1、毕 业 论 文题 目 积分中值定理在数学分析中的应用 学生姓名 李 正 邦 学号 0609014168 所 在 院 (系 ) 数 学 系 专业班级 数学与应用数学专业 2006级 5班 指导教师 李 金 龙 完成地点 陕西理工学院 2010年 5 月 30 日陕西理工学院毕业论文第 1 页 共 10 页积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文范慕斯（云南师范大学数学学院数学与应用数学专业 20111级 2班）指导老师：成龙摘 要 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确
2、定积分的符号;五.证明中值的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.关键词 积分;中值;定理;应用1 引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理 2.11 (积分第一中值定理) 若 在区间a,b 上连续 ,则在a,b上至少存在一点 使得 xf .babdb a证明 由于 在区间a,b 上连续,因此存在最大值 和最小值 .由xf Mm,xfm使用积分不等式性质得到,abdfabb或.Mxfmba
3、1再由连续函数的介值性,至少存在一点 ,使得.1dxfabf定理 2.2 1 (推广的积分第一中值定理) 若 在闭区间 上连续,且 在g,baxg陕西理工学院毕业论文第 2 页 共 10 页上不变号,则在 至少存在一点 ,使得baba,.,badxgfdxgfbaa 证明 推广的第一中值积分定理不妨设在 上 则在 上有ba,0x,，xMgxfmg其中 , 分别为 在 上的最小值和最大值,则有mMxf,dxdxfdxbababa 若 ,则由上式知 ,从而对 上任何一点,定理都成立.0dxgba 0gf 若 则由上式得,Mdxgfmba则在 上至少存在一点 ,使得ba,badxgff即 .,bfd
4、xgfbaba 显然,当 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理1xg3 积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1) 在应用中要注意被积函数在区间 上连续这一条件,否则,结论不一定成立.ba例如显然 在 处间断., 04,cosx4,cosxxf0由于 400440044 ,coscs xdxdffdf陕西理工学院毕业论文第 3 页 共 10 页但 在上, ,所以,对任何 都不能使40xf 4,.fdxf24(2) 定理中的在区间上不变号这
5、个条件也不能去掉.例如 令,2,sin,si xgxf由于 ,0|cosi1si 222 xxddxgf但 22 ,0sinxx所以,不存在,2使 .22 dxgfdxgf(3) 定理中所指出的 并不一定是唯一的,也不一定必须是 的内点.ba,例如令 ,则对 都有baxf,1,ba,abfdxfa这也说明了 未必在区间 的内点.,下面就就其应用进行讨论.3.1 求函数在一个区间上的平均值例 1 试 求在 上的平均值.xfsin,0解 平均值 .2|cos1i10xd例 2 试求心形线 上各点极经的平均值.,sar陕西理工学院毕业论文第 4 页 共 10 页解 平均值 .|sin2cos1220
6、0 aadar 注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理 ,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义.3.2 估计定积分的值例 3 估计 的值.dx10369解 由推广的积分第一中值定理,得其中,1201361093610369 xx 1,0因为 ,所以 ,12136即 ，2010363故 .2012003693dx例 4 估计 的值.dx20cos5.1解 因为 在 上连续,且xf, ,2)(ma2,0xf32)(in0xf所以由积分第一中值定理有.4cos5.1340d在估计其类积分
7、的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例 5 估计 的值.dx109解 因为 在 上连续,在 内可导,xf1910陕西理工学院毕业论文第 5 页 共 10 页且 在 内无解,23817xf 10即,10,xf等号仅在 时成立.故 在 内严格单调增,0xxf10即,21fxf所以由积分第一中值定理有.109dx在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,
8、我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯.3.3 求含有定积分的极限例 6 求极限 为自然数.npdxpn,silim解 利用中值定理,得因为 在 上连续,由积分中值定理得xfi, pndxpn ,sini当 时, ,而| | .nsi1故= =0.dxpnsilimp.sinl例 7 求 .xdnn20sil解 若直接用中值定理= ,xdnn20silnsi因为 而不能严格断定 ,其症结在于没有排除,故采取下列措施20xsi陕西理工学院毕业论文第 6 页 共 10 页= + .xdnn20silmxdn20sixdn2si其中 为任意小的正数.
9、对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有.xdnn20silim= , .0ili 2而第二个积分= ,2sinxddxn2si2由于 得任意性知其课任意小.所以= + =0.xdnn20silmxdn20sixdn2si注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值 不仅依赖于积分区间, 而且还依赖于根式中自变量 的趋近方式.n3.4 确定积分的符号例 8 确定积分 的符号.dxe3解 = + = + = +xe303x30tdett30dxe30t03dxe30=- +t0e= dxx3利用积分中值定理,得= 0.(其中 )dex3e330又 在 上
10、不恒等于 0,故 .,3dxe注 在解决其类题时,我们常常会以 0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以 0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以 0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性.3.5 证明中值 的存在性命题例 9 设函数 在 上连续, 在 内可导,且xf1010陕西理工学院毕业论文第 7 页 共 10 页,证明 ,使 ,1320fdxf 100f证明 由积分中值定理得,（其中 ）fdxff 32312 132又因为 在 上连续,在 内可导.xf0,0故 在 上满足罗尔定理条件,可存在一点 ,使 .， 10，
11、0f注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的.3.6 证明不等式例 10 求证 .201201036193dx证明 .1136109361069 dx其中 ,于是由 即可获证.236例 11 证明 .2110xd证明 估计连续函数的积分值 的一般的方法是求 在 的最大值 和最小值fbaxfba,M,则m.bMdxfbmba因为,2314922x10x所以.23102xd例 12 证明 .1210109x证明 估计积分 的一般的方法是:求 在 的最大值 和最小值 ,又dgfba xfba,Mm陕西理工
12、学院毕业论文第 8 页 共 10 页若 ,则0xg.dxgMdxgfdxgmbababa 本题中令.0,19xf 1因为12x,所以.101101090909 dxxd例 13 证明 .22041exe证明 在区间 上求函数 的最大值 和最小值 .， xfMm,令 ,得驻点 .xexf2121比较 , , 知 为 在 上的最小值,而 为 在f0f41efxf0， 2efxf上的最大值.由积分中值定理得20，,0202241 edxe即.22041x注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若
13、被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如 11和 12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7 证明函数的单调性例 14 设函数 在 上连续, ,试证:在 内,若xf，0dtfxFk02，0为 非减函数,则 为非增函数. xfF证明 ,tfdtfxtfxkkk 000 22对上式求导,得陕西理工学院毕业论文第 9 页 共 10 页,200 xfdtfxfxfdtfxFkk 利用积分中值定理,得,fff ,若 为非减函数 ,则 ,xf0xf所以 ,故 为非减函数.0F综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,
14、对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.217-219.2张筑生.数学分析新讲M.北京:北京大学出版社,1990.92-95.3 刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.4刘鸿基.数学分析习题讲义M.江苏:中国矿业大学出版社,1999.85-92.5石建成,李佩芝,徐文雄.高等数学例题与
15、习题集M.西安:西安交通大学出版社,2002.168-170.6李惜雯.数学分析例题解析及难点注释M.西安:西安交通大学出版社,2004.311-313.7白永丽,张建中.略谈积分中值定理及应用J.平顶山工业职业技术学院.(2003) 01-03.8刘开生,王贵军.积分中值定理的推广J.天水师范学院. Vol.26,No.2,(2006) 02-0023-02.9周建莹,李正元.高等数学解题指南M.北京:北京大学出版社,2002.212-214.10刘剑秋,徐绥,高立仁.高等数学习题集(上)M.天津:天津大学出版社,1987.254-25511吴炯圻.数学专业英语M.第二版.北京:高等教育出版
16、社,2009.285-309.12AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex FunctionJ.Journal of Kaifeng University, Vol.17,No.2,Jun.2003.122-164.13 W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.Mean Value Theorem in Mathematical Analysis
17、Li Zhengbang(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of
