于 的边缘密度
14、函数, 必有 , 而 是一)(xfX 1)(dfbaX)(AgdxfbaX个与 有关的不恒为1的 的函数, 与前述结果矛盾.因此必有 与 无关,进一步可得yy都应与 无关, 从而必要性得以证明.dcba、推论1 定理4 的条件中如果 有一个或两个都趋于 中有一个或两个都ca、 db、,趋于 ,则定理的结果也成立 .推论2 若上述定理的条件成立, 则 与 呈正比例关系, 与 呈正比)(xh)(fX)(ygfY例关系.在 维连续型随机变量场合, 我们有n定理5 设 是连续型随机变量, 其联合密度函数为 , ),(21nX ),(21nxf满足 则随机变量 相互独立的nibxaxf iin ,210
15、),21 nX,21充要条件为(i) 存在连续函数 , 满足 .ihi,)( niixhxf121)(),(ii) 均为与 无关的实常数.1(,nibainx,21证明 充分性: 设 满足条件(i)与(ii) , 则可求得 的边缘分),(xf )(niXi布函数为 112121()(,)(,i njjX nnbabi jiiajinffxdxhb 而当 时, . 又因其中 均为与 iibaxxfiX,2,0)1(,ni nx,21无关的实常数, 故上述积分 ， 分别是与 无关的实常jjbadxhjj(, x,2数, 故记为 ,2,1)(njAjbajjj 安庆师范学院数学与计算科学学院 201
16、4 届毕业论文第 9 页 共 14 页则当 时, 有)1(nibxaii 12121)(,()(niinniiXXAxfhhxffx 其中,nbababanii dxhdxhxAn)()()(21121 而 与 无关, 故(1) 式可合并为 重积分, 即nnba,11 nx,21),(21211112 nbanii dxxfhn 故 ,即 相互独立. ),()(221 nnXXxffxf nX,21必要性: 设 相互独立, 则有,1 )()()( 2121 nXXn xffxxf 成立. 此时只须取 , 故条件(i) 成立.ifhXii,)()(现假定条件(ii) 不成立, 则 中至少有一个是与 有关的函数, )1nibainx,21不妨设 , 由于 是关于 的边缘密度函数, 则必有)(21nxa (11xhfXX.)(11baXbadfd而此时 ),()(21),( 1121 nbxaXxAgfn 是关于 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有 与 无nx,21 1anx,2关. 同理证得 均与 无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证.)(ibin,21由上述连续型随机变量的定理 及其对应的推论进行判别 与 的独立性，该定理的方4XY便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易.例 4 设 的联合密度函数为YX,
