1、学员学术研讨会论文数学学年论文关于多项式插值法的分析探讨摘 要 ：本文在 简要介 绍了有关插值法的一些基本概念的基础上，详细介绍了 Lagrange 插 值公式、 Newton 基本插值公式、分段插值以及三次样条插值公式并深入探讨了各种插值公式的适用范围及其优劣性关键词：插值法 插值函数 插值多项式 插值公式 一、引言在科学研究和工程中，常常会遇到计算函数值等一类问题，然而函数关系往往是很复杂的，在实际问题中，有时只能给出函数 在平面上的一些离散点的值)(xf，而不能给出函数 的具体解析表达式，nifxii ,10),(,)(xf或者函数 的表达式过于复杂而难以运算.例如，根据观测xf或实验得
2、到一系列的数据，确定了与自变量的某些点相应的函数值，而要计算未观测到的点的函数值，这时我们需要用近似函数 来逼近函数 .在数学上常用的函数逼近的方)(x)(xf法有：（1）插值 （2）一致逼近 （3）均方逼近或称最小二乘法本文主要讨论用插值逼近函数的方法.什么是插值？简单的说，就是用给定的未知函数 的若干函数值的点构造)(xf的近似函数 ，要求 与 在给定点的函数值相等，)(xf )(x则称函数 为插值函数.下面我们给出插值函数的一般定义：)(定义： 为定义在区间 上的函数, 为 上)(xf banx,10 ba,n+1 个互不相同的点， 为给定的某一函数类，若 上有函数满足： 则称 为 关于
3、节点)(x,1,0)(nixfi )(x)(f在 上的插值函数，称点 为插值节点.n,10 n,10这样，对函数 在区间 上的各种计算，就用插值函)(xfba,数 的计算取而代之.)(x构造插值函数需要关心下列问题：（1（插值函数是否存在？（2（插值函数是否唯一？（3（如何表示插值函数？（4（如何估计被插函数与插值函数的误差？本文主要对以下几种插值做一下分析探讨：（1）插值（2） 插值（3）分段插值（4）三次样条插值.LagrneNewton二、 插值rag对于插值函数 ，我们通常可以选择多种不同的函数)(x类型，但由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，我们常选用代数多项式作为插值函数.首先
4、我们来看这样一个问题：给定两个插值点其中 怎样做通过这两点的一次插值函数？),(,10yx,10x过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值.下面先用待定系数法构造插值直线.设直线方程为 将 分别代入直线方,)(101xaL)(,10yx程 ，)(1xL得, 当 时,因100yxa10x01x所以方程组有解，且解唯一.这也表明，平面上两个点有且仅有一条直线通过，用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量大且不便向高阶推广，故这种构造方法不宜采用.当 时，若用两点式表示这条直线，则有：10
5、x1001)(yxyxL这种形式称为 插值多项式. agrne记 称为插值基函数，计)(,)(,)( 101100 xlxlxl 算 的值,可知)(10xl .,0)(jilijji在 插值多项式中，可将 看作两条直线Lagrne)(1xL与 的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位01yx10yx是平等的.如果我们给定三个插值点 ，其中 互不相2,10),(,ixfi ix等，那么该怎样构造函数 的二次（抛物线）插值多项式呢？)(f仿照线性插值的 插值，我们可设Lagrne为二次函)(,)()()( 2211002 xlflxflxflx i数对 来说，要求 是它的零点，因此可设)(0xl 2
6、1,x同理 也有相应形式.),)(210Al)(l ),()()()()()( 2101200212 xfxCfxBxfxL 将 分别代入，可得210,x)(1,)(1,)( 202202010 xxCxBxA 有 )()()()()()()( 2120212101020102 xfxfxxfxxL 一般地，当给定 n+1 个互不相同的插值节点时，就可得出函数的 n 次插值多项式:)()()()()( 11000 niiiininii xxxxfflxL 下面我们以定理的形式来给出 插值多项式的误Lagrne差估计.设 在区间 上有直到 n+1 阶导数， 是)(xfba, nx,10上 n+1
7、 个互异节 点， 满足 的 n 次插值多项ba, )(xPn )(iinxfp式，则对 ，有 ，其中bax,)!1(fRnn，且依赖于niin ,)()(01.x三、 插值Newto插值多项式的优点是格式整齐和规范，它的缺点Lagrn是计算量大且没有承袭性，当需要增加插值节点时，不得不重新计算所有插值基函数，所以我们再来引进具有承袭性的插值多项式.Newton先来介绍一下差商运算.一阶差商：函数值的差 与自变量的差 之比值，)(01xff01x记为0110)(,xffxf而称 为 关于点 的二,02210ffxf )(xf 210,x阶差商.一般地，k 阶差商为：01110 , xfxfxf
8、kkk我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有：11202010 , kkkk xxfxfxf 如果给定 ，其中 互不相同，那么如何nifi ,),(, i来构造 n 次 插值多项式？Newto由一阶差商的定义 得,)(,00xffxf00,)()(ffxf类似地，由二阶差商至 n 阶差商的定义可得到下列方程组 nnnn xfxxfxf fff ,)(,. ,)(, ,)( 01010 100 解这个方程即得)(,)()( ,)(00 01101xRNxfxx xfxff nn nn nnffN ,)()( 101010 其 中为不高于 n 次的多项式，可验证 ，称)iixf是过
9、 n+1 个插 值点的 n 阶 插值多项)(x Newto式.为插值多项式的误差.niixxfR00)(,)(由插值多项式的唯一性知，拉格朗日插值多项式 与)(xL插值多项式 完全相同，只是表达形式不同，因此得Newton)(xN到它们的误差也应完全相等，故当 时，有baCfn,1 niiniin xxfxfxR000)1( )(,)(!nnff,)!1(0四、分段插值在构造插值多项式时，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但不能因此认为插值多项式的次数越高越好，例如我们所熟悉的龙格现象就说明了这一点.既然增加插值节点并不能提高插值函数的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如
10、何呢？例如，当给定了 n+1 个点 上的函数值nxx10后，若要计算点 处函数值 的近似值，可先ny,10 i)(f选取两个节点 与 ，使 ，然后在小区间 上1ixiiix,1iix,1作线性插值，即得 111)( iiii xyxyPxf这种分段低次插值叫分段线性插值.类似地，为求 的近似值，也可选取距点 最近的三个)(xf x节点 进行二次插值，即取1,iix112 )()(iikikjijxyxPf这种分段低次插值叫分段二次插值，为了保证 是1,iix距点 较近的三个节点， 可通过下面方法确定:xi时当 时当 时当 nnjjjj xxnjxxi )(21, )(21, )(,1120五、
11、三次样条插值分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现等优点，但它只能保证各小段曲线在连接点上的连续性，却不能保持整条曲线的光滑性，对一些实际问题，不但要求一阶导数连续，而且要求二阶导数连续.为了克服上述缺点，我们考虑使用逐段表示成低次多项式的光滑函数 作为 的插值函数，这将是我们要介绍的样条)(xs)(xf插值函数.给定区间 上 个节点 和这些点上ba,1nbxxan10的函数值 ，若函数 满足：iyxfi ,0)()(s（1（ 在每个子区间 上是不高于三次的s,2,1ixi 多项式（2（ 在 上连续)(,)(xssba,（3（满足插值条件 ，则称 为函数),10
12、()niyi )(xs关于节点 的三次样条插值函数.)(xf nx,10要在每个子区间 上构造三次多项式,i共需要1,0,)( 123 nixdxcbxasx iiiiii 个条件，由插值条件 提供了 个条件,用n4 )()ysii 每个内点的关系建立条件 又得1,),0()(),0()(),0()( nixsxsxsxs iiiiii 到了 个条件，再附加两个边界条件，即可唯一确定样条3n函数了.设 ，由于 在 上为线性函数，故niMxsi ,10,() )(xs1,i在 上做 的分段线性插值函数：1,i1,0,)( 111 niMxxsiiiii 令 ，得到iiih )1.(,0,)( 1
13、 nihxsiii 对 积 分 两 次 有)(x ),()(6)6)( 11331 iiiiii xDxCMhxhxs 将 代入 可解出1)(,iiii ysy).(6,611iiii hyDhC在每个小区间上具有不同的表达式，但由于 在整)(xs )(xs个区间 上是二阶光滑的，故有ba,1,2),0()( nixsxsii 列出每一个关系式 ，再经计算得),(1iiixs)2.(.21dMiiii 其中 1111 ,6)(6, iiiiiiiiiii xyhyhdh由 得到 个未知数的 个方程组，现补充两个边)2.(nn界条件，使方程组只有唯一解，下分三种情况讨论边界条件：（1（给定 的值
14、（ 时称为自然边界条件）,nM,0 0,0n此时 阶方程组有 个未知量 ，即111,2,niM nnnndd120112122 （2（给定 的值，它们分别代入 在mxsxs)(,)(0 )(xs中的表达式，得到另外两个方程：no,10100,62dxyhMnnnn dxym ,2111于是需要解 阶方程组1n nnnn ddM1210121012211 （3（被插函数以 为基本周期时，即 ，即0xn y0，)(),(),() 00 nnxsssx 即 此时化为 个变量， 个方程的方程组.nnMm,本文简要介绍了几个常用的插值方法：插值， 插值，Newton分段插值以及三次样条插值，并分别介绍了各自的适用范围以及优劣性.插值法是一个古老而实用的数值方法，它为今后学习数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程
