1、学号201121140212200222200X2XX40XXX本科生毕业论文论文题目多项式因式分解的方法探讨作者院系数理学院专业数学与应用数学班级201102指导教师2015年5月13日NO2011211402122008200X2XX40XXX200X2XX40XXXHUANGGANGNORMALUNIVERSITYTHESISGRADUATESTOPICPOLYNOMIALFACTORIZATIONMETHODDISCUSSEDINTHISPAPERAUTHORCOLLEGECOLLEGEOFMATHEMATICSANDPHYSICSSPECIALTYMATHEMATICSANDAPPL
2、IEDMATHEMATICSCLASS201102TUTORMAY13TH,2015郑重声明本人所呈交的毕业论文设计是本人在指导教师的指导下独立研究并完成的除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担特此郑重声明指导老师手写签名论文作者手写签名年月日I摘要因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，在分式运算、解方程和代数式及三角函数式的恒等变形中有着广泛的应用。论文概述了因式分解的概念及其相关理论，探讨了因式分解的类型，并通过相关实例，对因式分解的方法进行了归纳总结。关键词多项式
3、；因式分解；方法IIABSTRACTFACTORIZATIONISONEOFTHEMOSTIMPORTANTIDENTICALDEFORMATIONINTHEMIDDLESCHOOLMATHEMATICSANDISAPOWERFULTOOLFORSOLVINGMANYMATHEMATICALPROBLEMS,BEINGWIDELYUSEDINFRACTIONALARITHMETIC,SOLVINGEQUATIONSANDALGEBRAICANDTRIGONOMETRICIDENTITYDEFORMATIONSTYLETHEPAPERMAKESANOUTLINEOFTHECONCEPTANDTH
4、ETHEORYOFFACTORIZATION,INVESTIGATESTHETYPESOFFACTORIZATIONANDGENERALIZESTHEMETHODSOFFACTORIZATIONTHROUGHSOMERELATEDEXAMPLESKEYWORDSPOLYNOMIALFACTORIZATIONMETHODS目录第1章引言111问题的提出112相关文献综述1第2章因式分解的相关理论421多项式的可约性422一元多项式理论423二次多项式理论524多元多项式理论6241特殊多项式的定义6242特殊多项式的性质7第3章因式分解的方法探讨831应用公式法832分组分解法833提取公因式法
5、934拆项添项法1035十字相乘法1136主元法1237求根分解法1338待定系数法1539综合法16结束语18致谢19参考文献20黄冈师范学院本科生毕业论文第1页共20页第1章引言11问题的提出把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫作多项式的因式分解（也叫作分解因式）。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学的研究之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。例如在分式运算、解方程和各种恒等变换中，我们经常会用到因式分解的方法来解决问题。多项式的分解变形就是对多项式进行因式分解，因此因式分解的问题主要是涉及多项式的可约性以及如何分解这两个问题。多项式的因式分
6、解是一项重要的基本技能。在分式运算、解方程和各种恒等变换中，都要用到因式分解。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的。它为以后学习分式运算、解方程和代数式及三角函数式的恒等变形提供必要的基础。因式分解方法灵活，技巧性强，进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径很多，技巧性很强。学生在学习时容易出现只提取字母因式，不提取数字系数的情况，分解不彻底和不知如何下手等各种问题。学习因式分解的方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且通过对因式分解的学习，还可以培养学生的观察能力、注意能力、运算能力，提高学生综合分析和解决问题的能力。因此，掌握良好的因式分
7、解的方法与技巧，对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，具有十分重要的作用。12相关文献综述对于多项式的因式分解的研究，许多专家学者给出了自己的意见和看法。他们通过各种方法探讨了如何将多项式进行分解，通过严密的逻辑推理和合理的假设想象，得出了各种结论，对我们研究多项式分解的方法有着良好的指导作用。多项式因式分解的方法与探讨第2页共20页例如学者李颖在一元多项式因式分解一般方法介绍了因式分解的定义及其局限性，还介绍了多项式因式分解的两种方法一种是根据多项式的有理根；另一种是根据多项式的标准分解式。其中第二种方法是把原多项式转化成新的多项式进行分解，新的多项式都是次数较低的，比较容易进行分解，
8、而第一种方法则对于多项式的最高次项系数和常数项的约数个数少的比较适用。不足的是，这两种方法未从理论上作出相应的探讨。学者林乃荣在初等数学中多项式因式分解方法探析一文中也给出了几种分解多项式的方法，它们分别是待定系数法、余数定理、综合除法和行列式分解等方法。这些方法难度较大，技巧性较强，并且需要高等数学的知识，学生不易掌握，比较适合本科生学习，对于初中生和高中生来说，有点超出他们的认知程度。令人遗憾的是，学者林乃荣研究成果并非很完善，方法比较零散，没有一定的系统性。学者吕希元在新课标下的因式分解在高中的拓展一文中，在新课标背景下，初高中数学教学衔接过程中，由于初中和高中对因式分解的要求不同而造成
9、知识脱节的这一现象，介绍了几种在高中阶段因式分解的拓展方法。因为在现行的初中教材中只介绍了“提取公因式法”和“运用公因式法”。在这基础上又介绍了几种方法“分组分解法”，“十字相乘法”，“添项法”，“裂项法”，“综合除法”等分解方法。这些方法在初中生和高中生对于因式分解的方法的掌握提供了一个桥梁的作用，让学生更好的掌握多项式分解的方法。令人遗憾的是，他的研究并不全面，应思考更多的方法来进行研究。学者王锋在多项式因式分解的几种方法一文中，给出了几种多项式因式分解的方法和多项式因式分解的两个定理。其定理1为每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域中都可以唯一分解成一次因式的乘积；定理2为每个次数大于
10、等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解为一次因式和二次不可约因式的乘积。从这两个定理可以看出多项式的可约性和分解式形式与数域有关。在此基础上，介绍了在有理数域上的分解方法多项式除法（多项式相除，微商法）；待定系数法；利用单位根的方法。并通过相关例子给出了方法的应用，黄冈师范学院本科生毕业论文第3页共20页这些方法给因式分解提供了参考。学者毕严河在因式分解的方法技巧汇总一文中，则较系统地介绍了因式分解的方法。具体有提公因式法、公式法、十字相乘法、拆项、添项法、配方法、应用因式定理、换元法、求根法、图像法，主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、利用根和系数的关系等方法。并针对因式分解
11、问题提出了三个原则（1）分解要彻底，（2）最后结果只有小括号，（3）最后结果中多项式首项系数为正。客观地讲，他所研究的方法相对完善，对因式分解的方法有较全面的总结归纳，为有效地进行因式分解提供了方法和途径。不足之处在于缺乏一定理论深度，且从学生学习和掌握的角度考虑不多。综上所述，各学者从不同的角度研究了因式分解的问题，应该说各有所长，各有所短,每位学者研究的角度不同以至于研究的内容不同，因此各个学者的研究成果和内容给了我很大的启发，为我的课题研究提供很好的指导和借鉴作用。多项式因式分解的方法与探讨第4页共20页第2章因式分解的相关理论我们在以前所学的初中知识中已经了解了多项式的定义，即由若干个
12、单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。21多项式的可约性我们在高等代数里已经研究了多项式的可约性，其结果如下（1）在复数域C上，只有一次式是既约的，也就是一个多项式XF可以分解为一次因式的乘积。（2）在实数域R上，一次式和二次式（判别式0是既约的，也就是多项式XF可以分解成一次式或二次既约式的乘积。（3）在有理数域Q上，一次式和任何高于一次的多项式都可以是既约的。例如，对于任意自然数N，多项式3NX就是不可约的。22一元多项式理论一元多项式可整理为0111AXAXAXANNNN的形式，其中N是非负整数。当0NA时，N
13、叫做多项式的次数，上式叫做一元N次多项式的标准形式。其中NNXA叫做多项式的首项，0NA叫做首项系数。对于一元多项式，有如下的因式分解定理定理1（因式分解及唯一性定理）数域P上每一个次数1的多项式XF都可以唯一地分解成数域P上一些不黄冈师范学院本科生毕业论文第5页共20页可约多项式的乘积。所谓的唯一性就是说，如果有两个分解式2121XQXQXQXPXPXPXFTS，那么必有TS，并且适当排列因式的次序后有）（其中SICSIXQCXPIIII,2,1,2,1,是一些非零常数。23二次多项式理论对于一般的多项式通过一定的技巧和方法把一般多元二次多项式转化为二次齐次多项式，这时可利用二次型理论研究一
14、般二次多项式可分解的判别法及其分解方法。定理2对于实系数的二元二次多项式0222,22CFEYDXCYBXYAXYXF则0,2ACBYXF能分解的必要条件证明设,222111YXYXYXF212212121221YXYX由待定系数法得21212121,2,CBA022221212121221212ACB定理3设FEDECBDBA，0,0能分解的充要条件是则若YXF证明222,22FDXAXYBXECYYXF分解为两个一次因式之积多项式因式分解的方法与探讨第6页共20页242222FDXAXCEBX为完全平方式2222CFEXDCBEXACB为完全平方式0222CFEACBDCBE024多元多项
15、式理论多元多项式是一元多项式的推广，是多项式理论研究的重要对象，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，也是数学研究的重要内容之一，又是一个在数学科学中既重要又极为困难的问题，在许多情况下有些多元多项式是不能进行因式分解的，因此在这里选择特殊多项式来进行相关的研究。241特殊多项式的定义我们这里所指的特殊多项式主要指对称多项式、交代多项式和轮换多项式，其概念与性质如下（1对称多项式设,32,1NJIXXXXXXF是N元多项式，如果对于任意的NJIJI1,都有,32,1NJIXXXXXXF,32,1NIJXXXXXX
16、F就称这个多项式是对称多项式，简称对称式。如XYZZYXZYXF3,333就是一个三元三次对称多项式。（2）轮换多项式设,32,1NXXXXF是N元多项式，如果将变数字母NXXXX,321,按一定顺序轮换，例如以2X代1X,以3X代2X,以NX代1NX,以1X代NX有黄冈师范学院本科生毕业论文第7页共20页,32,1NXXXXF,13,2XXXXFN就称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式。如XZZYYX222是一个轮换多项式。（3）交代多项式设,32,1NXXXXF是N元多项式，如果对于任意的NJIJI1,都有,32,1NJIXXXXXXF,32,1NIJXXXXXXF就称这个多项式是交代多项
17、式，简称交代式。如333,BACACBCBACBAF是一个交代多项式。242特殊多项式的性质（1）凡对称式都是轮换式，反之不一定。2）变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商（能整除的）仍是对称式。3变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商（能整除的）仍是轮换式。4变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代式，它们的积、商（能整除的）仍是对称式。5变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、商（能整除的）则是交代式。6多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变数字母之差的因式。多项式因式分解的方法与探讨第8页共20页第3章因式分解的方法探讨31应用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式因式分
18、解，这种方法叫做公式法。常用的乘法公式有如下几种平方差公式22BABABA完全平方式2222BABABA立方和公式2233BABABABA立方差公式2233BABABABA完全立方公式3322333BABABBAA例142242YYXX解原式2222222YYXX222YX在应用公式法进行因式分解时，要注意公式的特点。一般说来，应先观察多项式的特征，主要看它的项数，次数，然后再尝试某种公式进行因式分解，并记住公式的结构特点和运用条件，确保因式中的系数和符号的正确性。32分组分解法分组分解是分解多项式的一种较复杂的方法。能分组的多项式往往有有四项或大于四项，一般的分组方法有两种二二分组法、三一分
19、组法。需要说明的是，运用分组分解法，要对多项式进行细致的观察，观察中还要有一定的预见性，能预见到下一步能否继续分解。其中分析多项式特点，进行恰当分组是分组分解法的关键。黄冈师范学院本科生毕业论文第9页共20页例2BNBMANAM解原式NMBNMANMBA例32222CBABA解原式22CBACBACBA在运用分组分解法进行因式分解时，首先要注意对多项式进行观察，合理进行分组，如二二分组，其次在各个组内进行分解（如运用提取公因式法、平方法等方法将每个组的多项式进行分解），最后组间再进行分解，如果有公因式，应先提公因式；如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取一个负号是完全平方式，一般就选
20、用三一分组的方法进行分组分解。33提取公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法关键是找公因式。其方法是一看系数、二看字母。公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂。例4XYZZXYYZX412422解原式412422XYZZXYYZX134YXXYZ用提取公因式法分解因式的步骤是第一步，观察多项式进行找公因式，可按照上述确定公因式的方法，先确定系数再确定字母将公因式确定。第二步，提多项式因式分解的方法
21、与探讨第10页共20页取公因式并确定另外一个因式，注意另一因式的项数应与原多项式的项数相同。第三步，提取公因式后，将公因式与另一因式想乘。34拆项添项法拆项添项法是因式分解常用的方法在多项式乘法运算时,化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项拆项是把多项式中的某一项拆成两项或多项,添项是在多项式中添上两个仅符号相反的项拆项添项法的目的是使多项式能进行因式分解例51216723XXX解原式1261052223XXXXX262522XXXXX6522XXX322XXX322XX例6893XX解添加两项22XX,则
22、原式89223XXXX1812XXXX812XXX拆项添项法，这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项或几项，使原式适合于提公因式法，运用公式法或分组分解法进行分解,要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。要对多项式进行细致的观察，观察中还有预见性，能预见到下一步能否继续黄冈师范学院本科生毕业论文第11页共20页分解。其中分析多项式特点，进行恰当拆项，添项是拆项，添项法的关键。用拆项，添项的方法进行因式分解的时候，要拆哪些项，添哪些项并没有一定的规律，主要是依靠对题目的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是多项式因式分解的诸多方法中技巧性较强的一种方法。35十字相乘法十字相乘法
23、是针对二次三项多项式而提出的一种方法，基本思想是将二次式系数和常数项进行分解，然后交叉相乘（即为十字相乘），十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。其方法的依据是运用乘法公式ABXBAXBXAX2的逆运算来进行因式分解。例621120132234XXXX解令2XY，则原式21151513222XYXXYY25132XYXY2513222XXXX251212XXXX一般地，对于二次三项式02ACBXAX,如果二次项系数A可以分解两个因数乘积，即21AAA,常数项C可以分解为两个因数之积，即21CCC,把2121,CCAA排列如下1A1C2A2C按斜线交叉相乘，
24、再相加，得到1221CACA,若它正好等于二元三次项式多项式因式分解的方法与探讨第12页共20页02ACBXAX的一次项系数B，即1221CACAB，那么二元三次项式02ACBXAX就可以分解成为2211CXACXA与的乘积，即CBXAX22211CXACXA这种方法的关键是对二次三项式的三个系数（二次项系数也称首项系数、一次项系数也称中项系数，常数项也称尾项系数）进行观察，然后再进行首尾分解，交叉相乘，求和凑中。36主元法所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元未知数,将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列或升幂排列的多项式,再尝试用公式法、配
25、方法、分组法等分解因式的方法进行分解。例7XYYZZYXZZXXYYXZYX13323716791562222222333解原式YZZYZYXZYYZXZYX323715616713922332223现抛开X，只看YZZYZY3237156233153228963223ZYZZYZYY3532ZYZYZY35232ZYXZYXZYX一般说来，当多项式中的字母过多，项数过多，并且在运用其他的因式分解的方法不是那么容易的情况下，可以考虑采用主元法进行多项式的因式分解。首先选定一个字母为主元，将其他字母看为常数，然后按照降幂的形式将多项式进行重新排列，再进行观察，看能否用其他的方法进行分解，然后进行
26、继续分解最终将原多项式因式分解。黄冈师范学院本科生毕业论文第13页共20页37求根分解法求根法就是求出多项式的根从而进行因式分解的一种方法。即如果多项式011AXAXAXFNNNN有根NXXX,321，则可分解为321NNXXXXXXXXAXF在初中代数中，曾用一元二次方程的求根公式把二次三项式分解因式。这种方法对于二元二次多项式也适用。一般说来，对于一元二次多项式，可考虑用求根法求解。即将多项式CBXAX2分解可得212XXXXACBXAX,其中21,XX为02CBXAX的两根，要用求根公式AACBBX2422,1解出。例8310434422YXYXYX解原式310314422YYXYX应用
27、求根公式得23,21321YXYX421XXXX232134YXYX32132YXYX因式定理分解法、综合除法实质上是求根法，因此在运用这些方法来进行因式分解的本质上都是一样的，都得先求出这个多项式方程的根，进而再次进行分解。我们在运用因式定理来进行分解因式，即如果多项式0AF，那么多项式XF必定含有因式AX。反过来，如果XF含有因式AX，那么，0AF。将因式定理与待定系数法配合使用，往往可以更简便的进行因式分解。当A是有多项式因式分解的方法与探讨第14页共20页理数时可用综合除法予以确定，这种方法的依据是如果整系数多项式0111AXAXAXANNNN有因式是互质的整数）QPPQX,，则P一定
28、是NA的约数，Q一定是0A的约数。具体做法是（1）先写出整系数多项式XF的首相系数NA和常数项0A的所有因数，然后以NA的因数为分母，0A的因数为分子，作出所有可能的既约分数包括整数）。如果XF有有理根，则必在这些既约分数中。因此它们是可能的试除数。（2）从上述既约分数中合理的选择试除数。如果XF的各项系数都是正数或都是负数，就只有选择负的试除数，同理，如果XF的各项中奇次项系数都是正数，偶次项系数（包括常数项）都是负数，或者奇次项系数都是负数，偶次项系数都是正数，就只有选择正的试除数。（3选好试除数后，即用综合除法试除。当选用1作为试除数时，可选用视察法看11FF或是否为零。如果不为零，就排
29、除，如果为零，再用综合除法求出商式。例9692323XXXXF解可能的试除数是32,31,6,3,2,1，由于XF的奇次项系数都是正数，偶次项系数都是负数，故只选正的试除数32,31,6,3,2,1。又由视察法，069231F，1排除，用2试除2692334863417282,0282F排除，同样31,6,3都排除，用32试除黄冈师范学院本科生毕业论文第15页共20页326923602309093322XXXF38待定系数法待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，首先按已知条件把原式假设成若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的乘积与
30、原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。例1012102622YXYXYX解由2322622YXYXYXYX可设12102622YXYXYX232BYXAYXABYBAXBAYXYX2232622比较上式左右两边的同次项系数，得123BA102BA12AB解得4,3BA例11744272234XXXXXFR上分解因式在实数集解由于XF是4次多项式，且最高次项系数为1，在R上可以先假设它的分解式为22DCXXBAXXXF多项式因式分解的方法与探讨第16页共20页再求出待定系数DCBA,，然后观察是否可以分解因式由744272234XXXX22DCXXB
31、AXXBDXBCADXACDBXCAX234比较上式左右两边的同次项系数，得2CA27ACDB44BCAD7BD解得7,5,1,7DCBA在应用待定系数法进行因式分解时，首先要明确待分解的式子分解后是什么形式如用待定系数法分解有两个字母的二次多项式,且多项式中含有一次项和常数项。其实待定系数法是把分解因式转换成了解方程，使我们能顺利解决问题又如含有多个字母的对称多项式或轮换多项式就要用因式定理和待定系数法联合求解。39综合法这里的综合法是指用两种及以上的方法进行多项式的因式分解的方法。如，对于特殊的多元多项式的因式分解，如对称式、轮换式，其因式分解可考虑观察法和待定系数法并用。例12333,B
32、ACACBCBACBAF解由观察可知原多项式为交代式和轮换式。由于,CBAF为三元齐次交代式，,CBAF必有因式ACCBBA,黄冈师范学院本科生毕业论文第17页共20页则可设,CBAKACCBBACBAF令,2,1,0CBA求得1K,CBAACCBBACBAF例13XYZZYXZYXF3,333解由观察可知原多项式为三元齐次对称式。根据特殊多项式的性质，故当ZYX时有0,ZYXF，故,ZYXF有因式ZYX由于,ZYXF为三元齐次对称式可设,222ZXYZXYBZYXAZYXZYXF令,1,0ZYX得1A令,0,1ZYX得1B,222ZXYZXYZYXZYXZYXF一般说来，对称式、轮换式在进行
33、因式分解时，其步骤是首先用观察法找出其一次因式，然后根据特殊多项式的性质，用待定系数法求其另外一个因式。多项式因式分解的方法与探讨第18页共20页结束语在解决数学问题中，研究多项式因式分解的问题以及多项式因式分解的方法总结与探讨的现实问题，对我具有特别的吸引力，也具有很强的挑战性，同时也是我们学习初等数学研究，用以研究和解决现实问题的魅力、动力之源本次毕业论文，主要是从多项式因式分解的理论角度，概述了多项式的可约性，一元多项式理论，二次多项式理论，特殊多项式概念及其性质等；从多项式因式分解类型的角度，归纳总结了因式分解的方法技巧；从多项式因式分解的意义的角度，分析多项式的因式分解能培养学生的逆
34、向思维能力，能培养学生的观察分析能力，还可以培养学生的思维的深刻性总体上讲，论文基本达到设计要求，但仍然存在不足之处如方法总结归纳不是很全面，对多项式因式分解的意义探索的不细致，因式分解的方法归纳总结不够全面，而这些都是要进一步研究的问题通过总结多项式因式分解的方法，让我了解了很多相关的知识，通过比较不同方法的简便程度，查找相关的资料并进行分析总结，并结合相关的实际例子加以验证，这些问题的分析，都将有利于我今后相关研究工作的进一步展开，为研究推广同类问题提供思路多项式因式分解的方法探讨作为我的毕业论文设计，是对我大学学习的一个总结在历时将近半年的时间里，按照处理具体例子的方法对相关问题进行了分
35、析，总结了具体的某一类问题的求解方法，这些都让我从中都受益匪浅在分析和撰写论文的过程中，也遇到了很多疑惑和困难在分析问题和解决问题的过程中，方法也逐步越来越多样化，本人也得以学习和成长黄冈师范学院本科生毕业论文第19页共20页致谢在论文设计的过程中，我的论文指导教师老师对各个环节给予了细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计导师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模，她高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着我这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意经过了三个多月的学习和工作
36、，我终于完成了这篇论文虽然我在校期间一直坚持研究多项式的问题，这个论文题目我在此之前已研究过，但当时研究不够深入，写作粗糙，作为毕业论文重新进行研究，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战在这段时间里，我学到了很多知识，也有很多感受，查看相关的资料和书籍，了解到国内外关于多项式因式分解的方法与探讨这一问题的独到见解，也让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起来，每一次改进都是我学习的收获，每一次修改的成功都会让我兴奋好一段时间虽然我的论文作品可能还有很多不足之处，但是这次做论文的经历会使我终身受益，是对即将走进社会的我们的一次知识和能力的综合考验，我感受到做论文是要真真正正用
37、心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程没有学习就不可能有研究的能力；没有自己的研究，就不会有所突破希望这次的经历能让激励我在以后学习中继续前行最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢多项式因式分解的方法与探讨第20页共20页参考文献1姚谨初中生对一元二次方程的理解D华东师范大学20132吕瑞芳整系数多项式的因式分解研究方法研究D成都电子科技大学20083张霞多项式因式分解的方法J黑龙江科技信息2012，4151771784毕严河因式分解的方法汇总J科技视界2014,101）2772795李长明，周焕山初等数学研究M北京高等教育出版社199
38、56姜文英关于多元多项式的因式分解J衡水学院学报2013，2（01）567朱洪声含参数的一元多项式的因式分解J云南师范大学学报1987,440448林国泰，司徒永显，邝会雄初等代数研究教程M广东暨南大学出版社，19969葛军，涂荣豹初等数学研究教程M南京江苏教育出版社，199910吕希元新课标下的因式分解在高中的拓宽J科教文汇2010,2747711吴成龙一元多项式的因式分解探讨J现代商贸工业2009,127727812林乃荣初等数学中多项式因式分解方法探析J现代商贸工业2011,820113王甲年浅谈灵活运用十字相乘法分解因式J黑龙江科技信息2008,1115614王锋多项式因式分解的几类方法J电子制作2013,2218015李颖一元多项式因式分解一般方法J大庆师范学院学报2006,4101102
