1、浅谈中学数学建模 摘要 在中学教学中引入适当建模思想，适当开展数学建模活动，对学生的能力培养发挥重要作用。本文阐述了中学建模的重要性，以及构建数学建模意识，培养数学建模的策略与方法和数学建模思想对学生创新能力及综合能力的培养。关键词 数学建模 建模类型 建模意识 建模思想 创新能力随着科学技术的飞速发展，人类进入知识经济时代，知识的发明创造对社会发展越来越重要，高科技的产品不但环保，而且社会效益和利润具有极大的发展空间，这就要求其劳动者掌握知识具有创新型的人才，创新人才主要是指具有较强的创新精神，创新意识和创新能力，并能够将创造能力转化为创造性成果的高素质人才，培养高素质创新人才，虽然说大学教
2、育是关键，但整个初等教育阶段也不容忽视，尤其在中学阶段要初步培养学生用数学知识和数学思维方法以及相关知识去解决简单的实际问题，而数学建模正是实现这一目标的有效途径。一、 数学建模的重要作用数学建模是指建立研究对象的数学模型的全过程，是通过对实际问题的分析，通过抽象的简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过系统的变化机理求实验观测数据，建立这些变量和参数之间的量化体系，再用精确或近似的数学方法求解，然后把数学的结果与实际问题进行比较，用实际数据验证模型的合理性，对模型进行修改和完善，最后将模型用于解决实际问题的过程中去。这用数学模型来解决实际问题依赖于多种因素，人们要对实际问题有深刻的理解，
3、能建立起合适的数学模型还依赖于对模型的计算技术，数学建模已成为科学研究和工程技术的重要工具，数学建模的思想和方法已渗透到科学、技术、工程、经济、管理等社会生活的各个方面。数学建模就是综合运用所掌握的知识和方法创造性的分析解决来自实际中的问题，而且不受任何学科和领域的限制，所建立的数学模型可以直接应用于实际中去。近年来数学建模在高等教育中应用广泛，这一点我从多方面了解到参加全国大学生数学建模竞赛已成为大学校园里的一种时尚。网上有消息说参加过数学建模竞赛的学生 90%以上的都考取了硕士、博士研究生。无论是在校内或校外的工作单位都已成为教学科研的骨干力量，是不可替代的人才。有些用人单位调选学生也把是
4、否参加过建模活动作为一个重要的标志，由此可见，数学建模的重要地位不容忽视，它的知名度越来越高。在中学阶段，正是学生增长知识，发展数学思维，培养创新意识，初步形成应用数学解决简单的实际问题的时期，因此，在中学实施数学建模的教学与活动，对于提高学生数学素质，体会数学的应用价值，无疑可以使学生增进对数学的理解和应用数学的信心。有利于培养学生的创造性的思维能力，创造性的洞察力和创造性的科研能力。二、 中学阶段常见的实际问题按解题时建模类型所用数学知识和方法的特征主要可分为以下几个方面：1、 建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系,如增长率、储蓄利息、浓度配比、人员调配、工程施工等问题,可转化为方程
5、问题来解决。例 1 某件衣服的标价为 176 元,降价为 9 折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对于进货价). 求该衣服的进货价。简析：设该衣服的进价为 x 元,则问题转化为求方程的解，解得 x=144. 7690%11例 2 某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿度,本年度计划将电价调至 0.550.75元 之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增电量 y(亿度) 与 (x0.4)元成反比例,又当 x=0.65时,y=0.8. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式;（2）若每年度电的成本价为 0.3 元 ,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加
6、 20%?收益=用电量 (实际电价成本电价)解： (1)根据题意,设 0.4kyx 当 x=0.65 时,y=0.8, , 解得 k=0.20.865.k y 与 x 之间的函数关系式为: .204yx(2) 根据题意得:( )(x0.3)=1(0.8 0.3)(1+20%)0.214整理得：x 21.1x+0.3=0，解之得 x=0.5 或 x=0.6。经检验 x=0.5 或 x=0.6 都是所求方程的根。X 的取值只能在 0.550.75 之间，只取 x=0.6。答：当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%。评析：第（1）小题虽较容易，但它是解决后续问题的基础和
7、条件。第（2）小题比较困难，解决的关键在于处理好数量关系：一是第（1）小题给出的 y 与 x 间的函数关系；二是收益的计算公式；三是“收益将比上一年的增加 20%”的条件。把它们分别用代数式表示出来，列出关于 x 的分式方程，这就是解答该问题的数学模型。求出该方程的两个根之后，还必须回归到原问题中“电价调至 0.550.75 元”这个限制条件，这样才能得出符合实际的答案。2、建立函数模型现实生活中普遍存在的最优化问题，如利润最大、成本最低、用料最省等，可透过实际背景，建立之间的目标函数，转化为求函数最值问题。例 3 某果品批发公司为指导今年的核桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如
8、下数据：销售价X（元/千克） 22 21 20 19 销售量Y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1） 判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2） 若核桃进价为 12 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/ 千克）之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？解析： （1）设 y kx+b，因为点（22，2000） ， （20，3000）在图象上，所以 2000 22k + b3000 20k + b解之得：k 500， b 130002所以 y 500x+13000（2）P （x12）y （x12）（500x+1300
9、0）500x 2+19000x156000500（x19） 2 + 24500所以 P 与 x 的函数关系式为 P 500x 2+19000x156000, 当销售价为 19 元/ 千克时，能获得最大利润。这些实际背景以利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学活动，培养了函数建模思想和数学应用意识。3、 建立不等式模型在市场经营，生产决策中，有时需要进行盈亏平衡分析，产量、产值预算等，这类问题中常隐含着不等式关系，建立不等式模型是解决问题的有效途径。例 4 某厂制定明年一种新产品生产计划，人事部门提出该厂实际生产的工人数不多于130 人，每人年工时以 2400 小时计；销售科预测明
10、年的销售量至少是 60000 件；技术科计算每件产品的工时定额为 4 小时，需钢材 20 公斤；供应科说目前库存钢材 700 吨，而今年尚需 220 吨，明年能补充 960 吨，试根据以上信息决定明年可能的生产量。分析：设明年的生产量为 x 件，那么从“总工时”考虑，共需 4x 小时完成，而全年工人的总工时不多于 1302400 小时，则可建立不等式4x 1302400又从钢材考虑，共需 20x 公斤，而明年总钢材为（700220960）1000故可建立下列不等式组： x 60000 4x 130240020x（700220960）1000解得：6000 x 7200所以明年的计划产量可以在
11、6000 到 7200 件之间考虑。4、 建立几何模型诸如工程定位，拱桥计算，边角余料加工等应用问题，常常建立几何模型，转化为几何问题求解。例 5 如图，在圆型玻璃杯外侧有一只蚂蚁从 A 点到杯内 B 点去吃糖，已知从 A 点沿母线到杯口 C 的距离为 5cm， B 点沿母线到杯口 D 的距离为 3cm，C，D 两点之间的杯口弧长为 6cm。如果蚂蚁想尽快吃到蜜糖，问蚂蚁爬行的最短路线是多长？图 1 图 2BACD解析 此题属于几何体上两点间最短距离的问题，先将圆柱的侧面展开，构建如图 2所示的轴对称模型，CD 的长是弧 CD 的展直长度为 6cm，点 E 与点 B 关于 CD 所在直线对称，
12、DE = DB =3cm，AE 之长就是蚂蚁爬行的最短路程。运用勾股定理可容易求出 AE = 10cm，故蚂蚁爬行的最短路程是 10cm。三、中学开展数学建模的策略与方法1、立足课本习题的发掘，编拟社会热点问题，构建恰当的建模素材CBADEP3新课程，本身给了大量的实际情景的素材，把培养学生的应用意识落实到平时的教学过程中，从课本内容出发，联系实际，以教材为载体。对课本中出现的应用题，可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题，逐步提高学生的建模能力，在中学数学建模中，建模的问题选材尤为关键， “好问题”应具备的一些基本特点：（1）应符合中学生的数学知识水平，贴近学
13、生的知识和社会背景；（2）应有生产、生活实际背景和一定的实用价值；（3）应符合具有多种求解模型，让学生可以从多种角度去思考，留给学生较大的思维空间；（4）应具有趣味性和探索性；（5）应面向全体学生，在认真剖析教材内容的基础上，抽象出建模问题来，也可通过有关书籍、杂志、甚至上网收集。2、深入生活联系实际，在生活中发现数学建模问题学习数学的一个基本目的是应用数学，用数学解决生活中的问题，目前很多学生尤其是中学生还意识不到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题，应重视数学与生产，生活的联系，挖掘出具有典型意义，能激发学生的学习兴趣的问题情景，充分体现数学的应用价值，就能激发学生的求知欲。
14、例如：现行全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率是 20%，即储蓄利息的 20%由各银行储蓄点代扣代收。若你父亲在 2006 年 9 月存入人民币 1 万元，存期一年，年利率为258 你试计算明年到期时可得本金和利息？简析：到期所得本金和利息=总本金+利息利息税3、在新知识发生，发展的全过程，渗透数学建模思想通过情景引疑，参加实践来提出问题，教师以组织，引导者的角色逐步让学生把信息进行收集、分类、删除、归纳、概括，最后抽象成数学模型，用已有的数学知识来推导关系，结论，从而引出新概念，新知识。例如：在两圆位置关系的教学中，先让学生观察月食的全过程（有条件的话，或利用生活道具，或用 FLASH 等）
15、 ，逐步引导学生抽象成两个圆，学会从生活里抽象出两圆不同的位置关系，从而引出新课。知识对中学生来说往往不容易掌握其实质意义。通过数学建模把抽象的概念具体化。例如：方差概念，学生往往会片面理解它的作用。实例：学校有甲，乙两个田径队，各有10 名队员，现收到紧急通知，要马上派 5 名队员参加田径比赛。目前只知道甲队和乙队的平均成绩相同，在甲队的方差比乙队大的情况下，你认为派哪个队中的 5 人参加较好？在这种情况下，不可断言就派乙队中的 5 人参加，还要考虑一下甲队中成绩较好的 5 个队员。当然，在具体的数学建模的过程中，更多的是将具体化的问题抽象化，找到“实际问题”和“数学”之间的结合，在教学中尽
16、量暴露知识的发生、发展及联系，将实际问题和数学理论挂钩，从而建立数学模型，解决实际问题。4、以建构为导向，采取多种形式，激发学生的学习兴趣学生对于数学，特别是纯数学缺乏学习的兴趣，觉得数学离日常生活太远，认为学习数学只是计算、证明和求解，用处不大，影响了学习数学的积极性和主动性，教师除在教学中体现数学建模方法外，还可以通过课外兴趣小组的建模活动带动和推进数学建模教学，参加数学课外小组的学生，一般都是对数学有较大兴趣且成绩较好的同学，他们对数学建模的学习有较大的潜力，先在他们中间进行建模活动就显得容易，再在全班渗透建模意识，使学生对建模活动产生兴趣。加强了学生应用意识，使学生能应用数学知识来处理
17、身边的问题，激发学生学习的积极性，从而提高学生的建模能力。对于中学生来说，数学建模的学习只是一些最基本的浅显认识，由于学生的知识层次和适应社会能力的大小不同，在建模学习过程中还会存在一些问题。如：（1）对解决问题的信心不足。与纯数学问题相比，数学实际问题更贴近生活，数量关系多，面对一大堆非4形式的材料，许多学生感到很茫然，不知从何下手，产生恐惧心理。 （2）对实际问题中的一些名词术语不熟悉。现在学生是衣来伸手，饭来张口，从小到大一直生长在学校，与外界接触范围很小，对其它知识领域的名词术语感到陌生。比如实际生活中的利率、利润、打折、贷款、保险金、折旧率、住房公积金等概念，只在书本上见过。 （3）
18、对实际问题中庞杂的数据处理缺乏适当的方法。 （4）对实际问题转释为数学问题缺乏经验。针对以上问题，若能适时地开展中学数学建模教学和活动，把学生已有知识与周围环境充分联系起来，与实际生活密切结合，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力，提高解题速度是十分有力的，学生对问题的研究过程，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维，养成善于发现问题、独立思考的习惯。四、培养和提高学生能力。1、数学建模学习，提高数学语言翻译能力。 把经过一定的抽象和简单化的实际问题用数学语言表达出来，形成数学模型，对数学的方法和理解推导形成计算结果，能用大众化的语言表达出来，并在此基础上提出解
19、决某一问题的方案和建议。2、建模意识构建，培养学生的转化能力。由于数学建模是把实际问题转化成数学问题，加强建模意识的构建，能识别、理解、解释弄清数学为题的语言表达，并转化为具体的数学思想，不能把非数学的问题转化成数学为题，他们的知识将是形式之一的，无益的。例如，某报纸每份 0.25 元，每次发行 12万份，设每份提价 0.01 元，发行量就减少 4 千份，要使销售总收入不低于 3 万元，求每份报纸的最高提价？在这个问题中，对提价和发行量的语义理解是关键，构建数学模型，把文字语言转化成符号语言是突破口。培养学生解决实际问题的能力，关键是培养学生的建模能力，即把实际问题转化成纯数学问题的能力，而提
20、高这一能力，需要用恰当、正确的方法来引导学生。3、培养直觉思维，提高学生的洞察力和联想能力。数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，许多提出实际问题并需要建立数学模型的人往往并不是很懂数学的人。提出的问题不是逻辑思维的产物，而是通过观察领悟、突发灵感，凭借敏锐的洞察力，善于从实际问题的原形抓住数学的本质。数学建模数学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法。4、灌输构建思想，培养学生的创新能力。知识是有限的，而创造力却可以使知识无限的延展，建模就是构建模型，模型的构建过程又加强了学生的构造能力，学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础，创造性地应用数学知识。总之，数学建模具有联系实际
21、，领域宽广，实际案例丰富的特点，但是在教学和活动中，必须坚持以学生为主体，不能脱离学生，搞一些不切实际的建模教学和活动。我们的一切必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中增强数学建模意识，只有这样才能使学生将实际问题抽象为数学模型，使分析问题和解决问题的能力得到进步，才能真正培养学生学到有用的数学。参考文献1、叶其孝：中学数学建模 ，湖南教育出版社，1998 年，第一版。2、司擎天：例谈初学数学建模 ， 数学教学通讯 ，2000 年，第 1 期，第 38 页至第 39页。3、http：/ 中学数学建模与素质教育 ，罗爱群4、http:/ 中学数学建模活动浅谈，马晓娟
