1、第 1 页 共 9 页专题一：函数的周期性（一）函数的周期性对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有)(xf Tx，则 为周期函数， 为这个函数的一个周期。若 为一个周期，则Tf)(xf T也为周期。若周期函数 的正周期中有一个最小者，这个周期就叫 最小正周期。nZ)(f（1） 已知函数 对任意实数 ，都有 ，则 是 的一个周期。()f )(xmfx2()fx证明：因为 ，所以， ，()xmfx(2)()f mfx所以 是以 为周期的周期函数。()f2（2） 已知函数 对任意实数 ，都有 ，则 是 的一个周期。()f )(f()f证明：因为 ，令 ，则 ，于是)
2、ft2xt对于 恒成立，所以 是以 为周期的周期函数。()fttR(f（3） 已知函数 对任意实数 ，都有 ，则 是 的一个周期。()fxx1()fmm()fx证明：由已知 ，所以(2)() ()11)fxffmf fx 是以 为周期的周期函数。()fx（4） 已知函数 对任意实数 ，都有 ，则 是 的一个周期。()fxx()()1ffmx4m()fx证明：由已知 ，于()(2)()ffxmfxx1()fxf1()f是，所以 是以 为周期的周期函数。1(4)()(2fxfxfx()f4m如：还有“ ”、 “ ”等也是周期函数。)mf1fx（二）函数的对称性与周期性及关系：（1）函数 对于定义域
3、上的任意 ，如果都有 或 ，(xf x(2)(afx)()fafx则函数 关于直线 对称，反之也成立。)a（2）函数 对于定义域上的任意 ，如果都有 或f，()faf则函数 关于点 对称，反之也成立。)x,0（3）一般地，函数有两种及以上的对称性时，则函数是周期函数。 （详见补充中的定理 3）第 2 页 共 9 页如： 已知函数 对任意实数 ，都有 且 ，则()fxx()()faxf()()fbxf是 的一个周期 。2ab()ab证明：不妨设 ，于是2(2)(2)fffab， 是 的一个周期；当()()()fxfx(x时同理可得。所以， 是 的周期。补充：定理 1：函数 的图象关于点 对称的充
4、要条件是 。()yfx(,)Aab()2)fab证明：（必要性）设点 是 图象上任一点，点 关于点 的对称,Pyfx,Pxy(,A点 也在 图象上， ，即 ，(2,Pab)f2yfafx故，必要性得证。)2fxx（充分性）设点 是 图象上任一点，则 ，0(,y()fx0()fx， ，即 。故点(ab002)ab002aby也在 图象上，而点 与点 关于点 对称，充分性得征。02,)PfP,A推论：函数 的图象关于原点 对称的充要条件是 。(yfxO()fx定理 2：函数 的图象关于直线 对称的充要条件是 ，即)xa()afx。 （证明留给读者）()fxa推论：函数 的图象关于 轴对称的充要条件
5、是 。(fy()f定理 3：若函数 图象同时关于点 和点 成中心对称 ，则)yx(,)Ac,Bb()b是周期函数，且 是其一个周期。()yf2ab若函数 图象同时关于直线 和直线 成轴对称 ，则 是周fxx()ayfx期函数，且 是其一个周期。2ab若函数 图象既关于点 成中心对称又关于直线 成轴对称 ，则()fx(,)cxb()b是周期函数，且 是其一个周期。yf4ab的证明留给读者，已证明，以下给出的证明：函数 图象既关于点 成中心对称， ，用 代()(,)A()2)fac2x得： （*）x22fbxfxc又函数 图象直线 成轴对称， 代入（*）得：ybxbx（*） ，()()ca用 代
6、得 代入（*）得：()(4)ffa，故 是周期函数，且 是其一个周期。4fxbxyfx1函数的周期性：例 1已知 是实数集 上的函数，且对任意 恒成()fR,()1)xRfx()f立。第 3 页 共 9 页（1）求证： 是周期函数；()fx（2）已知 ，求 的值。32(04)f变式训练（1）设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时，)(xfR1(3)()fxfx3,2，则 的值是（ ）()2f13.5（A） （B） （C） （D）72755（2）已知 ，定义 ，则)(xf1,2),0x )(),()(11xffxfxfnn 其 中（ ）2081()5fA B C D5354522函数奇偶性、周期性
7、、对称性与综合应用：例 2 （1）定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意的实数R()fx3(,0)4都有 ，且 ，则 的x3()()2ffx=-+1,-=(0)2f-1(2)3(208)fff+值为（ ）A B C0 D12-（2）已知 是定义在 上的且以 2 为周期的偶函数，当 时，()fxR0x，如果直线 与曲线 恰有两个交点，则实数 的值是（ 2()fyxa()yfxa）A. B. C. 或 D.以上答案都不对0()akZk1()4akZ（3）已知函数 fx是定义域为 R的周期为 的奇函数，且当 (0,1.5)x时第 4 页 共 9 页2()ln1)fxx，则方程 ()0fx
8、在区间 ,6上的解的个数是 。（4）定义在 R 上的偶函数 满足：y对任意 都有 成立；(6)(3)ff ；(5)1f当 且 时，都有 2,0,3x12x12(0xf则：（） ；(9)_f（）若方程 在区间 上恰有个不同实根，则实数 的取值范围,6aa是_。例 3设函数 在 上满足 ，且在闭()fx,)(2)(),fxf(7)()fxf区间 上，只有 。0,71(30f（1）试判断函数 的奇偶性；y（2）试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论。()f5,例 4已知函数 是定义域为 的奇函数，且它的图象关于直线 对称。()fxR1x（1）求 的值；0f（2）证明函数 是周期函数；f（3
9、）若 ，求 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函()1)fx()fx数 至少一个周期的图象。x例 5函数 是定义在 上的偶函数，且对任意实数 ，都有()yfxRx成立。当 时， 。(1)fx1,2()log(1)afx第 5 页 共 9 页（1）求 时，函数 的表达式；1,x()fx（2）求 时，函数 的表达式；2kkZ()fx（3）若函数 的最大值为 ，解关于 的不等式 。()f121()4fx例 6设 是定义在区间 上的函数，若对任何实数 以及 中的任意两()fxD)1,0(D个实数 恒有 则称 为定义在 上的,211212()()fxffxfx“ 函数”.（1）试判断函数 是否为各自定
10、义域上的 函数，并说明12),(0fxf理由；（2）若 是定义域为 的函数，且最小正周期为 ，试证明 不是 上的()gRT()gxR函数.课后作业1设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则()fxR(2)(fxfx01()fx7.5（ ）A. B. C. D.0.0.51.5.52已知函数 为奇函数，函数 为偶函数，且 ，则(1)fx()fx(0)2f_。(4)f3设 f（x）是 R 上的奇函数，它在-1，0上是增函数，且 ，那)(xfx第 6 页 共 9 页么（ ）A f（1） B f（1）)3()23(f )23()31(fC f（1） D f（1）24.定义在 上的函数 既是奇函数，又是周
11、期函数， 是它的一个正周期。若R()xT将方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为（ ）()0fxT， nA.0 B.1 C.3 D.55已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， ，设01x()lgfx63(),(),afbf则（ ）2c（A） （B） （C） （D）cbaccbacab6.（安徽卷）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则fxx12fxf5,f_。5f7 是定义在 上的偶函数，且 在 上是增)(x),( )(,)1(fff),0(x函数，则 与 的大小关系是_。1.8f.3f8已知 是定义在 R 上的函数，且 ，若 ，则)( )2()(xff (3)2f207f的值为_。9
12、函数 是 上的奇函数，满足 ，当 （0，3）时xfyff3，则当 （ ， ）时， =（ ）f 63xA. B. C. D. 62x 2x6262x10若存在常数 ，使得函数 满足 ，则 的一个正周0p)(f )(2()(Rxpfpf)(f期为_。11已知函数 f (x)的定义域为 R，且 ,01xfff, 则 f(2006)=_。41)2(,)1(ff12 （08 四川）设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则R()fx()2)3fx()2f（ ）9fA13 B2 C D13213.在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是R()fx()2)fx()fx12，减函数，则 （ ）()f第 7
13、 页 共 9 页.在区间 上是增函数，在区间 上是增函数21， 34，.在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， ，.在区间 上是减函数，在区间 上是减函数14定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意的实数 都有R()fx3(,0)4 x，且 ，则 的值为3()()2fxf=-+1,-=(0)2f-1(23)(208)fff+（ ）A B C0 D1-15已知函数 （x R）满足 ，且 x -1，1时，)(fy)()(fxf ,则 与 的图象的交点个数为（ ）2)(xf 5logA2 B3 C4 D516定义在 R 上的奇函数 f(x)以 4
14、为周期，则 的值为(205)(6)(207)fff_.17.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 ,当1x0 时，1)fx，则 _。1()2fx(8.6)f18.设 f(x)是定义在区间(, )上以 2 为周期的函数,对 kZ,用 表示区间kI(2k1,2k+1,已知 x 时， ，求 f(x)在 上的解析式。0I(fxkI第 8 页 共 9 页课后作业答案1 2周期为 8，故 。 3DB(4)2f4. 提示： ，(0)0fT()()()0,22TTffff，故 。()Tf5n5D 提示：已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， ，设()fx01x()lgfx， ， 0 且为常数，因此，说明 是一个周期函数， 为最小正周期。)(f11 12C 13. 14D 15C 1604117.解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) ，x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3。18.略。
