1、高一经典难题讲解 - 1 -1.已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),xR 且 xa,当 f(x)的定义域为a-1,a-1/2时,求 f(x)值解:由题知，已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当 f(x)的定义域为a-1,a-1/2时xa-1,a-1/2(a-x)1/2,11/(a-x)1,2f(x)=-1+1/(a-x)0,12.设 a 为非负数,函数 f(x)=x|x-a|-a. (1)当 a=2 时,求函数的单调区间(2)讨论函数 y=f(x)的零点个数解析：(1)函数 f(x)=x|x-2|-2当 x=2 时，f(x)=x2
2、-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为 x=1当 x(-,1)时，f(x)单调增；当 x1,2时，f(x)单调减；当 x(2,+)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,a=0 时 x=0,零点个数为 1；a0 时 x0,由，x=a,x2-ax-a=0,x1=a+(a2+4a)/2;04 时，无实根，零点个数为 1。a=a-4,x2-ax-a=0,x1,2=a 土(a2+4a)/2；x4 时零点个数为 1；a=土 4 时，零点个数为 2；-41,6/(x-3)6所以 t(x)=1+6/(x-3)7那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正 无穷
3、）3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)0 且 x3 解得 x3 或 x3 时，因为 t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减，所以 函数 f(x)=log3 t(x)单调递减。（2）当 x4(-x)+1+k(-x)=log(4x+1)+kx,log4(-x)+1/(4x+1)=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4x+1)-x/2=log4(4x+1)-log4(2x)=log4(4x+1)/2xg(x)=log4(a 2x-4/3a)高一经典难题讲解 - 3 -联立 log4(4x+1)/2x=log4(a 2x-4/3a) (4x+1)/2
4、x=a2x-4/3a不妨设 t=2x t0t2+1/t=at-4/3at2+1=at2-4/3at(a-1)t2-4/3at-1=0设 u(t)=(a-1)t2-4/3at-1两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1.当 a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)2.当=0时 a=3/4 或 a=-3a=3/4时 t= -1/20 （舍）a=-3时 t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1) u(0)0 (根据根的分布)a1综上所述，得 a=-3或 a15.这个是概念的问题:1.对于 f(x)取值范围（0，无穷） ，f(x)+bf(x)+c=0 最多有两个不同的 f(x)。2
5、.对 f(x)的图像进行分析，知道 f(x)=1 对应的 x 值有三个，即除 x=2 外另有两个关于 x=2 对称的x。f(x)不等于 1 时对应的 x 值有两个，即两个关于 x=2 对称的两个 x。3.题意说 f(x)+bf(x)+c=0 对应的 x 根有 5 个，显然满足 f(x)+bf(x)+c=0 的 f(x)有两个，一个f(x)对应三个 x 值，设为 x1,x2,x3;另一个 f（x）对应两个 x,设为 x4,x5;根据以上分析，应有 x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则 f（x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选 B6.已知函数 ,f(x)的值域
6、是0【1，+）.求关于 x 的方程,0x1)(f高一经典难题讲解 - 4 -f2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?函数图像是一个“W”字样两个 V 字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点7.定义域为 R 的偶函数 f(x),当 x0时，f(x)=lnx-ax(a 属于 R)，方程 f(x)=0在 R 上恰有5个不同的实数解（1）求 x0时有两个解当 x0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当 a0时，y=lnx , y=-ax 在 x 0时都单调增，则 f(x)=lnx-ax 在 x 0时单调增，只有一个解，不满足题意当 a=0时，f(x)=lnx 在 x
7、 0时单调增，高一经典难题讲解 - 5 -只有一个解，不满足题意当 a0时，f (x)=1/x-a 当 x=1/a 时，f (x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+)单调减,在 x=1/a 取到最大值 要 f(x)在 x 0时有两个解,只要 f(1/a)0，即 ln(1/a)1,1/ae,得 a1/e 综上,a(0,1/e)8.定义域为 R 的偶函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）=lnx-ax（aR） ，方程 f（x）=0 在 R 上恰有 5个不同的实数解（1）求 x0 时，函数 f（x）的解析式；（2）求实数 a 的取值范围解答：解：（1）设 x0，则-x0f（x）为
8、偶函数，f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax（2）f（x）为偶函数，f（x）=0 的根关于原点对称由 f（x）=0 恰有 5 个不同的实数解知 5 个实根中有两个正根，二个负根，一个零根且两个正根和二个负根互为相反数原命题当 x0 时 f（x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点下面研究 x0 时的情况：f（x）=0 的零点个数y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数当 a0 时，y=lnx 递增与直线 y=ax 下降或与 x 轴重合，故交点的个数为 1，不合题意，a0由几何意义知 y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数为2 时，直线 y=ax 的变化应是从 x 轴到与 y=lnx 相切之间
9、的情形 设切点( t，lnt) k( lnx)|x t ，1切线方程为：y lnt (xt)t由切线与 y=ax 重合知 a ，lnt 1t e，a ，t 1故实数 a 的取值范围为(0， )e9.函数 y=loga(2x-3)+ 的图像恒过定点 P，P 在幂函数 f(x)的图像上，则 f(9)=_2解:由于 loga(1) 恒等于 0，高一经典难题讲解 - 6 -所以 P 坐标为（2， ） ，而 P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=xa，2则 =2a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9(-1/2)=1/9=1/3。10.函数 y=loga(-x)+2 的图像恒过定点 P，P
10、 在幂函数 f(x)的图像上，则 f(2)=_解:P 点坐标为（-1，2） ，与 a 无关而幂函数 f(x)=bx 要经过 P 点，则2=b-1，所以 b=1/2所以 f(2)=(1/2)2=1/411.若偶函数 f（x）满足 f（x-1）=f（x+1）且在 x 属于【0，1】时 f（x）=x 的平方，则关于 x的方程 f（x）=(1/10)的 x 的平方在0,10/3上的实数根有几个f(x1)=f(x1)，则函数 f(x)的周期为2，可以作出函数 f(x)的图像。另外设 g(x)=(1/10)x，利用图像，得出方程 f(x)=g(x)的根有2个。12.已知偶函数 f（x）满足 f（x1）=f
11、（x-1） ，且 x0,1，f（x）=（x-1），则f（7/2）=解:由 f(x+1)=f(x-1) 则 f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数 f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)=1/413.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 xg(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f（2011）+f（2013）=016.若函数 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x)+g(x)=1/x-1,则 f(x)=_”解:f(x)+g(x)=1/（x1） （1）f(-x)+g(-x)
12、=-1/（x+1） （2）由 f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3）（1）和（3）相加则有2f(x)=-1/（x1）-1/（x+1）则 f(x)=1/(x2-1)17.函数 f(x)对任意实数 x1,x2,总有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当 x0时,f(x)3(1).求证:f(x)在 R 上是增函数(2).若 f(3)=6,解不等式 f(a2-3a-9)0, f(x2-x1)3,f(x2)= f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+f(x2-x1)-3f(x1
13、),对任意 x10 时，f（x）1.(1)求证：f（x）1f（-x）10；(2)证：f(x)是 R 上的增函数(1)证明：令 x1=x，x2=0 f(x)=f(0)+f(x)-1 即 f(0)=1又令 x1=x，x2=-x 则 f(0)=f(x)+f(-x)-1又f(0)=1 f(x)+f(-x)=2 f（x）1f（-x）10(2)证明：设 x10f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1当 x0 时，f（x）1 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-11（注：已知条件）即是 f(x2)+f(-x1)2又f(x)+f(-x)=2（注：已证明） f(x2)+2-f(x1)2 整理得：f
14、(x2)-f(x1)0,即 f(x1)f(x2)在实数 R 上，存在有任意 x10 时有 f(x)1,且f(3)=41.求 f(1),f(4)的值2.判断并证明 f(X)的单调性3.若关于 x 的不等式 f(ax-1)f(f(4)x)的解集中最大的整数为 2，求实数 a 的取值范围用赋值法代就行了解：（1）令 x=y=1 可得 f（1+1）=f（1）+ f（1）1 令 x=1 y=2 可得 f（1+2）= f（1）+f（2）1已知 f(3)=4 联立上式得 f（1）=2 令 x=1 y=3 得 f（1+3）= f（1）+ f(3)1=5（2）令 y=1 带入已知的 抽象函数 f（x+1）=f（
15、x）+f（1）1 移项得 f（x+1）f（x）=1 所以函数 f（x）为增函数（3）由（2）知函数 f（x）为增函数，所以有 ax-1f（4）x 由题意知不等式（a-5）x-10的解集为 x3（因为不等式解集的最大整数为 2 所以它的解集就是 x3，这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的 x3 都有（a-5）x-10 成立 令函数高一经典难题讲解 - 9 -f（x）=（a-5）x-1 要满足任意的 x3 都有 f（x）0 当 a0 时，只要函数为增函数且f（3）0 就行 有 a-5 0 且 f（3）0 推出 5 a 316当 a=5 时，f（x）=1，显然 f（x）0 的解集不是 x3，不合题意。综上 a 的取值范围为 5 a .316
