1、导函数的性质 吴进明 11目 录摘 要 .1Abstract(Key words).11前 言.41.1研究的背景 .42.2研究的价值 .42.3研究的方法 .42导函数的定义.52.1.52.2.62.3.73 导函数的性质 .93.1.93.2.93.3.93.4.104 导函数的应用 .114.1.114.2.134.3.144.4.155小结.16参考文献 .16导函数的性质 吴进明 22摘要导数在生活中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有很多具体的例子。掌握导数的基本概念和生活中常见函数的概念非常重要。利用导数可以解决曲线的切线，函数的极值和最值等等问题。本文将会介绍导数的几个重
2、要性质，并辅以一些实例,达到对定理更全面的掌握和应用。关键词：导函数，应用，掌握，性质Abstract:Derivativeness is widly applied on our life. There are especially many concrete examples on microeconmics. Its very important to hold the basic concepts of derivativeness and functions .Humans use the derivativeness to so前言导数是为了研究极值问题而产生的，导函数是非常有趣的
3、一种学问，而函数与生活也息息相关，并且在美学上，建筑物等等得到了广泛的应用，当然函数跟导函数不是一个性质，但它们有着一定的联系，在函数的应用下，导函数导函数的性质 吴进明 33随着也被考虑且应用。本文将通过研究导函数的发展背景，导函数的定义，性质和应用来深入了解导函数的具体性质。导函数的性质 吴进明 44第 1 章 11 研究的背景函数的概念最早产生于运动的研究如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”等等。随着数学研究的深入，人们逐渐研究函数的各种性质。早在十七世纪的时候，法国数学家费马，研究了作曲线的切线和求函数极值
4、的方法。到了十九世纪，导数的相关理论逐渐成熟，数学家们对导数提出了各种观点。在物理相关问题中，求瞬时速度就是求速度的变化率，这是物理上引入的导函数。那问题来了，怎么求最大位移跟最大速度呢？这里就涉及到了原函数跟导函数了。那么导函数根原函数有什么关系？导函数都具有哪些性质，下面我们一起来探索一下。12 研究的价值1.2.1导 数 的 几 何 意 义函 数 y=f（ x） 在 x0 点 的 导 数 f（ x0） 的 几 何 意 义 ： 表 示 函 数 曲 线 在P0x 导 数 的 几 何 意 义0， f（ x0） 点 的 切 线 斜 率 （ 导 数 的 几 何 意 义 是 该 函 数 曲 线 在
5、这 一 点 上 的 切线 斜 率 ） . 1.2.2 导 数 在 科 学 上 的 应 用导 数 与 物 理 ， 几 何 ， 代 数 关 系 密 切 .在 几 何 中 可 求 切 线 ； 在 代 数 中 可 求瞬 时 变 化 率 ； 在 物 理 中 可 求 速 度 ， 加 速 度 . 导 数 亦 名 纪 数 、 微 商 （ 微 分 中 的 概 念 ） ， 是 由 速 度 变 化 问 题 和 曲 线 的切 线 问 题 （ 矢 量 速 度 的 方 向 ） 而 抽 象 出 来 的 数 学 概 念 .又 称 变 化 率 . 如 某 人 骑 自 行 车 走 一 小 时 了 20 千 米 ， 它 的 平 均
6、 速 度 是 20 千 米 /小 时 .但 在 实 际 行 驶 过 程 中 ， 是 有 快 慢 变 化 的 ， 不 都 是 20 千 米 /小 时 .为 了 较 好 地导函数的性质 吴进明 55反 映 汽 车 在 行 驶 过 程 中 的 快 慢 变 化 情 况 ， 可 以 缩 短 时 间 间 隔 ， 设 汽 车 所 在 位置 s 与 时 间 t 的 关 系 为 s=f（ t） 那 么 汽 车 在 由 时 刻 t0 变 到 t1 这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 是 f(t1)-f(t0)/t1-t0 当 t1 与 t0 很 接 近 时 ， 汽 车 行 驶 的 快 慢 变 化 就 不 会
7、很 大 ， 平 均 速 度 就 能较 好 地 反 映 汽 车 在 t0 到 t1 这 段 时 间 内 的 运 动 变 化 情 况 . 自 然 就 把 当 t1 t0 时 的 极 限 limf(t1)-f(t0)/t1-t0 作 为 汽 车 在时 刻 t0 的 瞬 时 速 度 ， 这 就 是 通 常 所 说 的 速 度 .这 实 际 上 是 由 平 均 速 度 类 比到 瞬 时 速 度 的 过 程 （ 如 我 们 驾 驶 时 的 限 “速 ” 指 瞬 时 速 度 ） . 1.2.3 导 数 是 微 积 分 中 的 重 要 概 念导 数 另 一 个 定 义 ： 当 x=x0 时 ， f(x0)是
8、一 个 确 定 的 数 。 这 样 ， 当 x 变化 时 ， f(x)便 是 x 的 一 个 函 数 ， 我 们 称 他 为 f(x)的 导 函 数 （ derivative function） ， 简 称 导 数 ） . y=f(x)的 导 数 有 时 也 记 作 y， 即 （ 如 右 图 ） ： 物 理 学 、 几 何 学 、 经 济 学 等 学 科 中 的 一 些 重 要 概 念 都 可 以 用 导 数 来 表 示 。如 ， 导 数 可 以 表 示 运 动 物 体 的 瞬 时 速 度 和 加 速 度 （ 就 匀 速 直 线 加 速 度 运 动为 例 位 移 关 于 时 间 的 一 阶 导
9、 数 是 瞬 时 速 度 二 阶 导 数 是 加 速 度 ） 、 可 以 表示 曲 线 在 一 点 的 斜 率 （ 矢 量 速 度 的 方 向 ） 、 还 可 以 表 示 经 济 学 中 的 边 际 和弹 性 。 以 上 说 的 经 典 导 数 定 义 可 以 认 为 是 反 映 局 部 欧 氏 空 间 的 函 数 变 化 。 为 了 研 究 更 一 般 的 流 形 上 的 向 量 丛 截 面 （ 比 如 切 向 量 场 ） 的 变 化 ， 导 数 的概 念 被 推 广 为 所 谓 的 “联 络 ”。 有 了 联 络 ， 人 们 就 可 以 研 究 大 范 围 的 几 何问 题 ， 这 是 微
10、 分 几 何 与 物 理 中 最 重 要 的 基 础 概 念 之 一 。13 研究的方法本文归纳和总结了一些函数导函数的性质与应用的方法与技巧，突出了函数导函数的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握导函数性质的思想方法；注重对一些特殊导函数性质的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。构造极限法是研究导函数基本方法，是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。导函数的性质 吴进明 66(1)利 用 定 义 求 函 数 y=f(x)在 x0 处 导 数 的 步 骤
11、： 求 函 数 的 增 量 y=f(x0+ x)-f(x0) 求 平 均 变 化 率 取 极 限 ， 得 导 数 。 导函数的性质 吴进明 77第 2 章 导函数的定义设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量()yfx0x0（在点 仍在邻域内）时，相应地函数 取得增量y；如果 与 之比在 时的极限存在，00()(ff则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处yx()fx0的导数，记为 或 或 或 ，即0x0()f0xdy0()fd0 ()()limli limxxxfxyff导函数的性质 吴进明 88第 3 章 导函数的性质3.1 介值性定理一 设 在区间 上可微，
12、则 具有介值性质，即若 ,)(xfI)(xf ,baI，则存在 使 。)(baf ),(ba证明：令 ，则xfxg)()(xfg,0)(a0)b(下证存在 使,(g因为 在 上连续，所以存在最小值点 ，下证 ，若不然)xg,ba),(ba或 则有 或 ，于是有 ，)(xg)(xgb0xg，即 与 矛盾0)(limaxgax aff所以 不能是 ，同理可证b因此 即 是 的极小值，所以),(ba)(gx0)(g3.2 导数极限定理定理二 设函数 在点 处连续，在 的两侧内可导，若极限 存在，)(xf00x )(lim0xfx则 在 处可导。且 即 在 处连续。)(xf0 )(lim)(0ffxf
13、0x证明： ，由拉格朗日中值定理，在 与 之间存在 使)(0x )(0fxf导函数的性质 吴进明 99由于 存在，且当 时， ，故在上式中令 得)(lim)(0xfxf0x0x0x)(lim)(lili 0000 fff xxx 3.3 导函数无第一类间断点定理三 设函数 在 内处处有导数 。证明 中的点或者为)(xf,ba)(xf),(ba的连续点，或者为 的二类间断点。)(xf )(f证明： 在 内处处可导。对 ，由导数定义并利用拉格朗日中值f),(ba),(0bax定理有 ,)(lim)(lim)li 000 000 fxffxff xxx )(0x若 在 处有右极限，即 存在，则由归结原则有f0 )(li0xfx)(lim)(li)(000 ffxxx同理，若 在 处有左极限，则有f )0()0xff综上，当 在 至少有一侧极限不存在是， 为 的第二间断点；不然，)(x0 为 的连续点，即0xf )()(000 xffxf导函数的性质 吴进明 1010第 4 章 导函数的应用4.1 第五章 小结参考文献
