1、1高中数学教材例题教学的再研究广东省云浮市罗定中学 苏颖内容摘要：数学教材中每节内容，少不了例题教学，而例题教学是学生应用新知识重要途经之一，通过例题教学，不仅让学生了解新知识的考查内容，解题格式，还体现在以下各方面作用：一、利用创造性原则，挖掘例题的潜在价值。二、利用探索性原则，提高学生逻辑推理能力。三、利用变通、类比原则，培养扩散思维。四、利用数学美原则，提高学习兴趣。五、利用理论与实践相结合原则，培养学生的应用能力、创新能力。关键词：教材例题 创造性 探索性 类比原则 数学美原则 教学 应用能力 创新能力 例题教学是中学的重要内容，是学生学习教学知识的重要环节，缺少这一环节，学生只能获得
2、零碎、松散、杂乱枯燥的教学教条，难于全面、深刻、系统地掌握教学理论、灵活运用所学的理论去解决问题，更难于开拓思路、培养创见性的头脑。因此，教师在对例题，特别是教材中具有典型性代表性而又起着示范作用的，要进行处理。例题的教学中运用例题教学原则，引导学生进行大胆独创的探索，注意贯穿教学的精神、思想和方法，充分发挥例题的教学作用。这里，就笔者的教学实践，谈谈对教材例题教学体会。一、利用创造性原则，挖掘例题的潜在价值众所周知，创造性思维潜能人皆有之，而学生发展水平关键在于教学过程中教师的启发性，教师应对所授例题充分挖掘它的示范性，在深入钻研例题后进行恰当改编，设计新的问题刺激思考，培养创造力，达到提高
3、学习效率的目的。例 1、 在ABC 中， ， ，求 的值。54cosA2tanB)2tan(BA（高中数学人教版必修 4 p133-134 例 6）此题的目的是强化二倍角公式及和（差）公式的理解和应用，为了充分挖掘此题的教学价值。解法 1：在 ABC 中，A,B,C 都是锐角或钝角，且 ，所以 A 是锐角，054cos 所以 ，5341cossin22A 3sintaA所以 7)43(1tanta22又 ， tnB34tat 22B所以 7)(7tn1t)2ta( AA2解法 2：在 ABC 中，A,B,C 都是锐角或钝角，且 ，所以 A 是锐角，054cosA 所以 ，5341cos1sin
4、22A 3sinta又 ，所以 ，taB 2143tant)tan( BAB于是 174)2(1)(ta12)(2ta)2tan( A变式：已知 ,3tn,71t的 值t解析： 可以看成 两个角，又可以看成 两个角。2（这样学生一下子就想到了两种方法，思维就开宽了，解法变化虽然简单，但让学生复习了二倍角公式，又复习了和差公式，这可一题多解，又从研究教材的角度，探讨出例题的潜在价值。例 2、在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的 3
5、件中至少有 1 件是不合格的抽法有多少种？（高中数学人教版选修 2-3 p24-25 例 8）此题第 1 小题是一个没有限制条件的组合问题；第 2、3 小题是有限制条件的组合问题。让学生认识该题的学习价值。解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件新产品中取出 3 件的组合数，所以不同抽法的种数为 。167023980C（2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 种，12C298C因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法种数为 950628（3）解法 1：从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次
6、品和有 2 件次品两种情况.在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原理，抽298出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法种数为 604129812C解法 2：抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即 95739810C变式：由例 2 条件不变，（4）抽出的 3 件中恰好有 2 件是不合格品的抽法有多少种？（5）抽出的 3 件中至多有 1 件是不合格的抽法有多少种？3第 3 小题的两种解法是用了不同方法（直接分类法和排除法）的做同一题，通过这样创造性的解法，不仅弥补
7、了教材中的不足之处，也解决了本例要求的各个知识点，加上变式，达到一题多解，多题一解，一题多变，有机地将教材中例题结合起来，有比较、有鉴别，充分发挥了例题的潜在功能，更在踊跃的思考中提高了学习兴趣。二、利用探索性原则，提高学生逻辑推理能力逐步分析，由因导果是解决数学题的常用方法，但如何让学生从被动接受发展到有意识、有目的的观察、分析，使他们从变化无穷的数学题中，领悟、发明和探索出它的内在规律，这就需要教师能针对例题，将新旧、繁简问题挂勾，创设思考情境，培养探索精神。例 3、探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：（高
8、中数学人教版必修 4 p13 探究）三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sincota问题： 取值范围的含义，观察角 终边所在位置，回忆三角函数定义：一般地，设角 终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为 r，则 , ,rysinrxcosrytan你能准确判断三角函数值在各象限内的符号，让学生根据任意角的三角函数定义自行探索。填表：（见下表）三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sinR + + - -coR + - - +taZ（k2+ - + -通过以上的答问和填表，学生不难解决此题问题了，提高了学生的逻辑思维。三、利用变通，类比原则，培养
9、扩散思维世界万物无时无刻不在变化，但万变不离其宗，许多不同的题目，经过归纳的分类，达到做一题，得一片，触类旁通。因此教师在例题教学时应善于围绕中心，灵活多变开展可逆联想，接近联想以及对比联想，主动地观察猜想，提高分析解决问题能力。例 4、探究：类比圆的特征，填写表 2-1 中球的相关特征，并说说推理的过程。（高中数学人教版选修 2-2 p72-73 探究）圆的概念和性质 球的类似概念和性质圆的周长4圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长.以点（ ）为圆心，r 为半径的圆的方程为0,yx202)(ry类比推理是根据两个
10、或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现) 也相同的一种推理。让学生积极思考，一起探究。探究结果：圆的概念和性质 球的类似概念和性质圆的周长 球的表面积圆的面积 球的体积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦. 球心与截面圆（不经过球心的截面）圆心的连线垂直于截面圆.与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长.与球心距离相等的两个截面图面积相等；与球心距离不等的两个截面图面积不等，距球心较近的截面图面积较大.以点（ ）为圆心，r 为半径的圆的方0,yx程为 202)(ry以点（ ）为圆心，r
11、为半径的圆的方程为0,zyx20220 )()(rz在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现。正如，数学家波利亚（Polya , 1887-1985）曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。 ”如下表：数学中还有向量与数的类比，无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等。这样就进一步培养学生扩散思维的能力，也提高学生学习了解决数学问题的精神、思想和方法。四、利用数学美原则，提高学习兴趣法国数学家庞加莱在数学上创造中精辟地论述“数学尤如一个筛子” ，缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者，要培养学生创造力
12、，对数学的学习兴趣的提高是无与伦比的。那么，如何让学生在数学知识的深处感受数学美，在教学的吸引力，这就需要师生共同探讨数学内在美。例 5、 探究：幂函数 （ ）的图象。( 高中数学人教版必修 1 p77-78 探究)xyR平面图形与空间图形类比如下：平面图形 空间图形点 线线 面边长 面积面积 体积线线角 二面角三角形 四面体51、本节课从研究 为有理数时的情形，依次为 3，2， ， 如图所示：依次为 ， ， ，如图所示：312依次为-1，-2， ，如图所示：21令 ，其中 m，n 且 ，就 ， ， 时，而 m，n 分别取奇1,n100数、奇数，偶数、奇数，奇数、偶数进行分类，选取以上的图形作
13、为各类的代表。2除教材上给出的性质外还可补充：（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1） ， （-1，1） ， （-1 ，-1） ，第四象限无图象。如下图（图一） 。6（2）在第一象限，直线 x=1，y=1 把第一象限分割成四片区域。两块正方形（或开放正方形）区域（图二） ，两块矩形区域（图三） 。当 0 时，图象在两片正方形区域内通过；当 0 时、图象在两片矩形区域内通过。（3）图象形状：当 0（n1）时，图象为抛物线型， 0 时图象为双曲线型，当 0 或 1时，图象为直线型。（4） 由小往大的变化规律如下图（图四） ，从 0 1（左拐 90） 。3、提出问题，动脑思考，动手操
14、作。根据以上规律，如何迅速画出幂函数的图象草图呢？让学生充分体会数学图形美，引导应先画函数图象在第一象限内的部分。要先从右端入手，根据 （ ）的值，确定“入场”34区域（分三区： ， ， ）对号入场，注意纽交点两侧情况。再根据定义域，100奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。通过动手画出形式多样的图，使学生看到了教材中各种不同图形的简单、对称、和谐的美；通过如此变化多端的讨论，学生对问题的理解胜过解数十道这样类似的题目，对自己的创造性的发现而无比喜悦，这样的教学不仅提高了学习兴趣，同时促进了创造性思维的发展，对调动学生学习积极性和主动性，提高学生自学能力和探索精神
15、起着不可忽视的作用。五、利用理论与实践相结合原则，培养学生的应用能力、创新能力。现行高中教材中的数学应用题，作为问题解决的一个方面，它强调的不是掌握知识本身，而是更强调知识的应用。它更完整地表现了学数学和用数学的关系。因而数学应用题的教学，不但对培养学生的数学意识、创造能力、思维品质等有积极作用，而且也是从应试教育向素质教育转化的重要途径。如：例 6、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元。销售单价与日均销售量的关系如示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 127日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据
16、作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？（高中数学人教版必修 1 p104 例 5）注评：此类题贴近日常生活，要求学生了解生活常识。如进价、折进、亏本、盈利、利润等。经济名词中的含义，掌握有关计算公式如：利润销售价进货价，总利润=利润 销售量，等等解：（1）销售单价每增加 1 元，日均销售量减少 40 桶设在进价基础上增加 x 元后，日均销售利润为 y 元，这时日均销售量 ， （0 x13）xp452)1(408（2） ， （0 x13）)2)(405( 2x易知，当 x=6.5 时，y 有最大值即这个经营部每桶定价 11.5 元才能获得最大利润点评：本题考查了二次函数模型的应用，二次函
17、数求最值时，通常考虑对称轴是否在定义域内，若在，对称轴对应的函数值是最值变式 1：某商店如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可销出 200 件。现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润。已知这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件，部将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润。注评：同例 6 一种类型，解决这类问题，一般先列出算式或建立函数关系式，通过算式的值的大小比较或二次函数最值的确定作出相应的决策。解析：设涨价 x 元，则定价为（10+x）元，并设利润为 y 元。依题意得：y（200 x） （10x8）5.0120（x4）720利用二次函数性质可
18、知：当 x4 时，利润有最大值为 720 元，即当定价为 14 元时，所赚到利润最大。变式 2：对变式 1 进行变更问题，由“涨价”问题变为“降价”问题，使应用题具有开放性。如可变为：某商店购进商品时单价是 2.5 元。若按单价 13.5 元出售，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元，就可售出 200 件。请你分析，销售单价是多少时，可以获利最多？以上两题变式，变换后的题可直接设元让学生分析各量关系，并找出等量关系。再利用二次函数知识求最值。例 7(1)用篱笆围一个面积为 100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆2m最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为 36m 的篱
19、笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？（高中数学人教版必修 5 p99 例 1）分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为 m，宽为 m，则 ,篱笆的长为 m.xy0x)(2yx8由 ，xy2可得 ,10)(,yx4)(2等号当且仅当 ，因此，这个矩形的长、宽为 10 m 时，所用篱笆最短，10xyxy时 成 立 ， 此 时最短篱笆为 40m。(2)设矩形菜园的长为 m ,宽为 m ,则 ， ，矩形菜园的面积为 ，36)(218yxxy2由 ，可得
20、 ，9182yx81xy可得等号当且仅当 时成立，此时 ， 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 81 。2m利用基本不等式求最值时，应注意的问题：（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断。 （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。 （3）确保等号成立。例 8、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 4800 深为 3 m。如果池底每平方米的造,价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？（高中数学人教版必修 5 p99 例 2）分析：水池呈长方体形，它的高是 3m
21、，底面的长和宽没有确定，如果底面的长和宽确定了，水池的总造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽取为多少时，水池的总造价最低。解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 z 元，根据题意，有xy，)(7204)32(10348150 yxyxz 由容积为 4800 可得 因此 ， 3 60由基本不等式与不等式性质，可得 ，xyyx)(74即 16027240z96可得等号当且仅当 时成立，此时yx40yx所以，将水池的地面设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元。这几题要求学生联系生活实际，探索问题结论并加以解答，有利于学生创新意识、应用能力的培养，同时
22、对激发学习兴趣很有好处。另一方面，教学中要重视培养学生的阅读和理解能力，其关键是引导学生把非数学语言表达的问题转化成数学问题。9上面两例可引导学生用二次函数、导数等的知识去解决生活中的最优解，开发学生思维。以上是我对高中数学教材例题的粗浅分析，当然，要提高学生数学素质，要从各方面激发学生学习数学的兴趣。因为“兴趣是最好的老师” ， “没有兴趣的强制学习，必将扼杀学生探求真理的欲望。 ”因此，教师要融洽师生关系创设舒畅心境；把握有利时机创设问题情境；启动创造意识创设发现情境；提供成功机会愉快情境；一句话，为学生创设学习情境，以保证他们有高效率的心理投入。当学生学习带有轻松愉快而又紧张兴奋的心时，
23、他们就会对数学产生强烈好感，从而将他们对一节课的局部兴趣，转化为对整个数学的持久兴趣。 参考文献1、高中数学人教版必修 4 p133-134 例 62、高中数学人教版选修 2-3 p24-25 例 83、高中数学人教版必修 4 p13 探究4、高中数学人教版选修 2-2 p72-73 探究5、高中数学人教版必修 1 p77-78 探究6、高中数学人教版必修 1 p104 例 57、高中数学人教版必修 5 p99 例 18、高中数学人教版必修 5 p99 例 23、钟集，重视数学应用能力的培养， 中学数学研究 J，1999.4 ：23-244、孔根良，浅谈课堂教学中提问的技巧， 初中数学教与学 J ，2002.9 ：1-25、刘军初，设计探索型问题的培养学生初中数学教与学 J ， 2002.3 1-36、傅学丽，浅析中小学生素质教育的实施， 毕业论文选萃 M ， 2002 7、王建勋、刘敬泉，一道课本例题的潜在价值数学教学研究 2001 年 07 期
