1、本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用学 号： 0707140154 姓 名： 汪 洋 专 业：数学与应用数学 年 级：07 级一班 系 别：数学系 完成日期：2010 年 10 月 指导教师： 河南教育学院本科毕业论文（设计）1浅谈数形结合思想在教学中的应用汪洋（合肥师范学院数学系）摘 要数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短” 。 数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的
2、性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。关键词: 数形结合思想；直观；数学教学；应用Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching 河南教育学院本科毕业论文（设计）2applicationWang yang（Department of Mathematics, Hefe
3、i Normal University）ABSTRACTCounts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature ques
4、tion for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for ones deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one han
5、d, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion.
6、Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”.Key w
7、ords: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application目 录一、前言3二、正文3河南教育学院本科毕业论文（设计）3（一） 解决集合问题5（二） 解决函数问题5（三） 解决方程与不等式的问题6（四） 解决三角函数问题8（五） 解决线性规划问题 9（六） 解决数列问题 10（七） 解决解析几何问题 10三、 结束语11前言：数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方
8、法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学
9、课程。本文就针对数形结合思想在数学教学中的应用简单谈一下自己的看法。正 文 ： 数 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 ， 也 是 最 基 本 的 研 究 对 象 ， 它 们 在 一 定 条 件 下 可以 相 互 转 化 。 中 学 数 学 研 究 的 对 象 可 分 为 两 大 部 分 ， 一 部 分 是 数 ， 一 部 分 是 形 ， 但 数与 形 是 有 联 系 的 ， 这 个 联 系 称 之 为 数 形 结 合 或 形 数 结 合 。 我 国 著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾 说过 ： “数 形 结 合 百 般 好 ， 隔 裂 分 家 万 事 非 ”， “数 ”与 “形
10、”反 映 了 事 物 两 个 方 面 的属 性 。 我 认 为 ， 数 形 结 合 主 要 指 的 是 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 。 数 形 结 合 就 是 把 抽象 的 数 学 语 言 、 数 量 关 系 与 直 观 的 几 何 图 形 、 位 置 关 系 结 合 起 来 ， 通 过 “以 形 助 数 ”或 “以 数 解 形 ”， 即 通 过 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 的 结 合 ， 可 以 使 复 杂 问 题 简 单 化 ， 抽 象问 题 具 体 化 ， 从 而 起 到 优 化 解 题 途 径 的 目 的 。 河南教育学院本科毕业论文（设计）4作 为 一 种
11、 数 学 思 想 方 法 ， 数 形 结 合 的 应 用 大 致 又 可 分 为 两 种 基 本 形 式 ， 一 是“形 ”的 问 题 转 化 为 用 数 量 关 系 去 解 决 ， 运 用 代 数 、 三 角 知 识 进 行 讨 论 ， 它 往 往 把 技巧 性 极 强 的 推 理 论 证 转 化 可 具 体 操 作 的 代 数 运 算 ， 很 好 的 起 到 化 难 为 易 的 作 用 。 在解 析 几 何 中 就 常 常 利 用 数 量 关 系 去 解 决 图 形 问 题 。 二 是 “数 ”的 问 题 转 化 为 形 状 的性 质 去 解 决 ， 它 往 往 具 有 直 观 性 ， 易
12、 于 理 解 与 接 受 的 优 点 。 数 形 结 合 在 解 题 过 程 中应 用 十 分 广 泛 ， 如 在 解 决 集 合 问 题 ， 求 函 数 的 值 域 和 最 值 问 题 ， 解 方 程 和 解 不 等 式 问题 ， 三 角 函 数 问 题 ， 解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都 有 体 现 ，运 用 数 形 结 合 思 想 解 题 ， 不 仅 直 观 易 于 寻 找 解 题 途 径 ， 而 且 能 避 免 繁 杂 的 计 算 和 推 理 ，简 化 解 题 过 程 。 下面就数形结合思想在集 合 问 题 、 函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何中的应用
13、做一个系统的分析。(一)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例 1: 已知集合 A=0,4,B=-2,3, 求 AB。分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表 示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出 AB=0,3。图 1(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例 2: 对于 x R, y 取 4 - x, x + 1， (5 - x)三个值的最小值。求 y 与
14、x 的函2数关系及最大值。分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的图像，如图 2。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 21分段观察函数的最低点，故 y 与 x 的函数关系式是:河南教育学院本科毕业论文（设计）5y= x4)5(213)(x11 时, 在（0, )上 y = x 图像( 如图 5 )在 y = x 的图像下方, 不合题22a 12意。图 5当 0sin2x+sin2y+sin2z。2p证明: 如图 8,在单位圆中,设AOD=x, BOD=y, COD=z,则
15、A,B,C 点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。图中三个矩形面积分别为 2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。河南教育学院本科毕业论文（设计）8显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有 +2sinxcosy+2sinycosz 2psin2x+sin2y+sin2z。图 8(五)、解决线性规划问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。例 8：已知 1 x - y 2 且 2 x + y 4,求 4x - 2y 的范围。解此题可直接利
16、用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。在平面坐标系中作出直线 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,则 1 x - y 2 和 2 x + y 4 表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图 9 所示，令 4x - 2y = m ,则 y = 2x - ，显然 m 为直线系 4x - 2y = m 在 y 轴上截距 2 倍的相反数,易看出,直线 4 x - 2 y = m 过阴影最左边的点 A（ ) 时, m 取最小值 5 ；过阴影最右213边的点 C(3 ,1) 时, m 取最大值 10。即 4 x - 2 y 的范围是5，1
17、0。图 9河南教育学院本科毕业论文（设计）9该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。(六)、解决数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例 9： 等差数列 a 中,前 m 项的和 S = S ( m n) ,求 S 的值。n nnm解：代入等差数列的求和公式,则由 S = S ，得 ma + = na + 1d21）（ 1,因为 m n，所以 a + = 0，S =（m+n）a + d21n）（ 1d2nm=
18、 (m+n) = 0。)(（ )n(1这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。由 S =An +Bn，S =Am +Bm 。因为 m n，所以 S = A(m+n) +B（m+n） （m+n）n2m2nm2= (m+n) = 0 。若再进一步利用 S =An +Bn 的二次函数图像就可B)A(mnn2产生如下解法：由 S =An +Bn，不妨设 A 0，而 y = Ax +Bx 的图像是一个过坐标原点n2 2的抛物线，则由 S = S ( m n)可知，该抛物线的对称轴方程是 x = ，易知,抛物 2n线和 x 轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是(m
19、 + n)，故 S =0 。nm这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。(七)、解决解析几何问题解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。例 10：如图 10 ,矩形 ABCD，AD = a ，DC = b ,在 AB 上找一点 E,使 E 点与 C，D的连线将矩形分成的 3 个三角形相似。设 AE = x，问: 这样的 E 点是否存在,若存在,这样的点 E 有几个?请说明理由。解：假设在 AB 上存在点 E，使得 3 个三角形相似,所以ECD 一定是直角三角形。RtADE RtECD RtBEC.
