1、数学思想方法在数列解题中的应用摘要数学教学包含数学思想方法的教学，数学思想方法的教学是优化数学课堂的一种方式学生解决数学问题时，如果以恰当的数学思想方法作指导，加之熟练掌握数学知识结构，就可以使得各类数学问题迎刃而解实际中，解决各类数学问题均需要有相应的数学思想方法作指导，而学生不一定注重数学思想方法的学习和应用论文就解决数列问题的常用数学思想方法，包括方程思想、函数思想、整体思想、化归思想、分类讨论思想、归纳与递推思想、对称思想、特殊化思想、数形结合思想、极限思想及建模思想作探讨旨在帮助学生认识到数学思想方法的重要性，并能以数学思想方法为指导解决数列问题关键词数学思想方法；数列；应用THEA
2、PPLICATIONOFTHEMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHODINTHESOLUTIONOFSEQUENCEOFNUMBERABSTRACTMATHEMATICALTEACHINGINCLUDESTHETEACHINGOFMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHOD,WHICHISAKINDOFWAYOFOPTIMIZINGTHEMATHEMATICALCLASSWHENSTUDENTSSOLVEMATHEMATICALPROBLEMS，IFTHEYAREGUIDEDBYPROPERMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHOD,INADDITIO
3、NTOGRASPTHEMATHEMATICALKNOWLEDGESTRUCTURESKILLFULLY,THENTHEVARIOUSKINDSOFMATHEMATICALPROBLEMSWILLBEREADILYSOLVEDINDAILYSTUDY,SOLVINGDIFFERENTKINDSOFMATHEMATICALPROBLEMSNEEDSTHECORRESPONDINGMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHODTOBETHEGUIDANCEHOWEVER,STUDENTSDONTALWAYSPAYMUCHATTENTIONTOTHESTUDYOFMATHEMATICALTH
4、OUGHTANDMETHODTHEREFORE,THISPAPERDISCUSSESTHECOMMONLYUSEDMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHODINSOLVINGTHEPROBLEMSOFTHESEQUENCEOFNUMBER,WHICHINCLUDINGTHETHOUGHTOFEQUATION,THEFUNCTIONALTHOUGHT,THEWHOLETHOUGHT,THETRANSFORMATIONTHOUGHT,THETHOUGHTOFCLASSIFICATIONDISCUSSION,THETHOUGHTOFINDUCTIONANDRECURSION,THESY
5、MMETRICALTHOUGHT,THETHOUGHTOFTHECOMBINATIONOFNUMBERANDFORM,THELIMITTHOUGHTANDTHETHOUGHTOFMODELINGTHROUGHTHESEDISCUSSIONS,THISTHESISAIMSTOHELPSTUDENTSTOKNOWTHEIMPORTANCEOFTHEMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHOD,ANDENABLESTHEMTOSOLVETHEPROBLEMSOFTHESEQUENCEOFNUMBERUNDERTHEGUIDANCEOFTHEMATHEMATICALTHOUGHTANDME
6、THODKEYWORDSTHEMATHEMATICALTHOUGHTANDMETHODSEQUENCEOFNUMBERAPPLICATION目录1引言12文献综述121国内外研究现状122国内外研究现状评价223提出问题23数学思想方法在数列解题中的应用231方程思想在数列解题中的应用232函数思想在数列解题中的应用533整体思想在数列解题中的应用1234化归转化思想在数列解题中的应用1535分类讨论思想在数列解题中的应用1836归纳、递推思想在数列解题中的应用2337对称思想在数列解题中的应用2538特殊化思想在数列解题中的应用2739数形结合思想在数列解题中的应用27310极限思想在数列解
7、题中的应用28311建模思想在数列解题中的应用294结论3041主要发现3042启示3143局限性3144努力方向31参考文献3211引言现在的中学生虽然能够记住大量的数学公式，能说出课本上出现的诸多定义、定理，也做了不少数学习题，可是一旦遇到一个看起来比较新颖的习题时，还是会有许多学生感到束手无策，不知从何解起出现这种现象的原因就在于学生平时只知道一味地做题，很少注意体会在解题过程中用过的思想方法事实上“数学解题就是命题的连续变换，而命题的连续变换就是数学基本思想方法反复运用的过程”如果缺乏必要的数学思想方法做指导，学生在解题时只能一会儿用这个公式套套，一会儿用那个定理试试，盲目地乱撞，这样
8、做是很难达到解题目的可见，数学思想方法是解决数学问题的指南要想提高学生的解题能力，就必须帮助学生掌握最基本的数学思想方法1数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，它不仅体现着数学理论内部所固有的规律，还反映了人们在对数学知识本质认识的不断深化2数列是高中数学中的重要内容，也是初等数学与高等数学的衔接点之一，是高考必考内容，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想，如化纳思想、方程思想、函数思想、转化思想等，特别是数学思想方法的考查在高考中逐年在加大份量，因此在数列解题中要重视充分挖掘题材中的数学思想，培养运用数学思想去分析、解决问题的意识和能力下文通过典型实例，揭示了几种重要的数学思想方法
9、在数列解题中的应用，旨在拓宽人们分析问题的思路，提高人们解决实际问题的能力2文献综述21国内外研究现状现查阅到的参考文献中，分别就数学各种思想方法在解决数列问题中的应用做出说明其中隋澈在文献1中强调数学思想对解决数学问题的重要性，强调只有注重学生数学思想的培养才能让学生在遇到陌生问题时有法可寻范治顺在文献2中较详尽的对解决数列问题的常用数学思想方法列举说明赵春祥在文献3中仅针对数列中的四种常用数学思想举例说明其用途王卫华、刘玉芳、李会煜、佟建铭在文献4、5中针对数列中的数学思想方法展开论述，文献中常用数学思想方法列举全面，举例说明详尽李晶在文献6中针对整体思想展开描述，并举例说明整体思想在解决
10、数列问题中2的应用文献8中，张弦、赵丹举例说明“数形结合”思想方法在解决数列问题中的应用文献1012中作者应用各类数学思想方法解决数学问题举例说明黄俊峰在文献14中提出特殊化思想可方便快捷地解决数列中的一些问题田照亮在文献15中提出针对某些实际问题可利用数学建模思想结合数列知识解决22国内外研究现状评价文献110分别就数学思想方法的重要性及数学思想方法在数列解题中的意义举例作了说明，文献中主要阐述一种或几种思想方法在数列解题中的应用，没有全面地介绍常用数学思想方法在数列解题中的应用而且文献中对怎样应用数学思想解决数列问题提及甚少，对学生在应用中存在的问题也未给出详细深入的说明23提出问题部分高
11、中生已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还体会数学思想方法，总结概括以指导方便快捷地解决问题但对于普通高中多数学生，要较好地掌握高中数学基础知识尚且困难，更谈不上留心体会解决问题过程中所涉及的数学思想方法因此，除对解决问题的过程中应用的数学思想方法作介绍外，还需对应用数学思想方法过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括对使用这些方法的目的、作用作阐述3数学思想方法在数列解题中的应用31方程思想在数列解题中的应用用方程思想处理数列问题，就是将原问题归结为确定待定未知数的值，而这些未知数的确定又通过建立方程组求解来完成例1是否存在这样的等差数列NA，使它的
12、首项为1，公差不为0，且前3N项中，前N项的和与后2N项的和的比值对于任意自然数都等于常数若存在，请求出数列NA的通项公式及该常数；若不存在，请说明理由解若存在这样的等差数列NA，其公差为D，前N项的和记为NS，则其后2N项的和为NNSS3由题意得3记,3NNNSSS为常数将其变形得13NNSS（1）将122DNNSN和132233DNNSN代入（1）得132231221DNNDNN化简整理得0124281DND（2）要使（2）成为恒等式的充要条件是,01242081DD解方程组得812D又,0D故存在这样的等差数列NA，其通项公式为,12NAN常数81评注将问题归结为对未知数的确定，运用待定
13、系数法和通过对方程组的求解来完成为了求出数列中的某些量，有时要将已知量、未知量置于方程之中，求出我们关心的量，进而使问题得以解决这也是方程思想在数列解题中的应用例2设数列NA的各项均为正数，且满足41NNAANN；NB是满足21NNBBNN的数列L求满足11LOGLOGBABAXNNX的X值；42又若11LOGLOGBABAXNNX，对于NN恒成立，且141BA，数列LOGNNXBA的前10项之和为20，求11,BA的值解（1）依题意12,4111NBBAANNN代入11LOGLOGBABAXNNX得124LOG1NNX当1N时，0X且1X当1N时，2X（2）由11LOGLOGBABAXNNX
14、，对于NN恒成立可知数列LOGNNXBA为常数数列所以20LOG1011BAX化简得2LOG11BAX又2X知,2LOG112BA从而42LOG11112BABA解此方程组得21611BA评注该题明显需应用方程思想求解，要求学生能熟练应用数列及对数的性质例3设01A，43221NNNAAA，求证对于NA不可能有某一正整数N，使NA2能被1998整除证明由,43221NNNAAA（1）得054221NNNNNNAAAAAA所以51NNAA由（1）平方整理得0132121NNNNAAAA（2）进而有013212122NNNNAAAA这说明2,NNAA是二次方程0132112NNAXAX的两个根，根
15、据韦达定理有123NNNAAA假定存在NN，满足1998整除NA2，由3整除1998知3整除NA3，而221223NNNAAA，故3整除22NA仿此类推3整除42NA，3整除62NA，3整除4A，3整除2A，这与12A矛盾在求等差数列、等比数列中的有关量时，利用方程思想可以方便地解决数列中的计算问题例4有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数解设所求的四个数分别为X，Y，Y12，X16则12162122YXYYYX解得4011YX或92522YX所以所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1评注该题解决
16、过程中设未知数应使未知量个数尽量少，之后应用方程思想列方程组求解32函数思想在数列解题中的应用数列是特殊的函数，用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的方法是解决数列问题的重要策略6例5已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项解设这个数列共有12N项，由于NSNFN是关于N的一次函数，则点144,1NN，33,1NN，1277,12NN共线由斜率相等得112144127712331277NNNNNNNN解得3N所以该数列共有7项，中间项为11评注在等差数列NA中，其前N项和公式NS可以变形为,221DANDNSN所以N
17、SN是N的一次函数，且点,NSNN均在直线221DAXDY上因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷例6等差数列NA的首项01A，前N项和为NS，若KMSSKM，问N为何值时，NS最大解因为,KMSS所以,212111DKKKADMMMA即211DKMKMAKM因为,KM所以7211DKMA因为,01A且KM,均为自然数，所以0D又因为,2121211DNNNDKMDNNNASNDKMKMND82222且,02D故以N为自变量的二次函数图像开口向下，于是NS有最大值如果KM为偶数，当2KMN时，NS有最大值82DKM如果KM为奇数，当21KMN时，NS有最大值81
18、2DKM评注等差数列的前N项和公式为二次函数，求其最值自然联系到用二次函数求最值的思想，该例中学生讨论D的取值是一个难点，最终结论分奇、偶数讨论也应该引起学生注意因为数列本身就是定义域为N的函数，所以可构造适当的函数，利用函数的有界性，单调性等性质解决数列问题例71998年全国高考题已知数列NB是等差数列，11B，1451021BBBL求数列NB的通项NB；2设数列NA的通项11LOGNANBA（其中0A，且1A），记NS为数列NA的前N项和，试比较NS与1LOG31NAB的大小，并证明你的结论解（1）23NBN（2）231141111LOGNSAN与,13LOGLOG3131NBANA8只要
19、比较231141111N与313N的大小猜想,132311411113NN构造函数313231141111NNNF有14213F，143131311133NNNNFNF所以1NFNF故对所有NN，都有1NF当1A时，1LOG31NANBS；当10A时，1LOG31NANBS评注该题求出NA的前N项和后，利用对数的性质与对数函数的单调性即可求解，学生利用作商构造函数讨论大小是处理本题的难点例8已知函数33221NNXAXAXAXAXFNN，且NAAAA,321构成一个数列，又21NF1求数列NA的通项公式；2证明131F证明（1）令1X12321NAAAAFN故121321NAAAAN所以121
20、22NNNNNAN92,311231331312NNF所以31123132313313131132NNNNF可得NNNF31212313131213112NNN3121231131131211131212312111NNN例9设数列NA通项公式,112NNNAN11121NAAANF（1）求NF；（2）若1CSCSIN2NF对一切NN恒成立，求的取值范围解（1）111311211222NNF12211233422231NNNNNN（2）111122NNNNF，N增大，2NF无限减少，所以要使111SIN1SINN恒成立，必有11SIN1SIN，整理得0SIN1SIN2，所以1SIN或0SIN1
21、0故22K或222ZKKK数列是定义在自然数集或它的有限子集,2,1N的函数尤其是等差数列的通项公式DNAAN11，前N项和公式DNNNASN211，分别是关于N的一次函数和二次函数用函数的观点去处理数列的问题，能使我们更深刻地理解数列例10在等差数列中已知786S，451110987AAAAA，求15141312AAAA的值解由题意知786S，331110987611AAAAASS，设等差数列前N项和2QNPNSN,231112178636QPQP解之得252QP所以7515S故108111515141312SSAAAA例11设等差数列NA的前N项和为NS，已知123A，012S，013S（
22、1）求公差D的取值范围；（2）指出1221,SSS中的哪一个值最大并说明理由解（1）因为,11DNAAN所以212231DDAA又11,211DNNNASN所以DS4214412，5215613DS即030742DD解之得3724D（2）因为DNNNASN21122122NNDDN,245824521222DDDND又0D，所以当24521DN最小时，NS最大由3724D得56245216D又NN，故6S最大数列是按一定次序排列的一列数，它可以看作是一个定义域为正整数N或是它的有限子集,2,1N的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，因此数列是一种特殊的函数，用函数的思想研究解决数列
23、的有关问题是必须掌握的一种方法3例12高考题改编在等差数列NA中，121A，103SS，则NS的最大值为多少解由DNNNASN211及103SS，得21101012102133123DD所以12,2D4169213132211222NNNNNNSN考察二次函数41692132XXFY，当213X时，函数有最大值，又,7424169213662FF所以当6N或7N时，NS有最大值42评注数列的通项公式、前N项和的公式，都可以看成关于N的函数，再根据函数的性质去求解33整体思想在数列解题中的应用整体思想是数学解题中的一种常用的思想方法，它是从整体观点出发研究问题的心理活动过程，是将已知条件或需要解
24、决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节和转化使问题获解有些数列问题，如果分开求解，运算过程会比较麻烦或者解题思路不清晰；如果通过对问题的整体结构进行分析，通常可以简化解题过程，减少运算量例13等差数列NA，NB的前N项和分别为NS与NT，若NNTS132NN，求NNBA的值解因为NNAAA2121，2121NNBBB所以2122122121121121121121NNNNNNBBNAANBBAABA11231221212NNTSNN13122624NNNN13评注该题注意到NNAAA2121，NNB
25、BB2121之后，NS与NA，NT与NB就可以联系在一起了，从而将从整体上把已知条件与待求式子联系起来，解题思路便容易找到该题要求学生熟练掌握等差数列性质整体思想在数列中体现一种运算策略，就是将一些较为复杂的式子看作一个整体，进行整体代入，整体换元，整体消元例2一个等比数列，前N项和为48，前N2项和为60，求其前N3项的和解设数列的首项为1A，公比为1QQ则,601148112121QQASQQASNNNN所以486012NNNQSS化简得41NQ又,16211133NNNNQQSS所以633NS评注处理题目时，避开具体细节和局部特征，从对象的整体的共性去思考，往往能简化运算，从而使解题简便
26、例142005全国卷设正项等比数列NA首项211A，前N项和为NS，且01221020103010SSS1求NA的通项2求NNS的前N项和NT解（1）由01221020103010SSS得10202030102SSSS，14即201211302221102AAAAAA得20121120121110102AAAAAAQ因为0NA，所以,121010Q解得21Q，所以NNNQAA2111，,2,1N（2）因为NA是首项211A，公比21Q的等比数列，故NNNS21121121121，NNNNS2则数列NNS的前N项和为,22221212NNNNT则221222121212132NNNNNNT两式相
27、减得12221212121212NNNNNT122112112141NNNNN，即152221211NNNNNNT评注该题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力由式20121110302221AAAQAAA运用整体消元的思想比较容易得到所求结果该题如果先求出公差，再求通项则比较繁琐；第二问考查的是典型的分组求和与错位相减法，错位相减法是运用整体变形思想的一种方法此外，“整体代入法”、“倒序相加法”也蕴含着整体变形的思想34化归转化思想在数列解题中的应用化归思想就是利用所学的知识和方法去揭示新与旧、复杂与简单、抽象与具体、整体与局部等问题之间的关系，并通过一系列的变换，化未知为已
28、知的解题过程例15等差数列NA的前N项和为NS，已知7S是NS的最大值，且,87AA求使0NS的N的最大值解因为7S是NS的最大值，所以,0,087AA公差0D因为,87AA又因为,1317714187AAAAAAAA所以072148714114AAAAS，013213713113AAAS因为0D，08A所以当8N时，0NA，即当14N时，0NS评注该题求使0NS的N的最大值，首先可能会想利用前N项和公式讨论，但行不通，故考虑从数列的结构及变化趋势分析，得出结论而依据题设已知条件，利用划归思想可将求14S划归为787AA，13S划归为713A，从而作出判断16将研究对象在一定条件下转化并归结为
29、另一种研究对象的思想称之为化归转化思想它一般表现为将有待解决的问题进行不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题，使之逐步成为熟悉的、或已经解决过的问题模式例162005重庆数列NA满足11A且105216811NAAAANNNN，记1211NABNN求数列NB的通项公式及数列NNBA的前N项和NS解由211NNAB得211NNBA带入递推关系式05216811NNNNAAAA，整理得,036411NNNNBBBB即3421NNBB，可改写为,342341NNBB032341B，则34NB是首相为32，公比2Q的等比数列故,23134NNB即134231NB
30、NN由题设得121NNNBBA17故NNNBABABAS2211NBBBN21211523135212131NNNN评注该题通过整体代入转化将不是等比数列的问题转化成等比数列问题求解例172005天津卷已知0,1221BANNBABBABAAUNNNNNN当BA时，NNANU1，这时数列NU的前N项和NS解当BA时，NNANU1，这时数列NU的前N项和,1432132NNNANNAAAAS（1）（1）式两边同时乘以A得,14321432NNNANNAAAAAS（2）（1）式减去（2）式得121132NNNANAAAASA,11111AANAAASANNN若1A时，等式两边同除A1得AANAAA
31、ASNNN11111222121221AAAANANNN；若1A，23132NNNNSN评注观察NNANU1的特征，即考虑利用错位相减进行化归结合等比数列求和解决1835分类讨论思想在数列解题中的应用分类思想是解决区分不同的数学对象或不同情况的一种重要思想数列中的量在不同范围取值时会有不同的情况，因此应适当对某些量进行分类讨论如等比数列的前N项和公式要分Q1和QL两种情况分类就是按照一定的标准，把研究对象分成几个互不重叠的部分它既是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略在数学中分类求解的问题很多，在数列中也不例外例18上海市1989年高考题已知等比数列NA的首项01A，公比1Q，且0Q
32、，设数列NB的通项21NNAABNNN，数列NA，NB的前N项和分别记NA，NB，试比较NA与NB的大小解当1Q时，1NAAN，21NABN因为01A所以NNBA当1Q时,111QQAANN,11111132333212AAQQQQAQQAAABNNNJNJNIIN11121QQQQABANNN令012QQ得12151Q，舍去；2152Q当2151Q时19012QQ，01A，011QQN，所以,0NNBA即NNBA当215Q时,0NNBA即NNBA当215Q时012QQ，,011QQN所以0NNBA即NNBA综上所述当2151Q时，NNBA当215Q时，NNBA当215Q时，NNBA评注该题针
33、对等比数列前N项和，需对Q的取值分情况讨论同学求解过程中难20度在于除对Q的取值分1Q和1Q两种情况外，在1Q情型中还需对Q的取值有恰当的取舍，才能顺利解决问题例191997年全国高考题已知数列NA，NB都是由正数组成的等比数列，公比分别为P，Q，其中QP，且1P，1Q，设,NNNBACNS为数列NC的前N项和，求1LIMNNNSS解因为,111111111QQBPPABACSNNNIINIINIIN所以111111111111111NNNNNNQPBPQAQPBPQASS（）当1P时，因为0QP所以10PQ时，0LIMNNPQ所以111111111111LIMLIM111111111111P
34、QAQAPPPQPBPQAPPPQPBPQAPSSNNNNNNNNNNNNNN（）当1P时，因为10PQ，所以1111111111111LIMLIM11111111111PBQAPBQAQPBPQAQPBPQASSNNNNNNNN在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况需加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，它体现了化整为零、积零为整的思想，分类讨论在高考试题中占有重要的位置例202005全国卷设等比数列NA的公比为Q，前N项和,2,10NSN（1）求Q的取值范围（2）设1223N
35、NNAAB，记NB的前N项和为NT，试比较NS与NT的大小21解（1）因为NA是等比数列，0NS，可得011SA，0Q当1Q时01NASN；当1Q时0111QQASNN，即011QQN，,2,1N上式等价于不等式组0101NQQ（,2,1N）（1）或0101NQQ（,2,1N）（2）解（1）式得1Q解（2），由于N可为奇数、可为偶数，得11Q综上，Q的取值范围是,00,1（2）由,2312NNNAAB得,232QQABNN232NNSQQT于是2211232QQSQQSSTNNNN又因为,0NS且01Q或,0Q22当211Q或2Q时,0NNST即NNST当221Q且0Q时,0NNST即NNST
36、当21Q或2Q时,0NNST即NNST评注一般的，涉及到等比数列前N项的和NS，要讨论公比Q的各种情况比较两个数大小在作差以后，能因式分解的要讨论各个因式的符号例212005江西卷已知数列NA的前N项和NS满足321312NSSNNN，且23,121SS，求数列NA的通项公式解先考虑偶数项有1212222213213NNNNSS,21321332324222NNNNSS，2132133324SS所以21212133321222NNNSS2321212121333212NN4114121213N1212412121412NNN同理考虑奇数项有,213213221212NNNNSS,2132132
37、2223212NNNNSS，2132132213SS所以1212212121322222112NSSNNNN于是,12134212212212221212NSSANNNNNN12134212212121221222NSSANNNNNN111SA综上可得2134,213411为偶数，为奇数NNNN评注这道题是数列中常见的下标与项数N有关的题型，特别是项数N与1有关的问题，一般的要讨论N为奇数与偶数情况分类讨论是指在研究问题时，若对事物的整体研究有困难，可转而研究事物的各个局部，通过对局部的研究，完成对整体的研究，要求学生思维慎密、严谨、不重复、不遗漏36归纳、递推思想在数列解题中的应用归纳、递推
38、是由个别、特殊事例，经过观察、分析作出猜想的推论方式，是逻辑思24维的一种重要方法2解决数列问题中经常用到归纳递推思想例22已知数列NA满足关系31A，NNAA211，求NA的通项公式解由已知数列NA中，1331A，113212A，311213A，5331214A，,7553215A观察各项分子的变化规律,5,3,1,1,3分母的变化规律,7,5,3,1,1通过观察、分析、归纳得3252NNNNAN评注该类题型通过列举、归纳得出结论，考试中出现频率高，学生解答过程中需注意观察与联想紧密结合归纳思想是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法，特别是运用数学归纳法证明问题时，关键在于1KN时命题成立的
39、推证，此步证明要具有目标意识，应注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，最终实现目标，完成解题4例23（2005北京卷）设数列NA的首项411AA，且为偶数为奇数NANAANNN,41,211，记4112NNAB，,3,2,1N（1）求32,AA；（2）判断数列NB是否为等比数列，并证明你的结论解（1）414112AAA，81212113AAA；25（2）因为83214134AAA，所以163412145AAA，,414111AAB,41214132AAB41414153AAB，猜想NB是公比为21的等比数列证明如下因为2141214112121NNBAABNNNN，
40、所以NB是首项为41A，公比为21的等比数列评注“先猜后证”是解题的一种重要方法先猜不仅要猜结论，还要猜思路后证要用数学归纳法证明，有时也用其它证明方法在实际应用上，往往是“边猜边证”，把归纳猜想与演绎证明有机地结合起来，交互运用另外，在求数列的通项公式解决有关数列比较大小的问题时，常运用归纳思想37对称思想在数列解题中的应用图形对称、数式对称都是对称思想在数学中的体现在等差数列、等比数列中用对称的思想观察、思考问题可使问题快速求解例24已知等差数列的前五项和为45，第10项为30，求此前五项解设前五项分项为DXDXXDXDX2,2则,4522DXDXXDXDX所以,9X即93A26又因为,3
41、07310AAA所以3D故前五项分别为3，6，9，12，15评注该题利用对称的思想假设未知数，从而简化计算，方便求解结果例25设等差数列NA的前N项和为NS已知123A，012S，013S（1）求公差D的取值范围；（2）指出1221,SSS中的哪一个值最大并说明理由解（1）因为,11DNAAN所以212231DDAA又,211DNNNASN所以DS4214412，,5215613DS,030742DD解之得3724D（2）0D，可知等差数列NA是个单调递减数列，若在12,3,2,1中存在一个自然数N，使0NA，而01NA，则NS就是1221,SSS中值最大者因为013213713113AAAS
42、，062127612112AAAAS所以07A，06A27所以6S是1221,SSS中值最大者评注该题根据等差数列的性质，考虑利用对称思想简便得出结果38特殊化思想在数列解题中的应用特殊化思想作为解题方法，有利于增强思维的严密性，形成完整的逻辑思维特殊化思想作为技巧在逻辑上是不严密的特殊化思想也可以作为一种严密的解题方法由反例来否定命题还可以运用特例，得到问题的必要条件，然后再通过检验、证明，形成问题的充要条件例26（2000年全国高考）（1）已知数列NC，其中NNNC32，且数列1NNPCC为等比数列，求常数P（2）设NA，NB是公比不相等的两个等比数列，NNNBAC，证明数列NC不是等比数
43、列分析（1）选取数列NNNC32的前三项，它们必构成等比数列，求得2P或3再检验2P或3是否使得数列1NNPCC所有项成为等比数列即可（2）若能找到某三项不成等比数列，即可证明数列NC不是等比数列不妨证明它的前三项不成等比数列，便可得数列NC不是等比数列评注通常利用等比数列的定义来判断是否是等比数列而本题显然计算量过大第（1）小题先找到满足等比数列的必要条件，而后证明其充要性第（2）小题采用反例来否定一个命题是最简洁而有说服力的方法39“数形结合”思想在数列解题中的应用数形结合的基本思想是根据数的结构特征，通过表象或再造想象构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论13数形结合是数学解题的重要方法之一，在各类考试中具有举足轻重的作用下面就数列问题用数形结合的思想解答，目的在领会数形结合思想例27等差数列NA中，0D，若93AA，则数列NA的前几项的和最大解因为093AA，93111AAAA
