1、XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文彩票中的数学学生姓名:XXX（XXX）指导教师:XXX摘 要:随着福利彩票和体育彩票在全国各地普遍发行,一股购买彩票、谈论彩票中奖的热潮,正在各个城市兴起.各家大、小报纸,不时刊登摸彩、中奖的消息和评论.这些文字中经常谈到摸彩与数学的关系.因此有从数学的角度加以澄清的必要.首先介绍数学在概率论方面的基础知识,其次以体育彩票和福利彩票为例体现出数学在彩票中的重要性,最后提醒彩民们注意一些预测中奖号码的软件是不可信的.关键词:彩票;概率统计XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文The Mathematics in Lottery Tic
2、ketsStudent: X XXInstructor: X XXAbstract:With the welfare lottery tickets and sports lottery tickets throughout the general issue, each city has risen a boom of buying and talking about lottery tickets. Many newspapers either big or small often publish the news and comments about the one who win th
3、e lottery. These words often talk about the relationship of the lottery and mathematics. So it is necessary for us to clarify it in the view of maths. At first, I will introduce some basic knowledges about probability theory. Second, use some examples as sports lottery or welfare lottery to show the
4、 importance of the maths in the lottery. At last, reminding the lottery buyers to notice that the software which predicts the winner of the lottery is incredible. Key words:the lottery tickets;probability and statistics XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文目 录1 彩票中相关数学知识的准备 .11.1 概率 .11.1.1 概率的公理化定义 .11.1.2 彩票中
5、所需的概率的确定方法:古典方法 .21.2 期望 .21.3 点估计和最大似然估计 .32 电脑型体育彩票 .42.1 玩法和设奖方式 .42.2 中奖概率 .42.3 彩票中奖的期望值 .53 “山西风采”电脑福利彩票 .73.1 玩法和设奖方式 .73.2 中奖概率 .73.3 福利彩票中奖的期望值 .84 中奖号码的随机性 .94.1 就每一期的中奖号码来说,是没有规律的 .94.2 从总体上来说,中奖号码又服从某些统计规律 .9参考文献 .11XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文引言 随着福利彩票和体育彩票在全国各地普遍发行,一股购买彩票、谈论彩票中奖的热潮,正在各个城市
6、兴起各家大、小报纸,不时刊登摸彩、中奖的消息和评论这些文字中有时也谈到摸彩与数学的关系但是,说也不详,论而不确因此有从数学的角度加以澄清的必要何况,彩票与概率统计知识十分密切,这正是数学联系社会实际的好材料本文就用概率统计的方法,来谈谈彩票的中奖率、数学期望和大奖的随机性当然,这首先要了解彩票的玩法和设奖方式目前政府允许发行的两种彩票福利彩票和体育彩票,其玩法和设奖方式是不同的现以山西电脑型体育彩票和“山西风采”电脑福利彩票为例,分别予以说明1 彩票中相关数学知识的准备要想了解彩票,一些相关的数学知识是必备的.彩票与数学中的概率统计息息相关,因此我们需要了解概率、期望、最大似然估计、点估计的要
7、领.1.1 概率概率与我们的生活息息相关,体现在很多方面,因此我们有必要对其进行学习,进而运用到生活中.1.1.1 概率的公理化定义定义 1 设 为一个样本空间, 为 的某些子集组成的一个事件域.如果对任一事件 ,定义在 上的一个实值函数 满足:AAP(1) 非负性公理 若 ,则 ;A0(2) 正则性公理 ;1P(3) 可列可加性公理 若 互不相容,有 ,2n.11iiiAP则称 为事件 的概率 ,则称三元素 为概率空间.AP,XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文概率的公理化定义刻画了概率的本质,概率是集合(事件)的函数,若在事件域上给出一个函数,当这个函数能满足上述三条公理 ,
8、就被称为概率;当这个函数不能满足上述三条公理中任一条,就被认为不是概率.1.1.2 彩票中所需的概率的确定方法:古典方法古典方法的基本思想如下:(1) 所涉及的随机现象只有有限个样本点,譬如为 个.n(2) 每个样本点发生的可能性相等(称为等可能性).例如,抛一枚均匀硬币,“出现正面”与“出现反面”的可能性相等;抛一枚均匀骰子,出现各点 的可能性61相等;从一副扑克牌中任取一张,每张牌被取到的可能性相等.(3) 若事件 含有 个样本点 ,则事件 的概率为AkA.nkP中 所 有 样 本 点 的 个 数所 含 样 本 点 的 个 数事 件1.2 期望定义 2 设离散随机变量 的分布列为X.,2,
9、1 nixpxi 如果,iix1则称 iixpXE1为随机变量 的数学期望,简称期望或均值.若级数 不收敛,则称 的数X 1kkxX学期望不存在.定义 3 设连续随机变量 的密度函数为 .如果X)(xp,dx)(则称 xpXE)()(XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文为 的数学期望 ,或称为该分布 的数学期望,简称期望或均值.若 不X)(xp dxp)(收敛,则称 的数学期望不存在.1.3 点估计和最大似然估计设 是来自总体的一个样本,我们用一个统计量 的取值nx,21 nx,1作为 的估计值, 称为 的点估计(量),简称估计.在这里如何构造统计量 并没有 明确的规定,只要它满
10、足一定的合理性即可.有两种最常用的估计方法,它们是:矩法和最大似然法.现着重介绍最大似然法.定义 4 设总体的概率函数为 其中 是一个未知参数或几个未知;xp,参数组成的参数向量, 是参数 可能取值的参数空间, 是来自该总体的样本,将nx1样本的联合概率函数看成 的函数,用 表示,简记为 ,nxL,;1 L，; 21 nn xppxL称为样本的似然函数.如果某统计量 满足L nx,1,Lma则称 是 的最大似然估计,简记为 MLE.由于 是 的单调增函数,因此,使对数似然函数 达到最大与使 达xln lnL到最大是等价的.人们通常更习惯于由 出发寻找 的最大似然估计.当Lln出发寻找 的最大似
11、然估计.当 是可微函数时,求导是求最大似然估计最Ll常用的方法,此时对对数似然函数求导更加简单些.例 设 是来自均匀总体 的样本,试求 的最大似然估计.nx,1 0U解 似然函数,ni XniXIIL110要使 达到最大,首先一点是示性函数取值应该为 ,其次是 尽可能大.由于L n1是 的单调减函数,所以 的取值应尽可能小,但示性函数为 决定了 不能小于n1 XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文,由此给出 的最大似然估计 : .nxnx2 电脑型体育彩票电脑型体育彩票是一种玩法比较简单的彩票,现就对其作一些简单的陈述.2.1 玩法和设奖方式彩票玩法比较简单,2 元买一注,每一注填
12、写一张彩票.每张彩票由一个 6 位数字和一个特别号码组成.每位数字均可填写 0、1、 、9 这 10 个数字中的一个;特别号码为 0、1、2、3、4 中的一个每期设六个奖项,投注者随机开出一个奖号一个 6 位数号码,另加一个特别号码即 中的某个数字中奖号码规定如下 :彩票上填写的 6 位数与开出的 6 位数完全相同,而且特别号码也相同特等奖;6 位数完全相同一等奖;有 5 个连续数字相同二等奖;有 4 个连续数字相同三等奖;有 3 个连续数字相同四等奖;有 2 个连续数字相同五等奖.每一期彩票以收入的 作为奖金三、四、五等奖的奖金固定,特、一、二等%50奖的奖金浮动2.2 中奖概率以一注为单位
13、,计算每一注彩票的中奖概率特等奖前 6 位数有 种可能,特别号码有 5 种可能,共有610种选择,而特等奖号码只有一个,因此,一注中特等奖的概率为:5016;2.27p一等奖前 6 位数相同的,只有一种可能,故中一等奖的概率为:;01.101二等奖有 20 个号码可以选择,故中二等奖的概率为:;2.2p三等奖有 300 个号码可以选择,故中三等奖的概率为:;03.130P四等奖有 4000 个号码可以选择,故中四等奖的概率为:XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文;04.140p五等奖有 5000 个号码可以选择,故中五等奖的概率为:5.5合起来,每一注总的中奖率为:,%4.503
14、21.543210 ppp这就是说,每 1000 注彩票,约有 54 注中奖(包括五等奖到特等奖)2.3 彩票中奖的期望值因为体育彩票和福利彩票一样,奖金的返还率为 ,所以,从总体上来说,每一50注彩票的期望值应该是 1 元现在,我们来实际计算一下,看是否如此彩票的期望值依赖两个因素,一是各个奖级的中奖概率,一是各个奖级的奖金数额中奖概率已经计算出,体彩的三、四、五等奖,已经知道;但前三个奖级的奖金是浮动的,需要进行估计根据规定,这三种奖级的奖金与三个因素有关,一是当期奖金总额,即销售的彩票总注数;二是上期“奖池”中的累积奖金;三是滞留下期“奖池”的奖金综合这几种因素,再结合对 2001 年
15、24 月发行的 20 期获奖情况统计的平均值,可以作如下假定:第一,每一期售出 100 万注,奖金总额为 100 万;第二,每期前三个奖级奖金取平均值;第三,奖池的累积奖金以平均值计算结果如下:表 1 各奖级的中奖概率及其奖金奖级 概率 奖金（元）特等奖 0.0000002 2000000一等奖 0.000001 50000二等奖 0.00002 5000三等奖 0.0003 300四等奖 0.004 20五等奖 0.05 5从而,算得期望值 204.30.502.501.20.0 EXX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文50.25.089.14(元),97.即每一注体育彩票的中奖
16、的期望值约为 0.97 元这与理论值(1 元)非常接近下面举两个关于彩票的例子:例 1 某彩票由六位号码组成,每个位置上的号码可以从 0-9 中任取,只有当六位号码全对时,才能中一等奖.问中一等奖的概率是多少？解 由前面学过的知识,我们可以算出六位号码组成的六位数字共有 1000000 种.而每次开奖,开出的每一个六位数字都是等可能的,所以中一等奖的概率为.10例 2 某彩票为 35 选 7 型福利彩票,投注时从 1 到 35 中选 7 个号码,7 个号码不重复,当 7 个号码全中时为头奖,问中头奖的概率是多少？解 由前面讲的知识, 我们知道 ,也就是说理论上每卖出62450!8735C672
17、4520 注才会有一注头奖.由上面两个例子可以看出,彩民是无法改变中奖率的,除非你知道下一期会出什么号不会出什么号,把 35 选 7 变成 34,33选 7,才能增大中奖率.近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列.一夜暴富是多少人的梦想,随著彩票的发行,让一些人尝到了“天上掉下大馅饼”的滋味.火爆的彩票市场使彩民似乎比股民更加忙碌,各个网站、各种传统媒体,搞出了 AC 值复杂度分析、胆拖选号、旋转矩阵、黄金分割之类伪数学,声称能将中大奖的概率由八百万分之一大幅提高多少多少倍.要想吃红樱桃,先得下地种树.可是,彩票的出现,却把这种看起来再正当不过的道理打了个七
18、零八落:有人随手扔下几个硬币,一不留神就成了百万富翁,彩票激发了人的天性中本来就有的投机心理,于是,着了迷的彩民们把购买彩票当做“百万富翁的生产线”,认为只要持之以恒,就一定能中大奖.其实,彩票是一种运气成分大于智力和体能成分的游戏.购买彩票是参与一种游戏,游戏规则确定了中奖机会是随机的,而且中大奖概率比较低.因此,购买彩票就像你平常买票看电影,参与的过程就是寻找快乐的过程,所不同的是还有可能获得令人心动的奖金,但千万不可沉迷其中.XX 学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文3 “山西风采”电脑福利彩票电脑型福利彩票是一种采用国际通行玩法的彩票,现就其玩法和设奖方式、中奖概率及其期望作一
19、些简单的陈述.3.1 玩法和设奖方式“山西风采”电脑福利彩票,采取国际上通行的 33 选 7 的玩法,2 元一注,每一注填写一张彩票,从 01、02、33 这 33 个号码中,选取 7 个号码每一期开出 7个号码,以及一个特别号码中奖号码如下表所示:表 2 各奖级的中奖号码及其奖金奖级 基本号码 特别号码 每注奖金一等奖 （顺序不限）（奖金总额-固定奖金）*75%/注数二等奖 （顺序不限）（奖金总额-固定奖金）*10%/注数三等奖 （顺序不限）（奖金总额-固定奖金）*15%/注数四等奖 （顺序不限） 500 元五等奖 （顺序不限） 50 元六等奖 （顺序不限） 10 元七等奖 （顺序不限）（顺序不限）5 元3.2 中奖概率
