1、115历届高等数学竞赛真题一、极限1、 2、n!2lim )2cos(coslim2nn xx3、 4、)sinlarct(lixxx 50)ilxdtx5、 6、10li2arctttte0tan(si)i(tan)lix7、 )1()1(211(lim222 nnnnn 8、设 ，且 ，求常数0ta)si()tasili 0axxbzx b,ab9、设 ，求 、 的值，使 都存在.)(1lim)(2Nnxfnnb与)(lim1xf)(li1xf10、 ，其中 为常数。11、 12、20coslitan1xted nk12li13、设 ，求,bxxba10)(lim14、 15、nndx1)
2、l(li xexx3sin)1()(lim4si016、 17、 ，求)122(li2nnnn 0)1(li3bax a,18、设 在 邻域内可导， ， ，求)(xf10)(li12fx 98)(li/12fx116312)(limxdtuftx19、设 ，求ba0ttx xab110)(li20、设函数 在 处连续，求122,)()(4xf ba,21、设 ，求nnxx11, nlim22、 23、 xx)2(lim nn1)!(li24、设 ，求0)()1(li320 dxcbax dcba,25、设 ， ，求1nn1nxlim26、 nnl)(lim27、 )ln(11(li 32423
3、 xexxx 28、已知数列 ，满足 ，证明：n1li()0nlim0n29、已知 ， ， ， ，.10x304x4312x413nx求证：（1）数列 收敛；（2） 的极限值 a 是方程 的唯一正根nn 0二、导数和微分1、求 的 阶导数 2、 ，求xy 1rcos2xy/y3、 ，求)1()(1)(842 nx /|1174、设 ，当 时，求xyyxarctnln20,1ydxy5、设 ，求dxsec6、设 ，求ttudy0214)(2 2,xy7、 和 互为连续的反函数， ，求)xfg 32)0(,1)(/gf )1(/g8、设函数 在 上连续，在 上可导，且 ，证明(,ba,ba0bfa
4、f（1）存在 ，使)()(/ff（2）存在 ，使,(0/9、设函数 在 上可导，且 ，证明存在 ，使)xf)021)(xf02/ )1(f10、求点（0，4）到抛物线 的最短距离102xy11、设 在 上连续，在 上可导，证明至少存在一点 使得)(xf,),(),0(cot/ 12、设 具有二阶连续导数，且 ， 是曲线 上()fx(0),()0fft()yfx点 处的切线在 轴的截距，求,fx0lim()xtf13、设 在 内有 ，且 ，证明在 内有()fx1,()f0sinli2xx1,.314、试问：方程 总共有几2(3)xe个实根.11815、 ，则 。)1()limli xfaxx a
5、16、设函数 是由 （ ）确定，则 。)(y033yxylim17、设 在区间 连续， , ()fx, 01()() d), ()d2xa xFftGft试解答下列问题：（1）用 表示 ；（2）求 ；（3）求证：GxF；0lim ()aFxf（4）设 在 内的最大值和最小值分别是 ,求证： .()f,xaMm、 ()FxfMm18、设 为 在 上应用拉格朗日中值定理的“中值” ，则 rctnf 0,b 20li b19、设 ，求 。1axxnf20、已知函数 在 上三阶可导，且 ， ，f,01f，试证至少存在一点 ，使0f,，2113!xxf,x21、已知 在 上二次连续可微, ,证明)(f0
6、0)(f M)x(f3120其中 .,xmaM2)x(f22、求证方程 有且只有一个实数根,其中常数 满足 .0cosqp q,p1023、设 为实数， ，在 处可导，求 的范围a1cs)1()xxfa a24、设 ， 是正整数，求nmdxf(),)(f25、设 ，求xta197)0(197f11926、求方程 有几个实根2axe27、设 ，求 y/y三、积分1、 2、230)arcsin(odx)1(28xd3、 （ ） 4、x020a dx12)1sin(5、 （ ）6、dcban)()( ,cbxec7、 8、xfxa)1(1(2 dex)1(osin9、 10、dx42)3ln()l(
7、90lsi11、 12、ex|l 20co04xd13、 14、d66cossin142|9|x15、 15、 xex103)(2 dcosin)(16、 17、d04sin|co| xx022)1(18、 连续，求)(/xf dxfxf)()(/19、设 ，且 ，证明fyyt0241043dxy20、当 满足什么条件时，ba, （1）无反正切函数ba)(12120（2）无对数函数21、设 为连续函数，且 ，求)(xf batdxfgcos)()( )(/xg22、求证 23、设 ，求1032642xd1012(ftf )(xf24、设 为连续函数，证明)(xf dbafdxbaf )sin(
8、)sinco(20 22 25 设非负函数 在 上连续，且单调上升， 与直线 及f,10,1)tyf(1yf围成图形的面积为 ， 与直线 及 围成图形的面积为xt()St()yfx(fxt. 证明：存在唯一的 ,使得 . 取何值时两部分面积2()S0112)Stt之和取最小值？26、设函数 在 连续且非负，证明 .()fx0,1001lim()ax()nnfxdf27、设 是曲线 与 轴围成的平面图形，直线 把 分成 和 D2yxyD12两部分，若 的面积 与 的面积 之比 ，求平面图形 的周长11S2D2S127以及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积. y28、设 ，计算积分 .shx0ydx
9、29、以 坐标上的平面曲线段 （ ）绕 轴旋转所构成的旋转曲面和yoz()fzhz坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 ，如果以 的速度x 316()cm3(/)cs把水注入容器内，水表面的面积的 增大，试求曲线 的方程.2(/)csyfx30、设 时，有 .0,2x 2sein3i(1)sinnduxx31、设 及 ，求 .2)1arcin()(xf 0)(f1 )(df32、求曲线 （ ）绕 轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积eyx12133、设函数 在 （ ）上连续，在 可导，且 .)(xf ,a00x0)(f（1）求证： ， ，等式 成立.0)1 ,( ) ( )( )(0 xfx
10、dtftf （2）求极限 .limx34、设 （ 表示不超过 的最大整数） ，求极限)(fxxxxdf0)(1lim35、求 ，使 ，其中cbac0)os()ab36、设函数 在 上连续，且 ，设(xf)(xf dtftfxgxba1)()()(（1） （2） 在 内恰有一根)/g)(g,ba37、设 的一个原函数，且 ，求 .(xfF是 1)0(Fxfx2cos)(,dxf0|)(|38、设 ，求y2)dxy3139、设 在 上连续，且 ，求(xf,xdfxf sin)(cos)(2 )(f40、设 41、 ，求20sinld101)(fdaf f42、设函数 满足 ，且对 时，有 ，证明：
11、 )(xf1)(fx)()(2xfxf（1） 存在， （2） 。limfx4)lifx四、级数1、判别级数的敛散性（1） ； (2) 2n 123nn（3） ，其中 为常数 （4）1!n0ta)(1n2、求和函数122（1） （2） （3） 02nnx!04)!(nx0)34(1n（4） （5）knk)31(lim 0)n3、求收敛域（1） （2）)(nnx 1nxe4、已知级数 的一般项 与前 项的和 有如下关系：1nunns（ ） ，且 ，求级数nns221u1nu5、设 （ ） ，则 。12)(nxf0)1l()()xxf6、设 ， ，证明级数 收敛，并求其和。2)(xf)0(!1nnfa021na7、设 在 处收敛，则 在 处（ D ）0na10)1(nnx(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散； (D) 收敛性与 an有关.8、设幂级数 , 当 时 ，且 ;0nax12 (1)nnaa014, a（1）求幂级数 的和函数 ；（2）求和函数 的极值.0nSx()Sx9、求函数 的定义域，并证明 在定义域内有界.21()nxnfxe f10、级数 ，问 为何值时级数收敛1)(lnbaa,五、解析几何1、求两直线 和 之间的最短的距离2xzyxzy31232、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，求圆锥面的方程
