1、高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 学习目标1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。三. 知识要点（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一
2、种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf（ x） ，不能把它写成 f（x，y ）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）的表达式时可以令tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出
3、 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或 1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式
4、组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf （u）求出 u 的范围，即g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I 1 和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
5、（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数 f：AB 中，集合 B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C，则 C是 B 的子集；若 CB ，那么该函数作为映射我们称为“满射” ；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数 yf（x）定义域为 A，则当 xA 时总有 f（x）f（x o）M，则称当
6、 xx o时 f（x ）取最大值 M；当 x A 时总有 f（x）f（x 1）N，则称当 xx 1 时 f（x）取最小值 N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例 1. 已知函数 yf（x）满足 xy0，4x 29y 236，求该函数解析式。解：由 4x29y 236 可解得：。29,393,xy 说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 的形式。293xy2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个
7、参变量的值。例 2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为 2m 时，水流量为 340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解：设 ，代入 x，y 的值可求得反比例系数 k780m 3/s，故所求函数关系式为ky。780,x3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 3. 已知 ，试求 。21()xxf()fx解：设 ，则 ，代入条件式可得： ，t1。故得：tt2()1ftt。2()1,fxx说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求
8、函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 4. （1）已知 ，试求 ；21()345fxfx()fx（2）已知 ，试求 ；2解：（1）由条件式，以 代 x，则得 ，与条件式联立，211()345ff消去 ，则得： 。fx228453f（2）由条件式，以x 代 x 则得： ，与条件式联立，2()(ffx消去 ，则得： 。f2f说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例 5. 动
9、点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发，顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程，y 表示 PA 的长，求 y 关于 x 的函数。解：由题意知：当 x0，1时：yx；当 x（1，2）时： ；2当 x（2，3）时： ；231yx故综上所述，有 2,0,1(23,3yx 考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 6. 求 的定义域。324xy解：由题意知： ，从而解得：x2 且 x4.故所求定义域为：0xx|x2 且 x
10、4 。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 7. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6Y 22 3 14 35 6 17解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得 xI 1，又由 g（ x）定义域可以解得 xI 2.则 I1I 2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 2()3,(),()43f yfg例 8 已 知 求 的 定 义 域 .解： 2xxxg由 又由于 x24x30 *联立*、*两式可解得：939314493|14xx或故 所 求 定 义 域 为
11、 或例 9. 若函数 f（2 x）的定义域是 1，1 ，求 f（log 2x）的定义域。解：由 f（2 x）的定义域是 1，1可知：2 1 2x2，所以 f（x）的定义域为2 1 ，2 ，故 log2x2 1 ，2 ，解得 ，故定义域为 。4,44、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例 10. 求函数 的定义域。()1fxa解：若 ，则 xR；0a若 ，则 ；若 ，则 ；0a1a故所求函数的定义域：当 时为 R，当 时为 ，当 时为 。01|xa01|xa说明：此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写
12、成并集的形式，必须根据 a 的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11. 求函数 的值域。231xy解： ，因为 ，故 y2，所以值域为12x01xy|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x 24x 的值域。解：y2x 24x2（x 22x1）22（x1） 222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的
13、值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如 yaf 2（x）bf （x）c。3、判别式法例 13. 求函数 的值域。23456xy解： 可变形为：（4y1）x 2（5y2）x6y30，由 0 可2解得： 。63,7y说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。
14、4、单调性法例 14. 求函数 ，x 4，5的值域。23y解：由于函数 为增函数，故当 x4 时，y min ；当 x5 时，2ymax ，所以函数的值域为 。51313,255、换元法例 15. 求函数 的值域。41yx解：令 ，则 y2t 24t2（t1） 24，t0 ，故所求值域为0ty|y4。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。例 16. 求函数 的值域。2,1(,34xy解：当 x1，2时，y1，2 ；当 x 2，3时，y 4，9 ；当 x 3，4(时，y 5，7 。综上所述， y1，2 3，9 。(本讲所涉及的主要数学思想方法1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义
15、域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。【模拟试题】(答题时间：30 分钟)一. 选择题1、函数 yf（x）的值域是 2，2 ，则函数 yf （x 1）的值域是（ ）A. 1，3 B. 3，1 C. 2，2 D. 1，12、已知函数 f（x）x 22x ，则函数 f（x）在区间 2，2上的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，那么其解析式和定义域是（ ）A. y202x（x10） B. y202x（x2，则可解得 a3。1312、解：由条件式，以x 替换 x 可得：2f（x）f （ x）x 24x，联立两式可解得：f（ x） 。24313、解：（1）yx（60x） ，x（0，60）.（2）yx（60x）（x30） 2900900，当 x30 时取等号，故当 x30 米时，鸡场面积最大为 900 平方米。
